吉林省长春市2011-2012学年高一上学期期末考试数学试题

长春市2011～2012学年度第一学期期末调研测试
高一数学试题卷
说明：本试卷包括三道大题，21小题.其中部分试题分为p题、q题，学必修(2)的考生做p题，学必修(4)的考生做q题.本试卷共4页，为闭卷笔答，答题时间为100分钟，满分为120分.
第Ⅰ卷（选择题，共48分）
一、选择题（本大题包括12小题，每小题4分，共48分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸上）.
已知集合≤≤，集合，则∩等于
A．{2} B．{3} C．{－2，3} D．{－3，2}
已知幂函数的图象过点（,），则的值是
A． B．1 C．2 D．4
(p) 过点,且垂直于直线的直线的方程为
A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0
(q) 某扇形的半径为，它的弧长为，那么该扇形圆心角为
A．2°　　　　 B．2 C．4° D．4
某商品降价后，欲恢复原价，需再提价，则
A．10 B．9 C．11 D．11
(p) 若某空间几何体的三视图如图所示，
则该几何体的体积是
A． B．
C．1 D．2
(q) 函数是
A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数
已知定义在R上的奇函数满足，则的值为
A．－1 B．0 C．1 D．2
(p) 长方体的共顶点的三个面的面积分别为、、，则它的外接球的表面积为
A． B． C． D．
(q) 已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)且a∥b，则2a＋3b＝
A．(－5,－10) B．(－4,－8) C．(－3,－6) D．(－2,－4)
已知，且，则
A．2或－2 B．－2 C． D．2
设函数，则
A．在区间（,）、（,）内均有零点
B．在区间（,）、（,）内均无零点
C．在区间（,）内有零点，在区间（,）内无零点
D．在区间（,）内无零点，在区间（,）内有零点
函数在,上的最大值与最小值之和为a，则a的值为
A． B． C．2 D．4
(p) 如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是
A．BD//平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
(q) 将函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点横坐标缩小到原来的，则所得函数解析式为
A． B．
C． D．
若函数是R上的增函数，则实数a的取值范围为
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共72分）
二、填空题(本大题包括4小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在答题纸中的横线上).
(p)直线的倾斜角等于__________．
(q) 若＝2e1＋e2，＝e1－3e2，＝5e1＋λe2，且B、C、D三点共线，则实数λ＝__________．
设是定义在R上的奇函数，且x＞0时，，则当时，
__________．
函数的定义域是[0，2]，且，则的单调递减区间是__________．
(p) 若在圆(x－3)2＋(y－)2＝6上运动，则的最大值为__________．
(q) 函数y＝2sin(ωx＋φ)(，)的部分图
象如图所示，则ω和φ的值分别是__________．
三、解答题（本大题包括5小题，共56分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
（本小题满分10分）
已知全集U＝R，集合M＝{x|x≤a－2或x≥a＋3}，N＝{x|－1≤x≤2}．
(1)若，求()∩()；
(2)若∩＝，求实数的取值范围．
（本小题满分10分）
(p) 如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点，求证：
(1)PA∥平面BDE；
(2)平面PAC⊥平面BDE．
(q) 已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61．
(1)求a与b的夹角；
(2)求|a＋b|与|a－b|．
（本小题满分12分）
正在建设中的长春地铁一号线将大大缓解市内南北交通的压力. 根据测算，如果一列车每次拖4节车厢，每天能来回16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次；每天来回次数是每次拖挂车厢节数的一次函数，每节车厢单向一次最多能载客110人，试问每次应拖挂多少节车厢才能使该列车每天营运人数最多？并求出每天最多的营运人数．(注：营运人数指列车运送的人数) .
（本小题满分12分）
(p) 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：直线l与圆相交；
(2)求直线l被圆截得的弦长最小时的直线l的方程．
(q)已知向量a＝，b＝，c＝，
(1)求证：(a＋b)⊥(a－b)；
(2)设函数，求的最大值和最小值．
（本小题满分12分）
定义在上的函数，对于任意的m，n∈(0,＋∞)，都有成立，当x＞1时，．
(1)求证：1是函数的零点；
(2)求证：是(0,＋∞)上的减函数；
(3)当时，解不等式．
长春市2011～2012学年度第一学期期末调研测试
高一数学参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)
1. A 2. C 3. (p) A (q) B 4. D 5. (p) C (q) A 6. B
7. (p) D (q) B 8. D 9. D 10. B 11. (p) D (q) C 12. D
简答与提示：
1．解析：由Q＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，得Q＝{－3，2}；由P＝{x∈N|1≤x≤10}，得
P＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}．∴P∩Q＝{2}．故选A．
2．解析：令f(x)＝xα，则f(2)＝2α＝，∴α＝．∴,故选C．
3．(p)解析：直线x－2y＋3＝0的斜率k＝，设所求直线的斜率为k′，
∵所求直线与直线x－2y＋3＝0垂直，∴k·k′＝－1，即k′＝－2，
∴所求直线的方程为y－3＝－2(x＋1)，即2x＋y－1＝0．故选A．
(q) 解析：θ＝＝＝2．故选B．
4．解析：由已知 a (1－10%)(1＋)＝a，∴m＝11．故选D．
5．(p)解析：由三视图可知，该空间几何体是底面为直角三角形的直三棱柱，三棱柱的底面直角三角形的直角边长分别为1和，三棱柱的高为，所以该几何体的体积V＝×1××＝1．故选C．
(q) 解析：对于函数y＝sin，T＝4π，且sin(－)＝－sin．故选A．
6．解析：由f(x＋2)＝－f(x)知，f(x＋4)＝f [(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)，
∴f(6)＝f(4＋2)＝f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)．又由f(x)为R上的奇函数知f(0)＝0，
∴f(6)＝－f(0)＝0．故选B．
7．(p)解析：设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，根据条件得
，解得，∴球的半径R＝＝．
∴，故选D．
(q) 解析：由a∥b得＝，∴m＝－4，∴2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．故选B．
8．解析：因为x＞1，所以x2＞1，0＜＜1，则x2－＞0．因为(x2－)2＝(x2＋)2－4＝(2)2－4＝4，所以x2－＝2．故选D．
9．解析：由函数图象可知，在内不可能有零点，又f(1)＝－ln1＝＞0，f(e)＝－lne＝－1＜0，∴在内必有零点，故选D．
10．解析：∵函数ax与loga(x＋1)在[0，1]上具有相同的单调性，∴函数f(x)的最大值、
最小值应在[0，1]的端点处取得，由a0＋loga1＋a1＋loga2＝a得a＝．故选B．
11．(p)解析：对A，∵BD∥B1D1，∴BD∥面CB1D1，∴A正确．
对B，BD⊥AC且BD⊥CC1，∴BD⊥面ACC1A1，∴BD⊥AC1，∴B正确．
对C，∵AC1⊥B1D1，又AC1⊥B1C，∴AC1⊥面CB1D1．∴C正确；
对D，∵AD∥BC，∴∠BCB1为异面直线AD与CB1所成的角，其大小为45°，
∴D错误．故选D．
(q) 解析：函数y＝sin(2x＋)图象右移个单位，即y＝sin[2(x－)＋]，∴y＝sin2x．
又把y＝sin2x图象上各点横坐标缩短到原来的，∴y＝sin4x．故选C．
12．解析：由题意得解得4≤a＜8．故选D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13. (p) (q) 13 14. 15. [1，2] 16. (p) 2＋ (q) 2，
简答与提示：
13．(p)解析：直线的斜率为，则倾斜角满足
即直线的倾斜角为.
(q)解析：待定系数法：由已知可得＝－＝(e1－3e2)－(2e1＋e2)＝－e1
－4e2，＝－＝(5e1＋λe2)－(e1－3e2)＝4e1＋(λ＋3)e2，
由于B、C、D三点共线，所以存在实数m使得＝m，
即－e1－4e2＝m[4e1＋(λ＋3)e2]．
所以，消去m得λ＝13．
14．解析：设x＜0，则－x＞0，即f(－x)＝(－x)2＋1，因为是奇函数，
∴,即－f(x)＝x2＋1，∴f(x)＝－x2－1．
15．解析：因为0≤x≤2，所以1≤x＋1≤3，又因为f(x＋1)＝|x－1|＝|x＋1－2|，
所以f(x)＝|x－2|(1≤x≤3)．由图象可知的单调递减区间为[1,2]．
16．(p)解析：由的几何意义知＝kOP，P在圆(x－3)2＋(y－)2＝6上，如图当直线OP与圆相切时，为最大，设直线OP的方程为y＝kx，则有＝，解得k1＝2＋，
k2＝－2，∴的最大值为2＋．
(q) 解析：由图象得T＝－(－)＝π，
∴ω＝2．又∵, ∴2×＋φ＝， 即φ＝．
三、解答题(本大题共5小题，满分56分)
(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考察的知识点是集合的表示及集合的交、补运算，
同时考察运算求解能力.
【试题解析】解：(1)当a＝0时，M＝{x|x≤－2或x≥3}，
所以CUM＝{x|－2＜x＜3}，CUN＝{x|x＜－1或x＞2}，
所以(CUM)∩(CUN)＝{x|－2＜x＜－1或2＜x＜3}． (5分)
(2)若M∩N＝，则，解得－1＜a＜1．
故当M∩N＝时，实数a的取值范围是{a|－1＜a＜1}． (10分)
(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考察的主要知识点是空间点、线、面关系中的线面平行、
面面垂直的判定，同时考察空间想象能力、逻辑推理能力．
【试题解析】(p) 证明：(1)连结OE．
∵O是AC的中点，E是PC的中点，∴PA∥OE.
又∵PA平面BDE，OE 平面BDE，
∴PA∥平面BDE． (5分)
(2)∵PO⊥底面ABCD，∴PO⊥BD.
又∵AC⊥BD，且AC∩PO＝O，
∴BD⊥平面PAC．而BD 平面BDE，
∴平面PAC⊥平面BDE． (10分)
【命题意图】本小题主要考察的主要知识点是向量的加法、减法、数量积及模的运算，同时考察运算求解能力．
【试题解析】(q) 解：(1)依题意，得
61＝(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝64－48cos－27．
∴cos＝－，∴a与b的夹角为120°． (5分)
(2)|a＋b|＝＝，
|a－b|＝＝． (10分)
(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考察的主要知识点是函数（二次函数）的应用，同时考察运算求解能力和解决实际问题的能力．
【试题解析】解：设该列车每天来回次数为，每次拖挂车厢数为，每天营运人数为．由已知可设，则根据条件得
，解得，． 　 (6分)
所以；
∴当时，．
即每次应拖挂6节车厢,才能使该列车每天的营运人数最多,最多为15840人．(12分)
(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考察的主要知识点是直线与圆的位置关系及两条直线的位置
关系，同时考察运算求解能力．
【试题解析】(p) 解：(1)证明：直线l的方程可化为(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0．
令得∴ 直线l恒过定点A(3，1)． (5分)
∵(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，
∴点A是圆C内部一定点，从而直线l与圆始终有两个公共点,
即直线与圆相交. (8分)
(2)圆心为C(1，2)，要使截得的弦长最短，当且仅当l⊥AC．
而C(1，2)，A(3，1)，所以
进而, 直线l的方程为y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0. (12分)
【命题意图】本小题主要考察的主要知识点是向量的加法、减法和数量积的运算、三角函数的恒等式、函数的最值，同时考察运算求解能力．
【试题解析】(q) 解：(1)【解法一】依题意得：a＋b＝，，a－b＝，
∴(a＋b)·(a－b)＝，
∴(a＋b)⊥(a－b)． (5分)
【解法二】依题意得，∴(a＋b)·(a－b)=，
∴(a＋b)⊥(a－b)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5分)
(2)依题意得a＋c＝(cos＋1，sin－1)，b＋c＝(cos＋1，－sin－1)，
∴|a＋c|2－3＝(cos＋1)2＋(sin－1)2－3＝2cos－2sin，
|b＋c|2－3＝(cos＋1)2＋(－sin－1)2－3＝2cos＋2sin，
∴f(x)＝(|a＋c|2－3)(|b＋c|2－3)＝(2cos－2sin)(2cos＋2sin)
＝4＝4.　又x∈ ， ∴∈
故当，即时，；当，即时，
∴函数的最大值为4，最小值为0． (12分)
(本小题满分12分)
【命题意图】本小题主要考察的主要知识点是函数的性质、函数的单调性及抽象函
数的不等式解法，同时考察学生的运算求解能力和推理论证能力．
【试题解析】解：(1)对于任意的正实数m，n都有成立，
所以令m＝n＝1，则．
∴，即1是函数f(x)的零点． (3分)
(2)设0＜x1＜x2，则由于对任意正数，
所以，即
又当x＞1时，，而．所以.
从而，因此在(0，＋∞)上是减函数． (7分)
(3)根据条件有，
所以等价于．
再由是定义在(0，＋∞)上的减函数，所以0＜ax＋4＜4．即. (9分)
当a＝0时,－4＜0<0不成立，此时不等式的解集为；　　　　　　　　　(10分)
当a＞0时,－4＜ax＜0，即，此时不等式的解集为；
当a＜0时,－4＜ax＜0，即，此时不等式的解集为.(12分)