1.1.2 集合间的基本关系

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1.1.2　集合间的基本关系
Q　
根据集合的定义，我们知道集合有无数多个，可以用集合来区分事物．如{四足动物}，{两足动物}，{绿色植物}，{菌类植物}，{植物}，{动物}，{汽车}．但有些集合之间有密切的关系．如{四足动物}与{动物}，前一个集合的元素都是后一个集合的元素，且后一个集合元素的个数比前一个集合元素的个数多很多，这两个集合之间的关系如何用简短的数学语言来表达呢？学完本节内容就明白了！
X　
1．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观．
(2)表示：通常用__封闭曲线__的__内部__表示集合．
2．子集、真子集、集合相等的相关概念
[知识点拨]　(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B．
(2)不能把“A?B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B．
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A．
(4)对于集合A，B，C，若A?B，B?C，则A?C；任何集合都不是它本身的真子集．
(5)若A?B，且A≠B，则A?B．
3．空集
(1)定义：不含__任何__元素的集合叫做空集，记为__?__.
(2)规定：__空集__是任何集合的子集．
4．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A?A．
(2)对于集合A，B，C，
①若A?B，且B?C，则A?C；
②若A?B，B?C，则A?C．
(3)若A?B，A≠B，则A?B．
Y　
1．已知集合M＝{1}，N＝{1,2,3}，则有(　D　)
A．M＜N　　　　　　
B．M∈N
C．N?M
D．M?N
[解析]　∵1∈{1,2,3}，∴{1}?{1,2,3}．故选D．
2．下列四个集合中，是空集的为(　B　)
A．{0}
B．{x|x>8，且x<5}
C．{x∈N|x2－1＝0}
D．{x|x>4}
[解析]　x>8，且x<5的数x不存在，∴选项B中的集合不含有任何元素，故选B．
3．设集合A＝{x|x＝，n∈Z}，B＝{x|x＝n＋，n∈Z}，则下列图形能表示集合A与B的关系的是(　B　)
[解析]　解法一：对于集合A，其组成元素是，分子部分表示所有的整数；
对于集合B，其组成元素是＋n＝，分子部分表示所有的奇数．
由真子集的概念知，B?A．
解法二：用列举法表示集合如下：
A＝{…，－，－1，－，0，，1，，2，，…}，B＝{…，－，－，，，，…}，所以B?A．
4．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B?A，则实数m＝__4__.
[解析]　因为B?A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，比较A，B中的元素可知m＝4.
5．已知集合A＝{x|x≤a＋5}，B＝{x|x<－1或x>6}，若A?B，求a的取值范围．
[解析]　∵A?B，∴将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．
由图可知，a＋5<－1，
∴a<－6.
H　
命题方向1　?集合间关系的判定
典例1　指出下列各对集合之间的关系：
(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；
(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；
(3)A＝{x|－1(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N
}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N
}．
[思路分析]　先找到集合中元素的特征，再由特征判断集合之间的关系．
[解析]　(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．
(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A?B．
(3)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如下图所示，由图可知A?B．
(4)解法一：两个集合的元素都是正奇数，但由于n∈N
，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N?M.
解法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N?M.
『规律方法』　判断两个集合A，B之间是否存在包含关系有以下几个步骤：
第一步：明确集合A，B中元素的特征．
第二步：分析集合A，B中元素之间的关系．
(1)当集合A中的元素都属于集合B时，有A?B．
(2)当集合A中的元素都属于集合B，但集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有A?B．
(3)当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素都属于集合A时，有A＝B．
(4)当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少也有一个元素不属于集合A时，有A?B，且B?A，即集合A，B互不包含．
〔跟踪练习1〕
判断下列各组集合之间的关系：
(1)A＝{x|x是12的约数}，
B＝{x|x是36的约数}；
(2)A＝{x|x2－x＝0}，
B＝{x∈R|x2＋1＝0}；
(3)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}．
[解析]　(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A?B．
(2)因为A＝{x|x2－x＝0}＝{0,1}，B＝{x∈R|x2＋1＝0}＝?，所以B?A．
(3)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而C?A?B?D．
命题方向2　?确定集合的子集、真子集
典例2　设A＝{x|(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0}，写出集合A的子集，并指出其中哪些是它的真子集．
[思路分析]　→→
[解析]　由(x2－16)(x2＋5x＋4)＝0，得(x－4)(x＋1)(x＋4)2＝0，则方程的根为x＝－4或x＝－1或x＝4.
故集合A＝{－4，－1,4}，由0个元素构成的子集为：?.
由1个元素构成的子集为：{－4}，{－1}，{4}．
由2个元素构成的子集为：{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
由3个元素构成的子集为：{－4，－1,4}．
因此集合A的子集为：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}，{－4，－1,4}．
真子集为：?，{－4}，{－1}，{4}，{－4，－1}，{－4,4}，{－1,4}．
『规律方法』　(1)若集合A中有n(n∈N＋)个元素，则集合A有2n个子集，有(2n－1)个真子集，有(2n－1)个非空子集，有(2n－2)个非空真子集．
(2)写出一个集合的所有子集时，首先要注意两个特殊的子集：?和自身．其次，依次按含有1个元素的子集，含有2个元素的子集，含有3个元素的子集……一一写出，保证不重不漏．
〔跟踪练习2〕
满足{a，b}?A?{a，b，c，d，e}的集合A的个数是(　C　)
A．2　　　
B．6
C．7
D．8
[解析]　由题意知，集合A可以为{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，e}，{a，b，c，d}，{a，b，c，e}，{a，b，d，e}．
命题方向3　?由集合间的关系求参数的值和范围
典例3　(1)已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B?A，则实数m＝__1__；
(2)已知集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，求实数a的取值范围．
[思路分析]　(1)根据子集的定义建立等量关系，注意分类讨论思想的运用；(2)对集合B是否为空集进行讨论，列出有关不等式(组)，进而求出a的取值范围．
[解析]　(1)因为B?A，所以m2＝2m－1，
即(m－1)2＝0，所以m＝1.当m＝1时，A＝{－1,3,1}，B＝{3,1}，满足B?A，故m＝1.
(2)当B＝?时，只需2a>a＋3，即a>3；
当B≠?时，根据题意作出如图所示的数轴，
可得或，解得a<－4或2综上可得，实数a的取值范围为a<－4或a>2.
『规律方法』　(1)弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；
(2)看集合中是否含有参数，若含参数，应考虑参数使该集合为空集的情形；
(3)将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关参数的值或取值范围．
〔跟踪练习3〕
已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．
(1)若B?A，则a的取值范围是__a≤3__；
(2)若A?B，则a的取值范围是__a≥3__；
(3)若A?B，则a的取值范围是__a>3__；
(4)若A＝B，则a的值是__3__.
[解析]　(1)若B?A应满足a≤3.
(2)若A?B应满足a≥3.
(3)A?B应满足a>3.
(4)若A＝B则a＝3.?
Y　　　　
典例4　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，求实数m的取值范围．
[错解]　由题意并结合数轴(如下图)，
得，解得2≤m≤3.
[错因分析]　错解中忽略了B＝?时的情形．
[正解]　①当B＝?时，??A，符合题意，此时m＋1>2m－1，解得m<2.
②当B≠?时，由题意结合数轴(如下图)．
得，解得2≤m≤3.
综合上可知m的取值范围是m≤3.
『规律方法』　空集是一种特殊的集合，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，当B?A时，B为空集的情况容易被忽略，因此，当条件不明确时，要注意分情况讨论，本题中若不考虑B为空集的情况，将会丢掉m<2这一部分解．
X　　分类讨论思想的应用　　
分类讨论，通俗地讲，就是“化整为零，各个击破”．分类讨论要弄清楚是依据哪个参数进行分类的，采用的标准是什么．分类讨论的原则是：(1)不重不漏；(2)一次分类只能按所确定的同一个标准进行．
典例5　已知集合A＝{a，a＋b，a＋2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求c的值．
[思路分析]　根据集合相等的定义和集合元素的互异性求解．由于A＝B，元素a在两个集合中都有，故其余两个元素的情况需分类讨论．
[解析]　①若，消去b得a＋ac2－2ac＝0，即a(c2－2c＋1)＝0，
当a＝0时，集合B中的三个元素相同，不满足集合中元素的互异性，
故a≠0，c2－2c＋1＝0，即c＝1.
当c＝1时，集合B中的三个元素也相同，∴c＝1舍去，即此时无解．
②若，消去b得2ac2－ac－a＝0，
即a(2c2－c－1)＝0，∵a≠0，∴2c2－c－1＝0，即(c－1)(2c＋1)＝0.又∵c≠1，∴c＝－.
当c＝－时，，∴b＝－a，∴A＝{a，a，－a}，B＝{a，a，－a}，∴A＝B．综上可知c＝－.
『规律方法』　1.两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
2．若两个集合中元素均为无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足条件是否一致，若均一致，则两集合相等．
K　
1．已知集合A＝{x|x2＝4}，①2?A；②{－2}∈A；③??A；④{－2,2}＝A；⑤－2∈A．则上列式子表示正确的有(　C　)
A．1个　　　　　　　
B．2个
C．3个
D．4个
[解析]　∵集合A＝{－2,2}，故③④⑤正确．
2．若{1,2}＝{x|x2＋bx＋c＝0}，则(　A　)
A．b＝－3，c＝2
B．b＝3，c＝－2
C．b＝－2，c＝3
D．b＝2，c＝－3
[解析]　由题意可知，1,2是方程x2＋bx＋c＝0的两个实根，∴，∴.
3．(2019·吉林榆树一中高一期末测试)已知集合A?B，A?C，B＝{0,1,2,8}，C＝{1,3,8,9}，则集合A可以是(　A　)
A．{1,8}
B．{2,3}
C．{0}
D．{9}
[解析]　∵A?B，A?C，
∴集合A中的元素既是集合B的元素又是集合C的元素，
∴集合A可以是集合{1,8}，故选A．
4．满足{1}?A?{1,2,3}的集合A是__{1,2}或{1,3}__.
[解析]　∵{1}?A，∴1∈A，
又∵A?{1,2,3}，
∴2∈A时，3?A,3∈A时，2?A，
∴A＝{1,2}或{1,3}．
5．(2019·河南永城实验中学高一期末测试)已知集合A＝{x|x2＝1}，B＝{x|ax＝1}，若B?A，求实数a的值．
[解析]　A＝{x|x2＝1}＝{－1,1}，
∵B?A，
∴当B＝?时，a＝0，
当B≠?时，B＝{x|x＝}，
∴＝－1或＝1，
∴a＝－1或a＝1.
综上可知，实数a的值是a＝0，a＝－1或a＝1.
A级　基础巩固
一、选择题
1．已知集合M＝{菱形}，N＝{正方形}，则有(　C　)
A．M?N　　　　　　
B．M∈N
C．N?M
D．M＝N
[解析]　∵M＝{菱形}，N＝{正方形}，∴集合N的元素一定是集合M的元素，而集合M的元素不一定是集合N的元素，∴N?M.
2．下列四个集合中是空集的是(　B　)
A．{?}
B．{x∈R|x2＋1＝0}
C．{x|1D．{x|x2＋2x＋1＝0}
[解析]　方程x2＋1＝0无实数解，∴集合{x∈R|x2＋1＝0}为空集，故选B．
3．(2019·陕西黄陵中学高一期末测试)集合A＝{x|0≤x<3且x∈Z}的真子集个数是(　C　)
A．5
B．6
C．7
D．8
[解析]　A＝{x|0≤x<3且x∈Z}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集个数为7，故选C．
4．已知集合A＝{2，－1}，集合B＝{m2－m，－1}，且A＝B，则实数m等于(　C　)
A．2
B．－1
C．2或－1
D．4
[解析]　∵A＝B，∴m2－m＝2，
∴m2－m－2＝0，
∴m＝－1或m＝2.
5．若集合A?{1,2,3}，且A中至少含有一个奇数，则这样的集合A有(　D　)
A．3个
B．4个
C．5个
D．6个
[解析]　集合{1,2,3}的子集共有8个，其中至少含有一个奇数的有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}，共6个．
6．设A＝{x|－1a}，若A?B，则a的取值范围是(　B　)
A．{a|a≥3}
B．{a|a≤－1}
C．{a|a>3}
D．{a|a<－1}
[解析]　由A?B，画出数轴如图可求得a≤－1，注意端点能否取得－1是正确求解的关键．
二、填空题
7．集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是__{(1,2)}，{(－3,4)}__.
[解析]　集合{(1,2)，(－3,4)}的所有非空真子集是{(1,2)}，{(－3,4)}．
8．设x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝{(x，y)|＝1}，则A，B的关系是__B?A__.
[解析]　∵B＝{(x，y)|＝1}＝{(x，y)|y＝x，且x≠0}，
∴B?A．
三、解答题
9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
[解析]　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
B级　素养提升
一、选择题
1．已知集合P＝{x|－2A．P?Q
B．Q?P
C．P＝Q
D．不确定
[解析]　∵Q＝{x|x－5<0}＝{x|x<5}，
∴利用数轴判断P、Q的关系．
如图所示，
由数轴可知，P?Q.
2．已知集合A＝{x|1019}，B＝{x|x≤a}，若A?B，则实数a的取值范围是(　A　)
A．a≥2
019
B．a>2
019
C．a≥1
D．a>1
[解析]　∵A?B，故将集合A、B分别表示在数轴上，如图所示．
由图可知，a≥2
019，故选A．
3．集合A＝{(x，y)|y＝x}和B＝，则下列结论中正确的是(　B　)
A．1∈A
B．B?A
C．(1,1)?B
D．?∈A
[解析]　B＝＝{(1,1)}，又点(1,1)在直线y＝x上，故选B．
4．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P
Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P
Q的子集个数为(　D　)
A．7
B．12
C．32
D．64
[解析]　集合P
Q的元素为(3,6)，(3,7)，(4,6)，(4,7)，(5,6)，(5,7)，共6个，故P
Q的子集个数为26＝64.
二、填空题
5．已知集合M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且M＝?，则实数m的取值范围是__m≥1__.
[解析]　∵M＝?，∴2m≥m＋1，∴m≥1.
6．已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B?A，则m＝__0或2或－1__.
[解析]　由B?A得m∈A，所以m＝m3或m＝2，所以m＝2或m＝－1或m＝1或m＝0，又由集合中元素的互异性知m≠1.所以m＝0或2或－1.
三、解答题
7．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且B?A，求a的值．
[解析]　∵B?A，∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
(1)当a2－a＋1＝3时，解得a＝－1或a＝2.经检验，符合题意．
(2)当a2－a＋1＝a时，解得a＝1，此时集合A中的元素1重复，故a＝1不符合题意．
综上所述，a＝－1或a＝2.
8．设集合A＝{－1,1}，集合B＝{x|x2－2ax＋b＝0}，若B≠?且B?A，求实数a、b的值．
[解析]　∵B中元素是关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根，且B?{－1,1}，
∴关于x的方程x2－2ax＋b＝0的根只能是－1或1，但要注意方程有两个相等根的条件是Δ＝0.
∵B＝{x|x2－2ax＋b＝0}?A＝{－1,1}，且B≠?，
∴B＝{－1}或B＝{1}或B＝{－1,1}．
当B＝{－1}时，
Δ＝4a2－4b＝0且1＋2a＋b＝0，
解得a＝－1，b＝1.
当B＝{1}时，
Δ＝4a2－4b＝0且1－2a＋b＝0，
解得a＝b＝1.
当B＝{－1,1}时，
有(－1)＋1＝2a，(－1)×1＝b，
解得a＝0，b＝－1.
9．已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若B?A，求实数a的取值范围．
[解析]　∵B?A，
∴当B＝?时，a>2a－1，∴a<1，
当B≠?时，由题意得或，
解得a>3.
综上可知实数a的取值范围是a<1或a>3.
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