(共33张PPT)
人教版
九年级上
21.2
解一元二次方程
21.2.1
配方法
新知导入
学习目标：
1.初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如“x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)”的方程。
2.会对一元二次方程进行配方，掌握用配方法解一元二次方程。
新知导入
1.若
x2=a(a
≥0),则x=
.
2.任何数都有平方根吗？
正数有两个平方根，它们互为相反数；
0的平方根是0；
负数没有平方根.
3.
完全平方公式：a2+2ab+b2=
.
a2-2ab+b2=
(a+b)2
(a-b)2
新知讲解
问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
整理，得
x2=25
由题意得
即x1=5，x2=－5
因棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm．
x=±5
解：设其中一个盒子的棱长为x
dm，则这个盒子的表面积为6x2dm2
用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义.
10×6x2=1500
解得
新知讲解
（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根；
（3）当p<0时，因为对任何实数x，都有x2≥0
，所以方程（Ⅰ）无实数根.
一般地，对于方程
x2
=
p，
（Ⅰ）
（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的
实数根；
像这样，利用平方根的定义,直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法.
例
利用直接开平方法解下列方程:
(1)
x2-900=0
(2)(x-1)2-4
=
0
(3)
3(x-1)2-6=0
(4)
x2-4x+4=5
合作探究
合作探究
移项，得
x2=900
直接开平方，得
x=±30，
∴
x1=30,
x2=
-30.
∴
x1=3，
x2=
-1.
移项，得(x-1)2=4
x-1=±2
解：
(1)
x2-900=0
解：
(2)
(x-1)2
-4
=
0
直接开平方，得
合作探究
移项，得
3(x-1)2=6
系数化1，得
(x-1)2=2，
整理得，(x-2)2=5
解：
(3)
3(x-1)2-6=0
解：
(4)
x2-4x+4=5
直接开平方，得
x-1=±
∴
x1=
+1,
x2=
-
+1
直接开平方，得
x-2=±
∴x1=
+2,
x2=
-
+2
合作探究
直接开平方法解一元二次方程的步骤：
变形（x2
=
p或(mx+n)2
=
p）
直接开平方
求解
降次
新知讲解
思考：怎样将下面式子配成完全平方式？
(1)
x2
+2
x+
=(
)2
(2)
x2-
4
x+
=(
)2
(3)
x2
+5
x+
=(
)2
(4)
x2-11
x+
=(
)2
(5)
x2
+
x+
=(
)2
(6)
x2-
x+
=(
)2
1
x+1
4
x-2
思考：一次项系数与常数项之间存在怎样的关系呢？
常数项等于一次项系数一半的平方，这样的三项可以配成完全平方式.
新知讲解
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
x2+6x+9=-4+9
(x+3)?=5
x+3=±
x+3=
，或x+3=
-
x1=
-3+
，x2=
-3-
移项
两边加9（即（
）?）
使左边配成x2+2bx+b?的形式
左边写成完全平方公式
降次
解一次方程
思考：怎样解方程x2+6x+4=0？
新知讲解
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。
合作探究
例1
用配方法解下列方程:
(1)
x2-8x+1=0
(2)2x2+1=3x
(3)3x2-6x+4=0
合作探究
解：(1)移项，得
x2-8x=-1
配方，得
(x-4)2=15，
x2-8x+42=-1+42
x-4=
，
∴
x1=
,
x2=
.
合作探究
(2)移项，得
2x2-3x=-1
配方，得
二次项系数化1，得
合作探究
(3)移项，得
3x2-6x=-4
配方，得
二次项系数化为1，得
∴
原方程无实数根.
（2）当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根
x1=x2=
-n.
（3）当p<0时，因为对任何实数x，都有(x+n)2≥0
，所以方程（Ⅱ）无实数根.
一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2
=
p，
（Ⅱ）
的形式，那么就有：
（1）当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根
合作探究
合作探究
配方法解一元二次方程的步骤：
移项
直接开平方
求解
二次项系数化1
配方
课堂练习
1.利用直接开平方法解下列方程:
(1)
2x2-8=0
(2)(x+6)2-9
=
0
(3)
5(x-7)2=10
(4)
x2+6x+9=12
(5)
9x2+5=1
(6)
5(x-7)2=125(x+2)2
课堂练习
解：
(1)
2x2-8=0
移项，得
2x2=8
直接开平方，得
x2=4，
∴
x1=2,
x2=
-2.
二次项系数化1，得
x=±2，
∴
x1=
-3，x2=-9.
移项，得(x+6)2=9
x+6=±3
直接开平方，得
解：
(2)(x+6)2-9
=
0
课堂练习
解：
(3)
5(x-7)2=10
直接开平方，得
(x-7)2=2，
二次项系数化1，得
x-7=±
，
∴
x1=
+7,
x2=-
+7.
整理得，(x+3)2=12
直接开平方，得
x+3=±
∴x1=
-3,
x2=
-
-3
解：
(4)
x2+6x+9=12
课堂练习
解：(5)
9x2+5=1
移项，得
9x2=
-4
∴
方程无解.
二次项系数化1，得
x2=
，
整理得，(x-7)2=25(x+2)2
直接开平方，得
x-7=±5(x+2)
∴x1=
，x2=
解：
(6)
5(x-7)2=125(x+2)2
课堂练习
2.填空:
(1)
x2
+10
x+
=(
)2
(2)
x2-
12
x+
=(
)2
(3)
x2
+
x+
=(
)2
(4)
x2-
x+
=(
)2
25
x+5
36
x-6
课堂练习
3.利用配方法解下列方程:
(1)
x2+10x+9=0
(2)
4x2
-6x+3=0
(3)
x2+4x-9=2x-11
解：(1)移项，得
x2+10x=-9
配方，得
(x+5)2=16，
x2+10x+52=-9+52
x+5=
±4
，
∴
x1=
-1
，
x2=
-9
.
课堂练习
(2)移项，得
4x2-6x=-3
配方，得
二次项系数化1，得
课堂练习
∴
原方程无实数根.
合作探究
(3)移项，得
x2+4x-2x=
-11+9
配方，得
合并同类项，得
∴
原方程无实数根.
x2+2x=
-2
x2+2x+1=
-2+1
(x+1)2=
-1
课堂练习
4.把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝____，
k＝____．
5.式子－x2－8x－15，可配方为－(x＋____)2____，该式有
最____值，是____．
6.证明：不论x、y为何实数，代数式x2+2y2+2xy-4y+6的值
不小于2.
4
+1
大
1
证明：x2+2y2+2xy-4y+6=x2+y2+2xy+y2-4y+6＝x2+y2+2xy+y2-4y+4+2=(x+y)2＋(y-2)2+2，∵(x+y)2≥0，(y-2)2≥0∴代数式x2+2y2+2xy-4y+6的值不小于2.
课堂总结
配方法解一元二次方程
直接开平方法
配方法
移项
二次项系数化1
配方
直接开平方
求解
板书设计
21.2.1
配方法解一元二次方程
直接开平方法：
例
练习
配方法：
例题
练习
作业布置
1.必做题：教材P17
第
2、3
题
2.选做题：教材P25
第
1
题
(3)、
(4)
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
21.2.1配方法解一元二次方程
教学设计
课题
21.2.1配方法解一元二次方程
单元
第21章
学科
数学
年级
九年级
学习目标
1.初步掌握用直接开平方法解一元二次方程，会用直接开平方法解形如“x2=p或(mx+n)2=p(p≥0)”的方程.2.会对一元二次方程进行配方，掌握用配方法解一元二次方程.
重点
掌握用直接开平方法和配方法解一元二次方程.
难点
掌握用直接开平方法和配方法解一元二次方程.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：1.若
x2=a(a
≥0),则x=任何数都有平方根吗？正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根3.
完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
学生回忆、思考并回答问题
回顾平方根的定义和完全平方公式，为下面的直接开平方法奠定基础.
讲授新课
环节一：问题导入思考：问题：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？解：设其中一个盒子的棱长为x
dm，则这个盒子的表面积为6x2dm2由题意得10×6x2=1500整理得x2=25解得x=±5即x1=5，x2=－5因棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm．注意：用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义.小结：一般地，对于方程
x2
=
p，
（Ⅰ）（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根；（2）当p=0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根.（3）当p<0时，因为对任何实数x，都有x2≥0
，所以方程（Ⅰ）无实数根.像这样，利用平方根的定义,直接开平方求一元二次方程的根的方法叫做直接开平方法.
环节二：典例解析例
利用直接开平方法解下列方程:(1)x2-900=0
(2)(x-1)2-4
=
0(3)3(x-1)2-6=0
(4)
x2-4x+4=5解：(1)x2-900=0移项，得x2=900直接开平方，得x=±30∴
x1=30,
x2=
-30.(2)(x-1)2-4
=
0移项，得(x-1)2=4直接开平方，得x-1=±2∴
x1=3，
x2=
-1.(3)3(x-1)2-6=0移项，得3(x-1)2=6二次项系数化1，得(x-1)2=2直接开平方，得x-1=±∴
x1=,
x2=
(4)
x2-4x+4=5整理得，(x-2)2=5直接开平方，得x-2=±∴x1=+2,
x2=
-+2小结：直接开平方法解一元二次方程的步骤：1.变形（x2
=
p或(mx+n)2
=
p）2.直接开平方（基本思想：降次）3.求解思考：怎样将下面式子配成完全平方式？x2+2x+1=(x+1)2
x2-
4x+22
=(x-2)2
x2+5x+=(x+)2
(4)
x2-11
x+=(x-)2
(5)
x2+x+=(x+)2
(6)
x2-x+=(x-)2
思考：一次项系数与常数项之间存在怎样的关系呢？常数项等于一次项系数一半的平方，这样的三项可以配成完全平方式.思考：怎样解方程x2+6x+4=0？x2+6x+4=0移项
x2+6x=-4配方
x2+6x+9=-4+9(x+3)2=5x+3=像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法。可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元二次方程来解.例1
用配方法解下列方程(1)x2-8x+1=0
(2)2x2+1=3x
(3)3x2-6x+4=0
解：(1)移项，得x2-8x=-1配方，得x2-8x+42=-1+42(x-4)2=15(2)移项，得2x2-3x=-1二次项系数化1，得配方，得(3)移项，得3x2-6x=-4二次项系数化1，得配方，得∴
原方程无实数根.一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2
=
p，
（Ⅱ）的形式，那么就有：（1）当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根
（2）当p=0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根
x1=x2=
-n.（3）当p<0时，因为对任何实数x，都有(x+n)2≥0
，所以方程（Ⅱ）无实数根.小结：配方法解一元二次方程的步骤：1.移项2.二次项系数化13.配方4.直接开平方5.求解环节三：课堂练习1.利用直接开平方法解下列方程:(1)2x2-8=0
(2)(x+6)2-9
=
0(3)5(x-7)2=10
(4)
x2+6x+9=12(5)9x2+5=1
(6)
5(x-7)2=125(x+2)2
解：(1)2x2-8=0
移项，得2x2=8二次项系数化1，得x2=4直接开平方，得x=±2∴
x1=2,
x2=
-2.(x+6)2-9
=
0
移项，得(x+6)2=9
直接开平方，得x+6=±3∴
x1=
-3，x2=-9.(3)5(x-7)2=10二次项系数化1，得(x-7)2=2直接开平方，得x-7=±∴
x1=,
x2=.(4)x2+6x+9=12整理得，(x+3)2=12直接开平方，得x+3=±∴x1=,
x2=(5)9x2+5=1移项，得9x2=
-4二次项系数化1，得x2=∴
方程无解.5(x-7)2=125(x+2)2
整理得，(x-7)2=25(x+2)2
直接开平方，得
x-7=±5(x+2)
∴x1=，x2=2.填空:(1)
x2+10x+25=(x+5)2
(2)
x2-
12
x+36=(x-6)2
(3)
x2+x+=(x+)2
(4)
x2-x+=(x-)2
3.利用配方法解下列方程:(1)
x2+10x+9=0
(2)
4x2
-6x+3=0
(3)
x2+4x-9=2x-11
解：(1)移项，得x2+10x=
-9配方，得x2+10x+52=
-9+52(x+5)2=16x+5=±4x1=
-1
,
x2=
-9(2)移项，得4x2
-6x=
-3二次项系数化1，得配方，得∴
原方程无实数根.(3)移项，得x2+4x-2x=-11+9合并同类项，得x2+2x=-2配方，得x2+2x+1=-2+1(x+1)2=
-1∴
原方程无实数根.4.把方程2x2＋6x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝
，k＝
．5.式子－x2－8x－15，可配方为－(x＋
4
)2
+1
,该式有最
大
值，是
1
．6．试证明：不论x、y为何实数，代数式x2+2y2+2xy-4y+6的值不小于2.
证明：x2+2y2+2xy-4y+6=x2+y2+2xy+y2-4y+6＝x2+y2+2xy+y2-4y+4+2=(x+y)2+(y-2)2+2∵(x+y)2≥0，(y-2)2≥0∴代数式x2+2y2+2xy-4y+6的值不小于2.
学生思考，同桌交流，根据平方根的定义解答问题.借助典型例题,展示直接开平方法解一元二次方程的步骤，并进行总结，为下面讲解配方法奠定基础.学生练习，师生互评订正.
初步培养学生利用平方根解决简单计算问题.培养学生计算能力以及不同的方程选择不同的方法进行求解.通过解方程，让学生熟练掌握直接开平方法和配方法，并会恰当地选择方法.
课堂小结
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
21.2.1
配方法解一元二次方程
直接开平方法：
例题
练习
配方法：
例题
练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.
直接开平方法
移项
配方法解一元二次方程
二次项系数化1
配方法
配方
直接开平方
求解
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精品试卷·第
2
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（共
2
页）
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