浙江省嘉兴市2020-2021学年高一下学期期末检测数学试题 Word版含答案

嘉兴市2020~2021学年第二学期期末检测
高一数学 试题卷
（2021．6）
本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟。
考生注意：
1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填试题卷和答题纸规定的位置上。
2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范在本试题卷上的作答一律无效。
一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项只有一项是符合题目要求的。
1．已知向量false，false，若false，则false
A．false B．false C．false D．false
2．若复数false满足false，则false
A．false B．false C．false D．false
3．从1，2，3，4，5中任取两个不同的数字，则所抽取的两个数字之和能被3整率为
A．false B．false C．false D．false
4．已知一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为
A．false B．false C．false D．false
5．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为false和false，若甲、乙两人各射击一目标被命中的概率为
A．false B．false C．false D．false
6．已知等腰直角false，false，false为false边上一个动点，则false的值为
A．1 B．2 C．false D．false
7．在锐角false中，内角false对应的边分别为false，已知false，false，则false面积的取值范围为
A．false B．false C．false D．false
8．已知正四面体false，点false为棱false上一个动点，点false为棱false上靠近点false的三等分点，记直线false与false所成角为false，则false的最小值为
A．false B．false C．false D．false
二、选择题Ⅱ：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的0分，部分选对的得2分。
9．已知false，false是两条不重合的直线，false，false是两个不重合的平面，则下列命题为真命题的是
A．若false，false与false所成的角和false与false所成的角相等，则false
B．若false，false，则false
C．若false，false，false，则false
D．若false，false，则false
10．在false中，内角false对应的边分别为false，根据下列条件解三角形，有且只有一解的是
A．false，false，false B．false，false，false
C．false，false，false D．false，false，false
11．已知平面向量false，false满足false，false，false，则下列说法正确的是
A．false B．false
C．false，使false D．false，false恒成立
12．如图，在直角梯形false中，false，false，false，false，点false在线段false上，现将false沿false折起为false，记二面角false的平面角为false，false底面false，垂足为false，则下列说法正确的是

A．不存在false，使得false
B．若false，则存在false，使得平面false平面false
C．若false，则四棱锥false体积的最大值为false
D．当false时，false的最小值为false
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在空间直角坐标系中，已知点false，false，则线段false的中点坐标为________。
14．已知false的面积为false，用斜二测法画出其水平放置的直观图false如图所示，若false，则false的长为________。
15．在长方体false中，false，false，点false为底面false上一点，则false的最小值为________。
16．已知平面向量false，false，false满足false，false，false，false，则false的最小值为________。
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）
已知平面向量false，false满足false，false，false，若false，false。
（Ⅰ）求false；
（Ⅱ）求false。
18．（本题满分12分）
如图，在四棱锥false中，底面false为矩形，false平面false，false，false为false中点。
（Ⅰ）证明：false平面false；
（Ⅱ）求false与平面false所成角的正弦值。
19．（本题满分12分）
在false中，内角false，false，false对应的边分别为false，false，false，请在①false；②
false；③false这三个条件中任选一个，完成下列问题：
（Ⅰ）求角false；
（Ⅱ）若false，false，求false的面积。
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
20．（本题满分12分）
为了深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，某校组织开展“战役有我，青春同行”防控疫情知识竞赛活动，某经过层层筛选后剩下甲、乙两名同学争夺一个参赛名额，该班设计了一个游戏方案决定谁去参加，规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为false的球有false个false，甲、乙两名同学需从6个球中随机摸取3个球，所取球的标号之和多者获胜。
（Ⅰ）求甲所取球的标号之和为7的概率；
（Ⅱ）求甲获胜的概率。
21．（本题满分12分）
在false中，内角false，false，false对应的边分别为false，false，false，设false，false，且false。
（Ⅰ）求false的值；
（Ⅱ）若false，false，点false满足false，求false的长。
22．（本题满分12分）
如图，在三棱柱false中，侧面false是边长为2的菱形，false，false，且false。
（Ⅰ）证明：false；
（Ⅱ）若二面角false的平面角为false，求false与平面false所成角的正弦值。
嘉兴市2020—2021学年第二学期期末检测
高一数学 答案 （2021.6）
一、选择题Ⅰ：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．A 4．B
5．D 6．B 7．D 8．A
第8题详解：不妨设正四面体false的棱长为3，则该四面体的高为false，false，要求直线false与false所成的最小角，即为直线false与平面false所成角，记点false到平面false的距离为false，
由false，得false，解得false，所以直线false与平面false所成角的正弦值为false，即false的最小值为false。
二、选择题Ⅱ：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．BC 10．ACD 11．BD 12．BC
第12题详解：false于false，点false在直线false上。
对于A，当false为false中点，且false时，false，垂足为false，由已知得false，所以false平面false，所以false，故A错误；
对于B，当false时，false，当点false即为点false时，false平面false，所以平面false平面false，故B正确；
对于C，当false时，false，若四棱锥false的体积最大，则false，即点false即为点false，此时false，false，
四棱锥false的体积为false，故C正确；
对于D，点false的轨迹是以false为直径的一段圆弧，记false的中点为false，则false的最小值为false，故D错误。
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．false 14．1 15．false 16．false
第16题详解：令false，false，false，false中点为false，false中点为false，由已知得，false，点false的轨迹是以false为直径的圆，
解法一：
false
false
所以false的最小值为false。
解法二：
若false取到最小，则点false在false内，设false，则false，false，
由余弦定理得false
false
false，
当false时取到等号。
四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题满分10分）
已知平面向量false，false满足false，false，false，若false，false。
（Ⅰ）求false；
（Ⅱ）求false。
解：（Ⅰ）false。
（Ⅱ）false。
18．（本题满分12分）
如图，在四棱锥false中，底面false为矩形，false平面false，false，false为false中点。
（Ⅰ）证明：false平面false；
（Ⅱ）求false与平面false所成角的正弦值。
解：（Ⅰ）证明：false，连接false，因为false，false分别为false，false中点，
所以false，false平面false，false平面false，所以false平面false。
（Ⅱ）因为false平面false，所以false，又因为false，false，
所以false平面false，即平面false平面false，交线为false，所以false与平面false所成角为false，
false。
19．（本题满分12分）
在false中，内角false，false，false对应的边分别为false，false，false，请在①false；②
false；③false这三个条件中任选一个，完成下列问题：
（Ⅰ）求角false；
（Ⅱ）若false，false，求false的面积。
（注：学如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
解：（Ⅰ科）选①，因为false，
所以网false，得false，
即false，
由正弦定理得：false，
因为false，所以false，
所以false。
选②，因为false，所以false，false
得false，
即false，
false，
所以false，
所以false。
选③，因为false，所以false，
false，
false，
false，
false，
false，即false，
因为false，所以false，
所以false。
（Ⅱ）由余弦定理得，false，
所以false，即false，
false。
20．（本题满分12分）
为了深入贯彻落实习近平总书记关于疫情防控的重要指示要求，某校组织开展“战役有我，青春同行”防控疫情知识竞赛活动，某经过层层筛选后剩下甲、乙两名同学争夺一个参赛名额，该班设计了一个游戏方案决定谁去参加，规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为false的球有false个false，甲、乙两名同学需从6个球中随机摸取3个球，所取球的标号之和多者获胜。
（Ⅰ）求甲所取球的标号之和为7的概率；
（Ⅱ）求甲获胜的概率。
解：（Ⅰ）假设标号为1的球为false，标号为2的球为false，false，标号为3的球为false，false，false，则每位同学取球标号之和的所有情况为：false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false，false， false共20种，
甲所取球的标号之和为7的情况为：false，false，false，false，false，false共6种，
所以甲所取球的标号之和为7的概率false。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，每人标号之和为5的概率false，标号之和为6的概率false，标号之和为8的概率false，标号之和为9的概率为false，
则甲获胜的概率false。
21．（本题满分12分）
在false中，内角false，false，false对应的边分别为false，false，false，设false，false，且false。
（Ⅰ）求false的值；
（Ⅱ）若false，false，点false满足false，求false的长。
解：（Ⅰ）因为false，所以false，
false，即false，
解得false或者false，
因为false，所以false。
（Ⅱ）因为false，所以false，解得false，
又因为false，所以false，
false，
即false，
所以false的长为false。
22．（本题满分12分）
如图，在三棱柱false中，侧面false是边长为2的菱形，false，false，且false。
（Ⅰ）证明：false；
（Ⅱ）若二面角false的平面角为false，求false与平面false所成角的正弦值。
解：（Ⅰ）证明：因为false，false，
所以false与false全等，所以false，
false，连接false，false，false为false中点，
false，false，false，
所以false平面false，
所以false。
（Ⅱ）解法一：
由（Ⅰ）知，false为二面角false的平面角，所以false，且false，
false，过false作false于false，连接false，
因为false平面false，false平面false，所以平面false平面false，交线为false，
又因为false，所以false平面false，
所以false为false与平面false所成角，
false，false，false，
所以false与平面false所成角的正弦值为false。
解法二：
由（Ⅰ）知，false为二面角false的平面角，所以false，且false，过false作false于false，
因为false平面false，false平面false，
所以平面false平面false，交线为false，
又因为false，所以false平面false，
false即为点false到平面false的距离，
false，false，
记false为false与平面false所成角，
false，
所以false与平面false所成角的正弦值为false。
解法三：
由（Ⅰ）知，false为二面角false的平面角，所以false，且false，
如图建立空间直角坐标系，
则false，false，false，false，false，false
false，false，
设平面false的法向量为false，则
false，得false
false，
所以false与平面false所成角的正弦值为false。