1.1.3 集合的基本运算 交集和并集

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1.1.3　集合的基本运算
第一课时　并集和交集
Q　
已知一个班有30人，其中5人有兄弟，5人有姐妹，你能判断这个班有多少是独生子女吗？如果不能判断，你能说出需哪些条件才能对这一问题做出判断吗？
事实上，如果注意到“有兄弟的人也可能有姐妹”，我们就知道，上面给出的条件不足以判断这个班独生子女的人数，为了解决这个问题，我们还必须知道“有兄弟且有姐妹的同学的人数”．应用本小节集合运算的知识，我们就能清晰地描述并解决上述问题了．
X　
1．并集和交集的定义
定义
并集
交集
自然
语言
一般地，由所有属于集合A__或__集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作__A∪B__
一般地，由属于集合A__且__属于集合B的所有元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作__A∩B__
符号
语言
A∪B＝{x|__x∈A__，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且__x∈B__}
图形
语言
[知识点拨]　(1)简单地说，集合A和集合B的全部(公共)元素组成的集合就是集合A与B的并(交)集；(2)当集合A，B无公共元素时，不能说A与B没有交集，只能说它们的交集是空集；(3)在两个集合的并集中，属于集合A且属于集合B的元素只显示一次；(4)交集与并集的相同点是：由两个集合确定一个新的集合，不同点是：生成新集合的法则不同．
2．并集和交集的性质
并集
交集
简单
性质
A∪A＝__A__；
A∪?＝__A__
A∩A＝__A__；
A∩?＝__?__
常用
结论
A∪B＝B∪A；
A?(A∪B)；
B?(A∪B)；
A∪B＝B?A?B
A∩B＝B∩A；
(A∩B)?A；
(A∩B)?B；
A∩B＝B?B?A
Y　
1．(2019·全国卷Ⅲ理，1)已知集合A＝{－1,0,1,2}，B＝{x|x2≤1}，则A∩B＝(　A　)
A．{－1,0,1}
B．{0,1}
C．{－1,1}
D．{0,1,2}
[解析]　∵B＝{x|x2≤1}＝{x|－1≤x≤1}，
∴A∩B＝{－1,0,1,2}∩{x|－1≤x≤1}＝{－1,0,1}，故选A．
2．(2019·江苏宿迁市高一期末测试)设集合M＝{0,1,2}，N＝{2,4}，则M∪N＝(　D　)
A．{0,1,2}
B．{2}
C．{2,4}
D．{0,1,2,4}
[解析]　M∪N＝{0,1,2}∪{2,4}＝{0,1,2,4}．
3．(2019·全国卷Ⅰ理，1)已知集合M＝{x|－4A．{x|－4B．{x|－4C．{x|－2D．{x|2[解析]　N＝{x|x2－x－6<0}＝{x|(x－3)(x＋2)<0}＝{x|－2∴M∩N＝{x|－4＝{x|－24．(2019·江苏，1)已知集合A＝{－1,0,1,6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B＝__{1,6}__.
[解析]　A∩B＝{－1,0,1,6}∩{x|x>0，x∈R}＝{1,6}．
5．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝__3__.
[解析]　因为A∩B＝{2,3}，所以3∈B．所以m＝3.
H　
命题方向1　?并集的概念及运算
典例1　(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，求A∪B；
(2)设集合A＝{x|－3[思路分析]　第(1)题由定义直接求解，第(2)题借助数轴求很方便．
[解析]　(1)A∪B＝{1,2,3}∪{2,3,4,5}＝{1,2,3,4,5}．
(2)画出数轴如图所示：
∴A∪B＝{x|－3『规律方法』　并集运算应注意的问题
(1)对于描述法给出的集合，应先看集合的代表元素是什么，弄清是数集，还是点集……，然后将集合化简，再按定义求解．
(2)求两个集合的并集时要注意利用集合元素的互异性这一属性，重复的元素只能算一个．
(3)对于元素个数无限的集合进行并集运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点的值能否取到．
〔跟踪练习1〕
(1)(2019·江西宜丰中学高一检测)已知集合A＝{x|－2A．{x|－2B．{x|1≤x<2}
C．{x|－2D．{x|2(2)(2019·山东潍坊市高一期末测试)满足条件M∪{a}＝{a，b}的集合M的个数是(　C　)
A．4
B．3
C．2
D．1
[解析]　(1)A∪B＝{x|－2(2)∵M∪{a}＝{a，b}，∴M＝{b}或M＝{a，b}，故选C．
命题方向2　?交集的概念及其运算
典例2　(1)设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}则M∩N＝(　B　)
A．{－1,0,1}
B．{0,1}　
C．{1}
D．{0}
(2)若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}，则集合A∩B等于(　D　)
A．{x|x≤3或x>4}
B．{x|－1C．{x|3≤x<4}
D．{x|－2≤x<－1}
(3)已知A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝__{(1,2)}__.
[思路分析]　(1)先求出集合N中的元素再求M、N的交集．(2)借助数轴求A∩B．(3)集合A和B的元素是有序实数对(x，y)，A、B的交集即为方程组的解集．
[解析]　(1)N＝{x|x2＝x}＝{0,1}，∴M∩N＝{0,1}，故选B．
(2)将集合A、B表示在数轴上，由数轴可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故选D．
(3)A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝7}
＝＝{(1,2)}．
『规律方法』　求集合A∩B的方法与步骤
(1)步骤
①首先要搞清集合A、B的代表元素是什么；
②把所求交集的集合用集合符号表示出来，写成“A∩B\”的形式；
③把化简后的集合A、B的所有公共元素都写出来即可(若无公共元素则所求交集为?)．
(2)方法
①若A、B的代表元素是方程的根，则应先解方程，求出方程的根后，再求两集合的交集；若集合的代表元素是有序数对，则A∩B是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．
②若A、B是无限数集，可以利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示．
〔跟踪练习2〕
(1)(2019·天津和平区高一期中测试)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，则A∩B等于(　A　)
A．{1,3}　　　　
B．{2,4}
C．{2,4,5,7}
D．{1,2,3,4,5,7}
(2)(2019·广州荔湾区高一期末测试)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则集合B＝(　D　)
A．{－3,1}
B．{0,1}
C．{1,5}
D．{1,3}
[解析]　(1)∵A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝2x－1，x∈A}，∴B＝{1,3,5,7}，
∴A∩B＝{1,3}，故选A．
(2)∵A∩B＝{1}，
∴1∈B，
∴1是方程x2－4x＋m＝0的根，
∴1－4＋m＝0，∴m＝3.
∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{x|(x－1)(x－3)＝0}＝{1,3}．
命题方向3　?集合交集、并集运算的性质及应用
典例3　已知集合A＝{x|x2－px－2＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}，且A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，则p＋q＋r＝__－14__.
[思路分析]　－2是不是方程x2－px－2＝0的根？怎样确定集合B?
[解析]　∵A∩B＝{－2}，∴－2∈A且－2∈B，
将x＝－2代入x2－px－2＝0，得p＝－1，∴A＝{1，－2}，
∵A∪B＝{－2,1,5}，A∩B＝{－2}，∴B＝{－2,5}，
∴q＝－[(－2)＋5]＝－3，r＝(－2)×5＝－10，∴p＋q＋r＝－14.
『规律方法』　利用集合交集、并集的性质解题的方法及关注点
(1)方法：利用集合的交集、并集性质解题时，常常遇到A∪B＝B，A∩B＝A等这类问题，解答时常借助于交集、并集的定义及已知集合间的关系去转化为集合间的关系求解，如A∩B＝A?A?B，A∪B＝B?A?B．
(2)关注点：当集合A?B时，若集合A不确定，运算时要考虑A＝?的情况，否则易漏解．
〔跟踪练习3〕
已知集合M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N；
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
[解析]　由已知得M＝{2}，
(1)当m＝2时，N＝{1,2}，
所以M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
(2)若M∩N＝M，则M?N，
∴2∈N，
所以4－6＋m＝0，m＝2.
Y　　集合运算时忽略空集致错　　
典例4　集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－2x＋a－1＝0}，A∩B＝B，求a的取值范围．
[错解]　由题意，得A＝{1,2}．∵A∩B＝B，∴1∈B，或者2∈B，∴a＝2或a＝1.
[错因分析]　A∩B＝B?A?B．而B是二次方程的解集，它可能为空集，如果B不为空集，它可能是A的真子集，也可以等于A．
[思路分析]　A∩B＝B，B可能为空集，千万不要忘记．
[正解]　由题意，得A＝{1,2}，∵A∩B＝B，当B＝?时，(－2)2－4(a－1)<0，解得a>2；
当1∈B时，1－2＋a－1＝0，解得a＝2，且此时B＝{1}，符合题意；
当2∈B时，4－4＋a－1＝0，解得a＝1，此时B＝{0,2}，不合题意；当1∈B且2∈B时，此时a无解．综上所述，a≥2.
X　　数形结合思想的应用　　
对于和实数集有关的集合的交集、并集等运算问题，常借助于数轴将集合语言转化为图形语言，或借助Venn图，通过数形结合可直观、形象地看出其解集．
典例5　已知集合A＝{x|0≤x≤4}，集合B＝{x|m＋1≤x≤1－m}，且A∪B＝A，求实数m的取值范围．
[思路分析]　先将A∪B＝A等价转化，再借助于数轴直观表达A、B之间的关系，列出关于m的不等式组，解不等式组得到m的取值范围．
[解析]　∵A∪B＝A，∴B?A．∵A＝{x|0≤x≤4}≠?，∴B＝?或B≠?.
当B＝?时，有m＋1>1－m，解得m>0.
当B≠?时，用数轴表示集合A和B，如图所示，
∵B?A，∴，解得－1≤m≤0.
检验知m＝－1，m＝0符合题意．综上可得，实数m的取值范围是m>0或－1≤m≤0，即m≥－1.
『规律方法』　求解此类问题一定要看是否包括端点(临界)值．集合问题大都比较抽象，解题时要尽可能借助Venn图、数轴等工具利用数形结合思想将抽象问题直观化、形象化、明朗化，从而使问题获解．
K　
1．(2019·河南永城实验中学高一期末测试)若集合A＝{x|－1A．{x|1B．{x|－1C．{x|－1D．{x|1[解析]　A∪B＝{x|－1＝{x|－12．设集合A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，则如图中阴影部分表示的集合是(　C　)
A．{2,4,6}
B．{1,3,6}
C．{1,2,3,4,6}
D．{6}
[解析]　图中阴影表示A∪B，又因为A＝{2,4,6}，B＝{1,3,6}，所以A∪B＝{1,2,3,4,6}，故选C．
3．(2019·天津文，1)设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x<3}，则(A∩C)∪B＝(　D　)
A．{2}
B．{2,3}
C．{－1,2,3}
D．{1,2,3,4}
[解析]　∵A∩C＝{－1,1,2,3,5}∩{x∈R|1≤x<3}＝{1,2}，
∴(A∩C)∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}，故选D．
4．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是__a≤1__.
[解析]　利用数轴画图解题．
要使A∪B＝R，则a≤1.
5．设集合A＝{a2，－3,9}，B＝{4，－3,8}，若A∩B＝{4，－3}，求实数a的值．
[解析]　∵A∩B＝{4，－3}，∴4∈A．
∴a2＝4，a＝±2.
∴实数a的值为±2.
A级　基础巩固
一、选择题
1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B．其中正确的个数为(　C　)
A．1　　　　　　　　
B．2
C．3
D．4
[解析]　①不正确，②③④正确，故选C．
2．(2019·大连市高一期末测试)设集合A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则正确的是(　D　)
A．A∩B＝{1,3,4}
B．A∪B＝{2,3,4}
C．{1}∈A
D．1∈A
[解析]　A∩B＝{1,2}∩{2,3,4}＝{2}，A∪B＝{1,2}∪{2,3,4}＝{1,2,3,4}，排除A，B；
∵1∈A，故选D．
3．(2018·北京文，1)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝(　A　)
A．{0,1}
B．{－1,0,1}
C．{－2,0,1,2}
D．{－1,0,1,2}
[解析]　A＝{x||x|<2}＝{x|－24．集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝(　D　)
A．{1,2,3}
B．{1,2,4}
C．{2,3,4}
D．{1,2,3,4}
[解析]　A∩B＝{1,2}，(A∩B)∪C＝{1,2,3,4}，故选D．
5．(2019·全国卷Ⅱ理，1)设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－1<0}，则A∩B＝(　A　)
A．{x|x<1}
B．{x|－2C．{x|－3D．{x|x>3}[解析]　∵A＝{x|x2－5x＋6>0}＝{x|(x－2)(x－3)>0}＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x－1<0}＝{x|x<1}．
∴A∩B＝{x|x<2或x>3}∩{x|x<1}＝{x|x<1}，故选A．
6．已知M＝{(x，y)|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，则M∩N＝(　D　)
A．x＝3，y＝－1
B．(3，－1)
C．{3，－1}
D．{(3，－1)}
[解析]　由，得，
∴M∩N＝{(3，－1)}，故选D．
二、填空题
7．设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|0[解析]　∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|0∴M∪N＝{x|0≤x≤1}．
8．若集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，满足A∩B＝{2}，则实数a＝__2__.
[解析]　∵A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，A∩B＝{2}，
∴a＝2.
三、解答题
9．设集合A＝{a2，a＋1，－3}，B＝{a－3,2a－1，a2＋1}，A∩B＝{－3}，求实数a的值．
[解析]　∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B．
∵a2＋1≠－3，
∴a－3＝－3或2a－1＝－3.
①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{0,1，－3}，B＝{－3，－1,1}，
但由于A∩B＝{1，－3}与已知A∩B＝{－3}矛盾，
∴a≠0.
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{1,0，－3}，B＝{－4，－3,2}，A∩B＝{－3}．
综上可知a＝－1.
10．已知A＝{x|2a＜x≤a＋8}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，A∪B＝R，求a的取值范围．
[解析]　∵B＝{x|x＜－1或x＞5}，A∪B＝R，
∴，解得－3≤a＜－.
B级　素养提升
一、选择题
1．已知集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x＝ab，a，b∈M且a≠b}，则M∪N＝(　C　)
A．{0,1}
B．{－1,0}
C．{－1,0,1}
D．{－1,1}
[解析]　由题意可知，集合N＝{－1,0}，所以M∪N＝M.
2．设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝(　D　)
A．{x|2≤x≤3}
B．{x|x≤2或x≥3}
C．{x|x≥3}
D．{x|0[解析]　∵S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}＝{x|x≤2或x≥3}，且T＝{x|x>0}，
∴S∩T＝{x|03．设集合A＝{x|－1≤x≤2}，集合B＝{x|x≤a}，若A∩B＝?，则实数a的取值集合为(　C　)
A．{a|a<2}
B．{a|a≥－1}
C．{a|a<－1}
D．{a|－1≤a≤2}
[解析]　如图．
要使A∩B＝?，应有a<－1.
4．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝(　B　)
A．0或
B．0或3
C．1或
D．1或3
[解析]　∵A∪B＝A，∴B?A．
∴m∈A，∴m＝3或m＝，
由m＝得m2＝m，
∴m＝0或1.
当m＝0时，A＝{0,1,3}，B＝{0,1}，满足题意．
当m＝1时，不满足集合中元素的互异性，∴m≠1.
当m＝3时，A＝{1，，3}，
B＝{1,3}，满足题意．
二、填空题
5．已知集合A＝{x|0≤x≤a，a>0}，B＝{0,1,2,3}，若A∩B有3个真子集，则a的取值范围是__1≤a<2__.
[解析]　∵A∩B有3个真子集，∴A∩B中有2个元素，又∵A＝{x|0≤x≤a，a>0}，
∴1≤a<2.
6．设集合M＝{x|－2＜x＜5}，N＝{x|2－t＜x＜2t＋1，t∈R}，若M∩N＝N，则实数t的取值范围为__t≤2__.
[解析]　当2t＋1≤2－t即t≤时，N＝?.满足M∩N＝N；
当2t＋1＞2－t即t＞时，若M∩N＝N应满足，解得t≤2.∴＜t≤2.综上可知，实数t的取值范围是t≤2.
三、解答题
7．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x的取值集合．
[解析]　∵B＝{1,2，x2－1}，A∪B＝{1,2,3,5}，
∴x2－1∈A∪B，
∴x2－1＝3或x2－1＝5，
∴x＝±2或x＝±，
∴x的取值集合为{－，－2,2，}．
8．设A＝{x|x2＋8x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0}，其中a∈R.如果A∩B＝B，求实数a的取值范围．
[解析]　∵A＝{x|x2＋8x＝0}＝{0，－8}，A∩B＝B，
∴B?A．
当B＝?时，方程x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0无解，
即Δ＝4(a＋2)2－4(a2－4)＜0，得a＜－2.
当B＝{0}或{－8}时，这时方程的判别式
Δ＝4(a＋2)2－4(a2－4)＝0，得a＝－2.
将a＝－2代入方程，
解得x＝0，∴B＝{0}满足．
当B＝{0，－8}时，，
可得a＝2.
综上可得a＝2或a≤－2.
9．集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝{x|x2－5x＋6＝0}，C＝{x|x2＋2x－8＝0}．
(1)若A∩B＝A∪B，求a的值；
(2)若??A∩B，A∩C＝?，求a的值．
[解析]　由已知得B＝{2,3}，C＝{2，－4}．
(1)∵A∩B＝A∪B，
∴A＝B．
∴2,3是关于x的一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，∴，解得a＝5.
(2)由
??A∩B，得A∩B≠?.
又A∩C＝?，得3∈A,2?A，－4?A．
由3∈A，得32－3a＋a2－19＝0，
解得a＝5或a＝－2.
当a＝5时，A＝{x|x2－5x＋6＝0}＝{2,3}，
与2?A矛盾；
当a＝－2时，A＝{x}x2＋2x－15＝0}＝{3，－5}，符合题意．
∴a＝－2.
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