1.1.3 集合的基本运算 补集

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第二课时　补集
Q　
如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选出56名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？
你不可能直接去找张三、李四、王五……，一一确定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻烦多了．若确定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名同学都参加，问题可就简单多了．不要小看这个问题的解决方法，它可是这节内容(补集)的现实基础．
X　
1．全集
文字
语言
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为__全集__
2．补集
文字语言
对于一个集合A，由全集U中__不属于__集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于__全集U__的补集，简称为集合A的补集，记作__?UA__
符号语言
?UA＝{x|x∈U，且x__?__A}
图形语言
[知识点拨]　(1)简单地说，?UA是从全集U中取出集合A的全部元素之后，所有剩余的元素组成的集合．
(2)性质：A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(?UA)＝A，?UU＝?，?U?＝U，?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)，?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
(3)如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示．
Y　
1．(2018·全国卷Ⅰ理，2)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则?RA(　B　)
A．{x|－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1}∪{x|x>2}
D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
[解析]　∵A＝{x|x2－x－2>0}＝{x|x<－1或x>2}，∴?RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B．
2．(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B＝(　A　)
A．{2,4,5}
B．{1,3,4}
C．{1,2,4}
D．{2,3,4,5}
[解析]　∵?UA＝{2,5}，∴(?UA)∪B＝{2,5}∪{2,4}＝{2,4,5}．
3．(2019·浙江，1)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(?UA)∩B＝(　A　)
A．{－1}
B．{0,1}
C．{－1,2,3}
D．{－1,0,1,3}
[解析]　∵?UA＝{－1,3}，∴(?UA)∩B＝{－1,3}∩{－1,0,1}＝{－1}，故选A．
4．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则?UA与?UB的关系是__?UA??UB__.
[解析]　全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则?UA＝{4,5，…}，则?UB＝{3,4,5，…}，则?UA??UB．
5．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，?UA＝{2,4,6,8}，?UB＝{1,4,6,8,9}，求集合B．
[解析]　解法一：∵A＝{1,3,5,7,9}，?UA＝{2,4,6,8}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
又∵?UB＝{1,4,6,8,9}，∴B＝{2,3,5,7}．
解法二：借助韦恩图，如图所示，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}．
∵?UB＝{1,4,6,8,9}，B＝{2,3,5,7}．
H　
命题方向1　?补集的基本运算
典例1　已知全集U，集合A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，?UB＝{1,4,6}，求集合B．
[思路分析]　先由集合A与?UA求出全集，再由补集定义求出集合B，或利用Venn图求出集合B．
[解析]　解法一：A＝{1,3,5,7}，?UA＝{2,4,6}，
∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}，
又?UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}．
解法二：借助Venn图，如图所示，由图可知B＝{2,3,5,7}
『规律方法』　求集合补集的基本方法及处理技巧
(1)基本方法：定义法．
(2)两种处理技巧：
①当集合用列举法表示时，可借助Venn图求解．
②当集合是用描述表示的连续数集时，可借助数轴，利用数轴分析求解．
〔跟踪练习1〕
(1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则?UA＝(　B　)
A．?　　　　　B．{2}
C．{5}
D．{2,5}
(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若?UA＝{x|2≤x≤5}，则a＝__2__.
[解析]　(1)由题意知集合A＝{x∈N|x≥}，则?UA＝{x∈N|2≤x＜}＝{2}，故选B．
(2)∵A∪(?UA)＝U，且A∩(?UA)＝?，
∴A＝{x|1≤x＜2}，∴a＝2.
命题方向2　?交集、并集、补集的综合运算
典例2　已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(?UA)∪B，A∩(?UB)．
[思路分析]　对于无限集，可以利用数轴，分别表示出全集U及集合A、B，先求出?UA及?UB，再求解．
[解析]　如图，
由图可得?UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}．
如图，
由图可得?UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}．
如图，
由图可得A∩B＝{x|－2＜x≤2}，
∴(?UA)∪B＝{x|x≤2或3≤x≤4}，
A∩(?UB)＝{x|2『规律方法』　求集合交、并、补运算的方法
〔跟踪练习2〕
(1)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(?UB)＝__{1,2,3}__；
(2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(?UB)＝(　B　)
A．{x|0≤x＜1}　　　
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|x＜0}
D．{x|x＞1}
[解析]　(1)?UB＝{2}，A∪(?UB)＝{1,2,3}．
(2)∵U＝R，B＝{x|x＞1}，∴?UB＝{x|x≤1}．又A＝{x|x＞0}，∴A∩(?UB)＝{x|0＜x≤1}．
Y　　忽视空集或补集的性质易致错　　
典例3　已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－5x＋q＝0}，A?U，求?UA及q的值．
[错解]　当q＝0时，x2－5x＋q＝0的根为x＝5，x＝0，5∈U，此时A＝{5}，?UA＝{1,2,3,4}．
当q≠0时，由韦达定理知方程x2－5x＋q＝0的根在1,2,3,4,5中取时，只可能是3或2,1或4，因此
q＝6时，A＝{2,3}，?UA＝{1,4,5}．q＝4时，A＝{1,4}，?UA＝{2,3,5}．
所以q＝0时，?UA＝{1,2,3,4}，
q＝4时，?UA＝{2,3,5}，q＝6时，?UA＝{1,4,5}．
[错因分析]　错解中没有注意到A?U，当q＝0时，A＝{0,5}?U，另外，当A＝?时，?UA＝U，此时方程x2－5x＋q＝0无实数解．
[正解]　①若A＝?，则?UA＝U，此时方程x2－5x＋q＝0无实数解．∴Δ＜0，即25－4q＜0，∴q＞.
②若A≠?，由于方程x2－5x＋q＝0的两根之和为5，又由于两根只能从1,2,3,4,5中取值，因此A＝{1,4}或{2,3}
当A＝{1,4}时，?UA＝{2,3,5}，q＝4；
当A＝{2,3}时，?UA＝{1,4,5}，q＝6.
[警示]　本题易错点：(一)忽略A?U，求出q的值后不验证A?U是否成立；(二)不考察A＝?的情形．
X　　“正难则反”思想的应用　　
“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求?UA，再由?U(?UA)＝A求A．
补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．
典例4　已知A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}．若B∪A≠A，求实数a的取值集合．
[思路分析]　要求B∪A≠A，可先求B∪A＝A时，a的取值集合，再求出该集合在实数集R中的补集即可．
[解析]　若B∪A＝A，则B?A．∵A＝{x|x2－2x－8＝0}＝{－2,4}，∴集合B有以下三种情况：
①当B＝?时，Δ＝a2－4(a2－12)<0，即a2>16，∴a<－4或a>4；
②当B是单元素集时，Δ＝a2－4(a2－12)＝0，∴a＝－4或a＝4.
若a＝－4，则B＝{2}?A；若a＝4，则B＝{－2}?A；
③当B＝{－2,4}时，－2,4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两根，∴，∴a＝－2.
综上可得，B∪A＝A时，a的取值集合为{a|a<－4或a＝－2或a≥4}．
∴B∪A≠A的实数a的取值集合为{a|－4≤a<4且a≠－2}．
K　
1．(2019·吉林乾安七中高一期末测试)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则?U(A∪B)＝(　D　)
A．{1,3,4}　　　　　　
B．{3,4}
C．{3}
D．{4}
[解析]　A∪B＝{1,2}∪{2,3}＝{1,2,3}，∴?U(A∪B)＝{4}．
2．如图，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是(　D　)
A．(?IA∩B)∩C
B．(?IB∪A)∩C
C．(A∩B)∩(?IC)
D．(A∩?IB)∩C
[解析]　由图可知阴影部分中的元素属于A，不属于B，属于C，则阴影部分表示的集合是(A∩?IB)∩C．
3．(2019·全国卷Ⅰ文，2)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,3,4,5}，B＝{2,3,6,7}，则B∩(?UA)＝(　C　)
A．{1,6}
B．{1,7}
C．{6,7}
D．{1,6,7}
[解析]　∵?UA＝{1,6,7}
，∴B∩{?UA}＝{2,3,6,7}∩{1,6,7}＝{6,7}，故选C．
4．(2019·河北沧州市高一期末测试)已知集合U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{3,4,5}，B＝{4,5,6}，则(?UA)∪(?UB)＝__{1,2,3,6}__.
[解析]　?UA＝{1,2,6}，
?UB＝{1,2,3}，
∴(?UA)∪(?UB)＝{1,2,3,6}．
5．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(?UA)∩B＝__{7,9}__.
[解析]　由题意，得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，故?UA＝{4,6,7,9,10}，所以(?UA)∩B＝{7,9}．
A级　基础巩固
一、选择题
1．(2019·山东烟台高一期中测试)设全集U＝{x|x是小于5的非负整数}，A＝{2,4}，则?UA＝(　C　)
A．{1,3}　　　　　　
B．{1,3,5}
C．{0,1,3}
D．{0,1,3,5}
[解析]　∵U＝{0,1,2,3,4}，A＝{2,4}，∴?UA＝{0,1,3}．
2．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(?UA)∪B为(　C　)
A．{1,2,4}
B．{2,3,4}
C．{0,2,4}
D．{0,2,3,4}
[解析]　因为U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2,3}，所以?UA＝{0,4}，故(?UA)∪B＝{0,2,4}．
3．已知集合U＝{x|x＞0}，?UA＝{x|0＜x＜2}，那么集合A＝(　C　)
A．{x|x≤0或x≥2}
B．{x|x＜0或x＞2}
C．{x|x≥2}
D．{x|x＞2}
[解析]　利用数轴分析，可知A＝{x|x≥2}．
4．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合?U(A∪B)＝(　D　)
A．{x|x≥0}
B{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1}
D．{x|0＜x＜1}
[解析]　∵A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，∴?U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．故选D．
5．(2019·南阳市高一期末测试)如图，集合U为全集，则图中阴影部分表示的集合是(　C　)
A．?U(A∩B)∩C
B．?U(B∩C)∩A
C．A∩?U(B∪C)
D．?U(A∪B)∩C
[解析]　由图可知图中阴影部分表示的集合是A∩?U(B∪C)．
6．已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x＜2}，且A∪(?RB)＝R，则a满足(　A　)
A．a≥2
B．a＞2
C．a＜2
D．a≤2
[解析]　?RB＝{x|x≥2}，则由A∪(?RB)＝R得a≥2，故选A．
二、填空题
7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若?UA＝{1,2}，则实数m＝__－3__.
[解析]　∵?UA＝＝{1,2}，∴A＝{0,3}．
∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根．
∴0＋3＝－m.∴m＝－3.
8．已知全集U＝R，M＝{x|－1[解析]　∵U＝R，?UN＝{x|0∴N＝{x|x≤0或x≥2}，
∴M∪N＝{x|－1＝{x|x<1或x≥2}．
三、解答题
9．已知全集U＝R，A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1[解析]　将集合A，B，P表示在数轴上，如图．
∵A＝{x|－4≤x<2}，B＝{x|－1∴A∩B＝{x|－1∵?UB＝{x|x≤－1或x>3}，
∴(?UB)∪P＝{x|x≤0或x≥}，
∴(A∩B)∩(?UP)＝{x|－1B级　素养提升
一、选择题
1．(2019·山东莒县一中高一期末测试)如图，I是全集，M，P，S是I的子集，则阴影部分所表示的集合是(　C　)
A．(M∩P)∩S
B．(M∩P)∪S
C．(M∩P)∩(?IS)
D．(M∩P)∪(?IS)
[解析]　由图可知，阴影部分对应的元素a具有性质a∈M，a∈P，a∈?IS，故阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(?IS)．
2．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于(　D　)
A．M∪N
B．M∩N
C．(?UM)∪(?UN)
D．(?UM)∩(?UN)
[解析]　根据已知可知，M∪N＝{1,2,3,4}，M∩N＝?，(?UM)∪(?UN)＝{1,4,5,6}∪{2,3,5,6}＝{1,2,3,4,5,6}，(?UM)∩(?UN)＝{1,4,5,6}∩{2,3,5,6}＝{5,6}，因此选D．
3．设全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,3,5}，则?UA的所有非空子集的个数为(　B　)
A．4
B．3
C．2
D．1
[解析]　∵?UA＝{2,4}，∴非空子集有22－1＝3个，故选B．
4．设P＝{x|x>4}，Q＝{x|－2A．P?Q
B．Q?P
C．P??RQ
D．Q??RP
[解析]　∵Q＝{x|－2而?RP＝{x|x≤4}，
∴Q??RP.
二、填空题
5．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,3}，集合B＝{3,4,6}，集合U，A，B的关系如图所示，则图中阴影部分所表示的集合用列举法表示为__{4,6}__.
[解析]　由题意可知，阴影部分所表示的集合为B∩(?UA)．
∵U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3}，
∴?UA＝{2,4,5,6}．
∵B＝{3,4,6}，
∴B∩(?UA)＝{4,6}．
6．已知全集为R，集合M＝{x∈R|－2＜x＜2}，P＝{x|x≥a}，并且M??RP，则a的取值范围是__a≥2__.
[解析]　M＝{x|－2＜x＜2}，?RP＝{x|x＜a}．
∵M??RP，∴由数轴知a≥2.
三、解答题
7．设全集I＝{2,3，x2＋2x－3}，A＝{5}，?IA＝{2，y}，求实数x、y的值．
[解析]　因为A＝{5}，?IA＝{2，y}．
所以I＝{2,5，y}，
又I＝{2,3，x2＋2x－3}，
所以，
所以或.
故x＝2，y＝3或x＝－4，y＝3.
8．已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1}，B＝{x|2a[解析]　由题意得?RA＝{x|x≥－1}．
(1)若B＝?，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B??RA．
(2)若B≠?，则由B??RA，得2a≥－1且2a即－≤a<3.综上可得a≥－.
9．已知集合A＝{x|x2＋ax＋12b＝0}和B＝{x|x2－ax＋b＝0}，满足(?UA)∩B＝{2}，A∩(?UB)＝{4}，U＝R，求实数a，b的值．
[解析]　∵(?UA)∩B＝{2}，∴2∈B，
∴4－2a＋b＝0.①
又∵A∩(?UB)＝{4}，∴4∈A，
∴16＋4a＋12b＝0.②
联立①②，得，解得.
经检验，符合题意：∴a＝，b＝－.
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