8.1 基本立体图形第1课时-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章
立体几何初步
8.1
基本立体图形
第1课时
棱柱、棱锥、棱台
【课程标准】
理解棱柱的定义，知道棱柱的结构特征，并能识别
理解棱锥、棱台的定义，知道棱锥、棱台的结构特征，并能识别
能将棱柱、棱锥、棱台的表面展开成平面图形
【知识要点归纳】
1．空间几何体的定义及分类
(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．
(2)分类：常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．
2．空间几何体
类别
定义
图示
多面体
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点
旋转体
一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的这条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴
3.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
结构特征及分类
图形及记法
棱柱
结构特征
(1)有两个面(底面)互相平行
(2)其余各面都是四边形
(3)相邻两个四边形的公共边都互相平行
记作棱柱
ABCDEF?A′B′C′D′E′F′
分类
按底面多边形的边数分为三棱柱、四棱柱…
结构特征及分类
图形及记法
棱锥
结构特征
(1)有一个面(底面)是多边形
(2)其余各面(侧面)都是有一个公共顶点的三角形
记作
棱锥S?ABCD
分类
按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥……
棱台
结构特征
(1)上下底面互相平行，且是相似图形
(2)各侧棱延长线相交于一点
(或用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间那部分多面体叫做棱台)
记作
棱台ABCD?A′B′C′D′
分类
由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别为三棱台、四棱台、五棱台……
注：(1)棱柱、棱锥、棱台的关系
在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来(以三棱柱、三棱锥、三棱台为例)．
(2)各种棱柱之间的关系
①棱柱的分类
棱柱
②常见的几种四棱柱之间的转化关系
【经典例题】
例1．以三棱台的顶点为三棱锥的顶点，这样可以把一个三棱台分成三棱锥的个数为　　
A．1
B．2
C．3
D．6
例2．下列命题中，正确的是　　
A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面
C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形
例3．正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？
【课堂检测】
一．选择题（共5小题）
1．下列说法中正确的是　　
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
2．用一个平面去截一个正四面体，截面不可能为　　
A．内角均不为的菱形
B．平行四边形
C．等腰三角形
D．钝角三角形
3．一个棱锥被平行于底面的平面所截，如果截面面积与底面面积之比为，则截面把棱锥的一条侧棱分成的两段之比是　　
A．
B．
C．
D．
4．如图，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是　　
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．五棱锥
5．已知如图：长方体中，交于顶点的三条棱长别为，，．一天，小强观察到在处有一只蚂蚁，发现顶点处有食物，于是它沿着长方体的表面爬行去获取食物，则蚂蚁爬行的最短路程是　　
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共1小题）
6．如图，在棱长为1的正四面体中，平面与棱，，，分别交于点，，，，则四边形周长的最小值为　
　．
三．解答题（共1小题）
7．已知正四棱锥的高为，侧棱长为．
（1）求侧面上的斜高；
（2）求一个侧面的面积；
（3）求底面的面积．
参考答案
例题答案
1．【解答】解：如图所示，三棱台可分割成三棱锥，
三棱锥，三棱锥共3个，
故选：．
2．【解答】解：对于，有两个面平行其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱错误，即错误，反例如图：
对于，正六棱柱有四对平行的面，但只有一对正六边形的面可以为底面，故错误；
对于，棱柱的侧面是平行四边形，而底面可以是平行四边形，故错误；
对于，棱柱的侧面都是平行四边形，正确，
故选：．
3．【解答】解：如图所示，
正四棱锥中高，侧棱，
在中，，
．
．
作于，则为中点．连接，则即为斜高．
在中，
，，
，即侧面上的斜高为
当堂检测答案
一．选择题（共5小题）
1．【解答】解：棱柱的定义是，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，相邻的公共边互相平行，有这些面围成的几何体是棱柱；可以判断正确；不正确，例如正六棱柱的相对侧面；不正确，只有直棱柱满足的条件；不正确，例如长方体．
故选：．
2．【解答】解：对，如图所示，取对棱的中点，连成四边形为平行四边形，故错误；
对，与底面平行的平面，截得的截面为等腰三角形，故错误；
对，显然虚线三角形的一条边无限靠近
时，三角形为钝角三角形，故错误；
对，若截面为菱形，则该截面只能是正方形，
所以其内角均为．
故选：．
3．【解答】解：截面把棱锥的一条侧棱分成的两段，设截后棱锥的侧棱长为，原棱锥的侧棱长为，
由于截面与底面相似，一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截得的截面面积与底面面积的比为，
则相似比为：，．
截面把棱锥的一条侧棱分成的两段之比是：．
故选：．
4．【解答】解：如图所示，
三棱台中，沿截去三棱锥，
剩余部分是四棱锥．
故选：．
5．【解答】解：从长方体的一条对角线的一个端点出发，沿表面运动到另一个端点，有三种方案，如图是它们的三种部分侧面展开图，
路程可能是：
或，
或．
最短路程是：．
答案为：．
故选：．
二．填空题（共1小题）
6．【解答】解：将四面体展开为平面图形，即把面沿着翻折到与面共面上来，再到面沿着翻折到面中，再反这个面沿着翻折到面中来，（其实就是得到四面体的展开图），当，，，四点在一条直线时，四面体中，四边形周长最小，最小值为2；如图
三．解答题（共1小题）
7．【解答】解：（1）连接、，交于点，
连接，则平面；
过点做，垂足为，连接，则；
是侧面的斜高，
在中，；
，斜高；
（2）侧面的面积为
；
（3）底面的面积为
．