广东省深圳市普通高中2020-2021学年高二下学期期末调研考试数学试题 Word版含答案
文档属性
| 名称 | 广东省深圳市普通高中2020-2021学年高二下学期期末调研考试数学试题 Word版含答案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-02 09:56:57 | ||
图片预览
文档简介
绝密★启用前 试卷类型：A
深圳市2021年普通高中高二年级调研考试
数 学 2021.6
本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合false，false，则false
A．false B．false C．false D．false
2．已知复数false（false为虚数单位），则false
A．false B．false C．false D．false
3．已知向量false，false，若false，false，则false
A．false B．false C．false D．false
4．false名同学参加false个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是
A．false B．false C．false D．false
5．已知数列false的前false项和false，若false，则false
A．false B．false C．false D．false
6．已知false：“false，false”，false：“falsefalse，且false的图象不过第一象限”，则false是false的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若false，false，则下列式子成立的是
A．false B．false C．false D．false
8．设false，若存在正实数false，使得不等式false成立，则false的最大值为
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9． 若false是双曲线false上一点，false的一个焦点坐标为false，则下列结论中正确的是
A．false B．渐近线方程为false
C．false的最小值是false D．焦点到渐近线的距离是false
10．已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为false，双曲正弦函数为false．则下列结论中正确的是
A．false B．false C．false D．false是奇函数
11．设函数false的图象为曲线false，则下列结论中正确的是
A．false是曲线false的一个对称中心
B．若false，且false，则false的最小值为false
C．将曲线false向右平移false个单位长度，与曲线false重合
D．将曲线false上各点的横坐标缩短到原来的false，纵坐标不变，与曲线false重合
1279525557530A
C
B
D
E
A
C
B
D
E
12．如图，菱形false边长为false，false，false为边false的中点．将false沿false折起，使false到false，且平面false平面false，连接false，false．
307213017145A'
C
B
D
E
A'
C
B
D
E
256095567945
则下列结论中正确的是
A．false B．四面体false的外接球表面积为false
C．false与false所成角的余弦值为false D．直线false与平面false所成角的正弦值为false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线false在false处的切线方程为 ．
14．设抛物线false的焦点为false，抛物线上一点false到false的距离为false，则false ．
15．中国工程院院士袁隆平，被誉为“世界杂交水稻之父”．他发明的“三系法”籼型杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产false公斤，到第二期亩产false公斤，第三期亩产false公斤，第四期亩产false公斤．将第一期视为第二期的父代，第二期视为第三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分析的方法预测第五期的产量为每亩 公斤．
附：用最小二乘法求得线性回归方程为false，其中false ，false．
16．英国数学家泰勒发现了公式：false，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明．
false．
其发现过程简单分析如下：
当false时，有false，
容易看出方程false的所有解为：false，false，false，false，false，
于是方程false可写成：false，
改写成：false． （*）
比较方程（*）与方程false中false项的系数，即可得
false__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，false．
（1）求角false；
（2）若false，false，求false的面积．
18．（12分）
已知等差数列false的前false项和为false，数列false为等比数列，满足false，false，false是false与false的等差中项．
（1）求数列false，false的通项公式；
（2）若false，false是数列false的前false项和，求false．
（12分）
如图，在五面体false中，面false为矩形，且与面false垂直，false，
376174019685A
C
B
F
E
D
A
C
B
F
E
D
false，false．
（1）证明：false//false；
（2）求平面false与平面false所成的锐二面角的余弦值．
20．（12分）
从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图．
分组
频数
频率
[2.5，7.5)
2
0.002
[7.5，12.5)
false
0.054
[12.5，17.5)
106
0.106
[17.5，22.5)
149
0.149
[22.5，27.5)
352
false
[27.5，32.5)
190
0.190
[32.5，37.5)
100
0.100
[37.5，42.5)
47
0.047
合计
1000
1.000
50800147955
（1）求false，false，false的值；
（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数false（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值false服从正态分布false，其中false近似为样本平均数false，false近似为样本方差false，其中已计算得false．如果产品的质量指标值位于区间
false，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间false之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记false为抽取的20件产品所获得的总利润，求false．
附：false，false，false．
21．（12分）
已知椭圆false的长轴长为false，离心率为false，
（1）求椭圆false的方程；
3479165741045O
A
x
D
M
N
B
y
O
A
x
D
M
N
B
y
（2）过椭圆false上的点falsefalse的直线false与false，false轴的交点分别为false，false，且false，过原点false的直线false与false平行，且与false交于false，false两点，求false面积的最大值．
22． （12分）
已知函数false，false，false是自然对数的底数．
（1）当false时，讨论false的单调性；
（2）当false时，false，求false的取值范围．
3886200-394970试题类型：A
试题类型：A
-227330-295910绝密★启封并使用完毕前
绝密★启封并使用完毕前
2021年深圳市高二期末调研考试
数学试题答案及评分参考
一、单项选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
D
A
C
A
C
A
二、多项选择题：
题号
9
10
11
12
答案
BCD
AC
BD
BCD
三、填空题：
13. false； 14. false； 15. false； 16. false.
8．解：因为false，所以false，
因为false，所以false
即false．
因为false，设函数false在false为增函数，
所以false所以false．
又函数false在false为增函数，在false为减函数，所以false的最大值为false．
命题意图：本题涉及函数与导数知识，重点考查函数的单调性以及构造新函数，对学生的逻辑推理能力，运算能力的都有比较高的要求．
15．解：因为false，false，所以
false，
false，
所以false，
所以第五期产量为false．
命题意图：以粮食产量为命题背景，结合生活实例，激发学生爱国热情，向伟人学习.考查统计中的回归分析，重点考查学生数据分析，对核心概念的理解．
四、解答题：
17．解：（1）法一：由false得，
false， …………………1分
整理得，false． …………………2分
∵ false，false， …………………3分
∴false，即false． …………………4分
又false，所以，false． …………………5分
法二：由false应用正弦定理得，
false， …………………1分
即 false， …………………2分
整理得，false， …………………3分
于是false， …………………4分
又false，所以，false． …………………5分
法三：由false应用正弦定理，得
false， …………………1分
由余弦定理，可得false，代入上式，得 …………………2分
false． …………………3分
∵ false，∴ false， …………………4分
又false，所以，false． …………………5分
（2）false，false，由余弦定理，得
false， …………………6分
false …………………7分
即false，则false． …………………8分
于是falsefalse． …………………10分
命题意图：本题是一道解三角形的常规题型．涉及三角形内角和、三角恒等变换、正弦定理、余弦定理、三角形面积等核心知识，重点考查逻辑推理和数学运算等数学素养，同时关注化归与转化的思想方法．
18．解：（1）设等差数列false的公差为false，等比数列false的公比为false，
由false，false，false是false与false的等差中项，
false，false ……………………………………………………………1分
则false； ……………………………………………………2分
false，false， ………………………………………………………………3分
即false， ……………………………………………………………………4分
false，false， …………………………………………………………………………………5分
false； …………………………………………………………………………………6分
（2）false，
所以false， ………………………………………………………7分
false， …………………………………………………8分
两式相减可得false， …………………………………………10分
false， ………………………………………………………11分
化简得，false． ………………………………………………………………12分
优网命题意图：本题考查了等差数列和等比数列基本量的运算，错位相减法求和的相关知识，考查了方程和化归转化思想，考查了数学运算和逻辑推理的核心素养所．
解：（1）证明：∵ 面false为矩形，false，
且false平面false，false平面false， …………………1分
∴ false平面false， …………………2分
又false平面false，平面false 平面false， …………………3分
∴ false． …………………4分
（2）法一：（向量法）∵ 面false为矩形面，false，
又面false面false，
且面false面false，
∴ false面false， …………………5分
由（1）知，false.，又false，
∴ false， …………………6分
∴ false，false，false两两垂直，
以false，false，false所在直线分别为false轴，false轴，false轴建立图示空间直角坐标系，则false，false，false，false，false，false． …………………7分
false，false，false，false， …………………8分
设平面false与平面false的法向量分别为false，false，
则falsefalse
∴ false false
令false，解得false， …………………9分
令false，解得false， …………………10分
于是false， …………………11分
所以平面false与平面false所成的锐二面角的余弦值为false．……………12分
1934210173990A
C
B
F
E
D
x
y
z
A
C
B
F
E
D
x
y
z
法二：（几何法）
由（1）知，false，false，∴false ，
又false，∴false，且false， …………………5分
∴ false平面false，且false平面false，
∴ 平面false平面false．
∴二面角false与二面角false之和为false．………………6分
易知false 平面false，∴false．
如图，在false中作false，垂足为false，连接false，…………………7分
3731260227965F
E
A
C
B
D
M
F
E
A
C
B
D
M
false，
∴ false平面false，则false，………………8分
false即为平面false与平面false所成二面角的平面角．
………………9分
false，
false，………………10分
则 false． ………………11分
即平面false与平面false所成的锐二面角的余弦值为false．………………12分
法三：（构造空间角）
如图，取false中点false，连接false，false，
则由（1）可知false，false且false平面false，
∴ 多面体false是直三棱柱． ………………5分
如图在false中作false，垂足为false， ………………6分
作false，交false于点false，连接false， ………………7分
则false，false，
且false，
442023573660F
E
A
C
B
D
M
N
G
F
E
A
C
B
D
M
N
G
∴false平面false，则false， ………………8分
所以，false即为平面false与平面false所成二面角的平面角．…9分
false，
false，………………10分
false．………………11分
所以平面false与平面false所成的锐二面角的余弦值为false．…………12分
命题意图：本题是以五面体为载体，以长方体切割为背景，以空间几何体的结构，线线、线面平行的判定与性质，线面、面面垂直的判定与性质，空间角的构造与计算等核心知识为问题，重点考查综合几何法和向量法解决空间几何 问题的基本能力，和直观想象、逻辑推理与数学运算等数学素养，同时关注方程思想和化归与转化的思想，体现一题多解的策略，更体现开放大气的命题情怀．
20．解：（1）结合频率分布表可以得到false，false，false ……………… 3分
（2）抽取这1000件产品质量指标值的样本平均数false为：
false，
…………………………6分
（3）因为false，由（2）知false， ……………………8分
从而false，
设false为随机抽取20件产品质量指标值位于false之外的件数.
依题意知false，所以false， …………………………10分
所以false
答：该企业从一天生产的产品中随机抽取20件产品的利润为false. ………………………… 12分
命题意图：本题涉及频率分布直方图、频率分布表、正态分布，二项分布，随机变量分布列等知识，主要考查学生数据分析、数学运算、逻辑推理等能力.
21．解法一：（1）false点false在椭圆上且false，false， …………………………………………1分
又椭圆离心率为false，false， ……………………………………………………2分
由false解得false． ……………………………………………………3分
false椭圆的标准方程为：false． …………………………………………………4分
（2）点false在椭圆上，falsefalse，即false， … ……………………………………5分
设经过点false的直线方程为：false，
可得false，false．
falsefalse，falsefalse即false．直线false斜率为false，
falsefalse，false方程为false， …………………………………………………6分
即false，
联立false，
解得false，falsefalse，
falsefalse， ……………………………………7分
点false到直线false的距离为false， ……………………………8分
false， ……………………………………9分
false， ……………………………………10分
false，false， ……………………………11分
三角形false面积的最大值为false，当且仅当false，即false时，等号成立． ……12分
解法二：（1）同解法一
（2）设false，false，则false，
false满足曲线false上，则false，
化简得，false． ……………………………………………………………5分
直线的false方程为false，即false，
原点到false直线false的距离为false， ……………………………………6分
易得直线的false方程为false，设false，false，
联立方程组：false，化简得false，
则false
falsefalse， ……………………………………7分
false
false， ………………………………………8分
又false ……………………………………………………9分
false， ………………………………………10分
false，三角形false面积的最大值为false， …………………………………11分
当且仅当false时，false，即false时，等号成立． ……………………12分
命题意图：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，基本不等式的应用，考查了数形结合的方法和化归思想，考查学生直观想象和数学运算的核心素养．
22．解法一：（1）当false时，false， …………………………1分
令false，得false，
由false，得false，
由false，得false或false， ……………………………………3分
所以false在false上单调递减，
在false上单调递增，在false上单调递减． ……………………………4分
（2）由当时，，得false，
记false，则false， ………………………5分
①当false时，则false，可知false在false上单调递增，且false，
不满足当时，，舍去； …………………………………………7分
②当false时，令false，得false，false，
因为false，所以当false时，false，当false时，false，
故false在false上单调递减，在false上单调递增，
所以false，解得false，
因为false，所以false； …………………………9分
③当false时，则false，此时当false时，false，故false在false上单调递减，
所以false，解得false，所以false； …………………11分
综上所述，false的取值范围是false. ……………………12分
解法二：（1）同解法一
（2）由当时，，得false，
记false，则false， ………………………5分
由false，得false，由false，得false； ……………7分
①当false时，令false，得false，false，
因为false，所以当false时，false，当false时，false，
故false在false上单调递减，在false上单调递增，
所以false，解得false，
因为false，false，所以false； ……………………10分
②当false时，false，此时当false时，false，故false在false上单调递减，
所以false，解得false，所以false； …………11分
综上所述，false的取值范围是false. …………12分
命题意图：本题以基本初等函数的单调性问题、最值和不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，考查学生分类讨论和化归转化的数学思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，具有较强的综合性.
深圳市2021年普通高中高二年级调研考试
数 学 2021.6
本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
一、单项选择题：本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合false，false，则false
A．false B．false C．false D．false
2．已知复数false（false为虚数单位），则false
A．false B．false C．false D．false
3．已知向量false，false，若false，false，则false
A．false B．false C．false D．false
4．false名同学参加false个课外知识讲座，每名同学必须且只能随机选择其中的一个，不同的选法种数是
A．false B．false C．false D．false
5．已知数列false的前false项和false，若false，则false
A．false B．false C．false D．false
6．已知false：“false，false”，false：“falsefalse，且false的图象不过第一象限”，则false是false的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．若false，false，则下列式子成立的是
A．false B．false C．false D．false
8．设false，若存在正实数false，使得不等式false成立，则false的最大值为
A．false B．false C．false D．false
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9． 若false是双曲线false上一点，false的一个焦点坐标为false，则下列结论中正确的是
A．false B．渐近线方程为false
C．false的最小值是false D．焦点到渐近线的距离是false
10．已知双曲函数是一类与三角函数性质类似的函数．双曲余弦函数为false，双曲正弦函数为false．则下列结论中正确的是
A．false B．false C．false D．false是奇函数
11．设函数false的图象为曲线false，则下列结论中正确的是
A．false是曲线false的一个对称中心
B．若false，且false，则false的最小值为false
C．将曲线false向右平移false个单位长度，与曲线false重合
D．将曲线false上各点的横坐标缩短到原来的false，纵坐标不变，与曲线false重合
1279525557530A
C
B
D
E
A
C
B
D
E
12．如图，菱形false边长为false，false，false为边false的中点．将false沿false折起，使false到false，且平面false平面false，连接false，false．
307213017145A'
C
B
D
E
A'
C
B
D
E
256095567945
则下列结论中正确的是
A．false B．四面体false的外接球表面积为false
C．false与false所成角的余弦值为false D．直线false与平面false所成角的正弦值为false
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线false在false处的切线方程为 ．
14．设抛物线false的焦点为false，抛物线上一点false到false的距离为false，则false ．
15．中国工程院院士袁隆平，被誉为“世界杂交水稻之父”．他发明的“三系法”籼型杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某地种植超级杂交稻，产量从第一期大面积亩产false公斤，到第二期亩产false公斤，第三期亩产false公斤，第四期亩产false公斤．将第一期视为第二期的父代，第二期视为第三期的父代，或第一期视为第三期的祖父代，并且认为子代的产量与父代的产量有关，请用线性回归分析的方法预测第五期的产量为每亩 公斤．
附：用最小二乘法求得线性回归方程为false，其中false ，false．
16．英国数学家泰勒发现了公式：false，瑞士大数学家欧拉凭着他非凡的数学洞察力，由此公式得到了下面的无穷级数之和，并最终给出了严格证明．
false．
其发现过程简单分析如下：
当false时，有false，
容易看出方程false的所有解为：false，false，false，false，false，
于是方程false可写成：false，
改写成：false． （*）
比较方程（*）与方程false中false项的系数，即可得
false__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知false的内角false，false，false的对边分别为false，false，false，false．
（1）求角false；
（2）若false，false，求false的面积．
18．（12分）
已知等差数列false的前false项和为false，数列false为等比数列，满足false，false，false是false与false的等差中项．
（1）求数列false，false的通项公式；
（2）若false，false是数列false的前false项和，求false．
（12分）
如图，在五面体false中，面false为矩形，且与面false垂直，false，
376174019685A
C
B
F
E
D
A
C
B
F
E
D
false，false．
（1）证明：false//false；
（2）求平面false与平面false所成的锐二面角的余弦值．
20．（12分）
从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图．
分组
频数
频率
[2.5，7.5)
2
0.002
[7.5，12.5)
false
0.054
[12.5，17.5)
106
0.106
[17.5，22.5)
149
0.149
[22.5，27.5)
352
false
[27.5，32.5)
190
0.190
[32.5，37.5)
100
0.100
[37.5，42.5)
47
0.047
合计
1000
1.000
50800147955
（1）求false，false，false的值；
（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数false（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值false服从正态分布false，其中false近似为样本平均数false，false近似为样本方差false，其中已计算得false．如果产品的质量指标值位于区间
false，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间false之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记false为抽取的20件产品所获得的总利润，求false．
附：false，false，false．
21．（12分）
已知椭圆false的长轴长为false，离心率为false，
（1）求椭圆false的方程；
3479165741045O
A
x
D
M
N
B
y
O
A
x
D
M
N
B
y
（2）过椭圆false上的点falsefalse的直线false与false，false轴的交点分别为false，false，且false，过原点false的直线false与false平行，且与false交于false，false两点，求false面积的最大值．
22． （12分）
已知函数false，false，false是自然对数的底数．
（1）当false时，讨论false的单调性；
（2）当false时，false，求false的取值范围．
3886200-394970试题类型：A
试题类型：A
-227330-295910绝密★启封并使用完毕前
绝密★启封并使用完毕前
2021年深圳市高二期末调研考试
数学试题答案及评分参考
一、单项选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
B
D
A
C
A
C
A
二、多项选择题：
题号
9
10
11
12
答案
BCD
AC
BD
BCD
三、填空题：
13. false； 14. false； 15. false； 16. false.
8．解：因为false，所以false，
因为false，所以false
即false．
因为false，设函数false在false为增函数，
所以false所以false．
又函数false在false为增函数，在false为减函数，所以false的最大值为false．
命题意图：本题涉及函数与导数知识，重点考查函数的单调性以及构造新函数，对学生的逻辑推理能力，运算能力的都有比较高的要求．
15．解：因为false，false，所以
false，
false，
所以false，
所以第五期产量为false．
命题意图：以粮食产量为命题背景，结合生活实例，激发学生爱国热情，向伟人学习.考查统计中的回归分析，重点考查学生数据分析，对核心概念的理解．
四、解答题：
17．解：（1）法一：由false得，
false， …………………1分
整理得，false． …………………2分
∵ false，false， …………………3分
∴false，即false． …………………4分
又false，所以，false． …………………5分
法二：由false应用正弦定理得，
false， …………………1分
即 false， …………………2分
整理得，false， …………………3分
于是false， …………………4分
又false，所以，false． …………………5分
法三：由false应用正弦定理，得
false， …………………1分
由余弦定理，可得false，代入上式，得 …………………2分
false． …………………3分
∵ false，∴ false， …………………4分
又false，所以，false． …………………5分
（2）false，false，由余弦定理，得
false， …………………6分
false …………………7分
即false，则false． …………………8分
于是falsefalse． …………………10分
命题意图：本题是一道解三角形的常规题型．涉及三角形内角和、三角恒等变换、正弦定理、余弦定理、三角形面积等核心知识，重点考查逻辑推理和数学运算等数学素养，同时关注化归与转化的思想方法．
18．解：（1）设等差数列false的公差为false，等比数列false的公比为false，
由false，false，false是false与false的等差中项，
false，false ……………………………………………………………1分
则false； ……………………………………………………2分
false，false， ………………………………………………………………3分
即false， ……………………………………………………………………4分
false，false， …………………………………………………………………………………5分
false； …………………………………………………………………………………6分
（2）false，
所以false， ………………………………………………………7分
false， …………………………………………………8分
两式相减可得false， …………………………………………10分
false， ………………………………………………………11分
化简得，false． ………………………………………………………………12分
优网命题意图：本题考查了等差数列和等比数列基本量的运算，错位相减法求和的相关知识，考查了方程和化归转化思想，考查了数学运算和逻辑推理的核心素养所．
解：（1）证明：∵ 面false为矩形，false，
且false平面false，false平面false， …………………1分
∴ false平面false， …………………2分
又false平面false，平面false 平面false， …………………3分
∴ false． …………………4分
（2）法一：（向量法）∵ 面false为矩形面，false，
又面false面false，
且面false面false，
∴ false面false， …………………5分
由（1）知，false.，又false，
∴ false， …………………6分
∴ false，false，false两两垂直，
以false，false，false所在直线分别为false轴，false轴，false轴建立图示空间直角坐标系，则false，false，false，false，false，false． …………………7分
false，false，false，false， …………………8分
设平面false与平面false的法向量分别为false，false，
则falsefalse
∴ false false
令false，解得false， …………………9分
令false，解得false， …………………10分
于是false， …………………11分
所以平面false与平面false所成的锐二面角的余弦值为false．……………12分
1934210173990A
C
B
F
E
D
x
y
z
A
C
B
F
E
D
x
y
z
法二：（几何法）
由（1）知，false，false，∴false ，
又false，∴false，且false， …………………5分
∴ false平面false，且false平面false，
∴ 平面false平面false．
∴二面角false与二面角false之和为false．………………6分
易知false 平面false，∴false．
如图，在false中作false，垂足为false，连接false，…………………7分
3731260227965F
E
A
C
B
D
M
F
E
A
C
B
D
M
false，
∴ false平面false，则false，………………8分
false即为平面false与平面false所成二面角的平面角．
………………9分
false，
false，………………10分
则 false． ………………11分
即平面false与平面false所成的锐二面角的余弦值为false．………………12分
法三：（构造空间角）
如图，取false中点false，连接false，false，
则由（1）可知false，false且false平面false，
∴ 多面体false是直三棱柱． ………………5分
如图在false中作false，垂足为false， ………………6分
作false，交false于点false，连接false， ………………7分
则false，false，
且false，
442023573660F
E
A
C
B
D
M
N
G
F
E
A
C
B
D
M
N
G
∴false平面false，则false， ………………8分
所以，false即为平面false与平面false所成二面角的平面角．…9分
false，
false，………………10分
false．………………11分
所以平面false与平面false所成的锐二面角的余弦值为false．…………12分
命题意图：本题是以五面体为载体，以长方体切割为背景，以空间几何体的结构，线线、线面平行的判定与性质，线面、面面垂直的判定与性质，空间角的构造与计算等核心知识为问题，重点考查综合几何法和向量法解决空间几何 问题的基本能力，和直观想象、逻辑推理与数学运算等数学素养，同时关注方程思想和化归与转化的思想，体现一题多解的策略，更体现开放大气的命题情怀．
20．解：（1）结合频率分布表可以得到false，false，false ……………… 3分
（2）抽取这1000件产品质量指标值的样本平均数false为：
false，
…………………………6分
（3）因为false，由（2）知false， ……………………8分
从而false，
设false为随机抽取20件产品质量指标值位于false之外的件数.
依题意知false，所以false， …………………………10分
所以false
答：该企业从一天生产的产品中随机抽取20件产品的利润为false. ………………………… 12分
命题意图：本题涉及频率分布直方图、频率分布表、正态分布，二项分布，随机变量分布列等知识，主要考查学生数据分析、数学运算、逻辑推理等能力.
21．解法一：（1）false点false在椭圆上且false，false， …………………………………………1分
又椭圆离心率为false，false， ……………………………………………………2分
由false解得false． ……………………………………………………3分
false椭圆的标准方程为：false． …………………………………………………4分
（2）点false在椭圆上，falsefalse，即false， … ……………………………………5分
设经过点false的直线方程为：false，
可得false，false．
falsefalse，falsefalse即false．直线false斜率为false，
falsefalse，false方程为false， …………………………………………………6分
即false，
联立false，
解得false，falsefalse，
falsefalse， ……………………………………7分
点false到直线false的距离为false， ……………………………8分
false， ……………………………………9分
false， ……………………………………10分
false，false， ……………………………11分
三角形false面积的最大值为false，当且仅当false，即false时，等号成立． ……12分
解法二：（1）同解法一
（2）设false，false，则false，
false满足曲线false上，则false，
化简得，false． ……………………………………………………………5分
直线的false方程为false，即false，
原点到false直线false的距离为false， ……………………………………6分
易得直线的false方程为false，设false，false，
联立方程组：false，化简得false，
则false
falsefalse， ……………………………………7分
false
false， ………………………………………8分
又false ……………………………………………………9分
false， ………………………………………10分
false，三角形false面积的最大值为false， …………………………………11分
当且仅当false时，false，即false时，等号成立． ……………………12分
命题意图：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，基本不等式的应用，考查了数形结合的方法和化归思想，考查学生直观想象和数学运算的核心素养．
22．解法一：（1）当false时，false， …………………………1分
令false，得false，
由false，得false，
由false，得false或false， ……………………………………3分
所以false在false上单调递减，
在false上单调递增，在false上单调递减． ……………………………4分
（2）由当时，，得false，
记false，则false， ………………………5分
①当false时，则false，可知false在false上单调递增，且false，
不满足当时，，舍去； …………………………………………7分
②当false时，令false，得false，false，
因为false，所以当false时，false，当false时，false，
故false在false上单调递减，在false上单调递增，
所以false，解得false，
因为false，所以false； …………………………9分
③当false时，则false，此时当false时，false，故false在false上单调递减，
所以false，解得false，所以false； …………………11分
综上所述，false的取值范围是false. ……………………12分
解法二：（1）同解法一
（2）由当时，，得false，
记false，则false， ………………………5分
由false，得false，由false，得false； ……………7分
①当false时，令false，得false，false，
因为false，所以当false时，false，当false时，false，
故false在false上单调递减，在false上单调递增，
所以false，解得false，
因为false，false，所以false； ……………………10分
②当false时，false，此时当false时，false，故false在false上单调递减，
所以false，解得false，所以false； …………11分
综上所述，false的取值范围是false. …………12分
命题意图：本题以基本初等函数的单调性问题、最值和不等式证明为载体，考查学生利用导数分析、解决问题的能力，考查学生分类讨论和化归转化的数学思想，考查逻辑推理、数学运算等核心素养，具有较强的综合性.
同课章节目录