8.1 基本立体图形第2课时-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章
立体几何初步
8.1
基本立体图形
第2课时
圆柱、圆锥、圆台与球
【课程标准】
认识旋转体及其组合体的结构特征
掌握简单的计算问题
【知识要点归纳】
1．圆柱的结构特征
定义
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所围成的旋转体叫做圆柱
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆柱的轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；
侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面；
圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边；
柱体：圆柱和棱柱统称为柱体
2.圆锥的结构特征
定义
以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
图示及相关概念
轴：旋转轴叫做圆锥的轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边；
锥体：棱锥和圆锥统称锥体
3.圆台的结构特征
定义
用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间部分叫做圆台
图示及相关概念
轴：圆锥的轴；
底面：圆锥的底面和截面；
侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分；
母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分；
台体：棱台和圆台统称为台体
注：一定是用和平面平行的平面去截圆锥才能得到圆台
4．球的结构特征
定义
以半圆的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
图示及相关概念
球心：半圆的圆心叫做球的球心；
半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；
直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径
球的经典性质
注：圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为球．
5．简单组合体的结构特征
(1)简单组合体的定义：由简单几何体组合而成的几何体．
(2)简单组合体的两种基本形式：
简单组合体
【经典例题】
例1．以下命题：
①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；
②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
其中错误命题的个数为　　
A．0
B．1
C．2
D．3
例2．下列说法不正确的是　　
A．若棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱
B．当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆
C．平行于圆台底面的平面截圆台，截面是圆面
D．直角三角形绕它的一边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
例3．在半径等于的球内有一个截面，它的面积是，则球心到截面的距离为　　
A．
B．
C．
D．
例4．圆柱的轴截面（经过圆柱的轴所作的截面）是边长为的正方形，则圆柱侧面上从到的最短距离为　　
A．
B．
C．
D．
例5．如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为，截去的圆锥的母线长是，则圆台的母线长为　　．
【课堂检测】
一．选择题（共2小题）
1．下列说法正确的是　　
A．到定点的距离等于定长的点的集合是球
B．球面上不同的三点可能在同一条直线上
C．用一个平面截球，其截面是一个圆
D．球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面
2．一个直角三角形绕斜边所在直线旋转形成的空间几何体为　　
A．一个圆锥
B．一个圆锥和一个圆柱
C．两个圆锥
D．一个圆锥和一个圆台
二．填空题（共2小题）
3．已知球的半径为4，圆与圆为该球的两个小圆，为圆与圆的公共弦，，若，则两圆圆心的距离　　．
4．一个圆锥的母线长为，母线与轴的夹角为，则圆锥的高为　　．
三．解答题（共2小题）
5．用一个平面截半径为的球，截面面积是，求球心到截面的距离．
6．一个圆台的母线长为，两底面面积分别为和．求：
（1）圆台的高；
（2）截得此圆台的圆锥的母线长．
答案
例题答案
1．【解答】解：①，以直角三角形的一直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，故①错误；
②，以直角梯形的垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台，故②错误；
③，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故③正确；
④，一个平行于圆锥的底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台，故④错误．
其中错误命题的个数为3．
故选：．
2．【解答】解：对于，棱柱被一平面所截，则分成的两部分不一定是棱柱，可以是两个多面体，所以正确；
对于，当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆，所以正确．
对于，根据平行于圆台底面的平面截圆台截面的性质可知：截面是圆面，所以正确；
对于，直角三角形绕它的一条直角边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥，而直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是同底面的两个圆锥，因此不正确，
故选：．
3．【解答】解：由题意设截面圆的半径为，
则，
解得；
又球的半径为，
且球的半径，截面圆的半径，球心到截面圆的距离
组成直角三角形，
球心到截面圆的距离为
．
故选：．
4．【解答】解：如图，
圆柱的轴截面是边长为的正方形，展开后为矩形，
为圆柱底面圆的周长的一半，等于，
，
圆柱侧面上从到的最短距离为．
故选：．
5．【解答】解：设圆台的母线长为，
如图所示，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，
截得圆台上、下底面的面积之比为，
截去的圆锥的母线长是，
，
解得，
则圆台的母线长为．
故答案为：9．
一．选择题（共2小题）
1．【解答】解：对于，球是球体的简称，球体的外表面我们称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，故选项错误；
对于，球面上不同的三点一定不共线，故选项错误；
对于，用一个平面截球，其截面是一个圆面，而不是一个圆，故选项错误；
对于，根据球的几何性质可知，球心与截面圆心（截面不过球心）的连线垂直于该截面，故选项正确．
故选：．
2．【解答】解：做出斜边上的高，得到两个小的直角三角形，一个直角三角形绕斜边旋转，相当于以两个小直角三角形的直角边
为轴旋转，故以一个直角三角形绕斜边旋转形成的空间几何体是两个同底的圆锥，
底面是以直角三角形的斜边上的高为半径的圆面，这两个圆锥的高都在直角三角形的斜边上，
且这两个圆锥的高的和等于直角三角形的斜边长．
故选：．
二．填空题（共2小题）
3．【解答】解法一：，球半径为4，
小圆的半径为，
小圆中弦长，作垂直于，
，同理可得，在直角三角形中，
，，
，
，
．
故填：3．
解法二：如下图：设的中点为，则与必相交于中点为，因为，
故小圆半径为
为中点，故；所以，
为直角三角形，为斜边上的高，
故填：3．
4．【解答】解：由题设条件可知，
在直角三角形中，
圆锥的高：．
故答案为：
三．解答题（共2小题）
5．【解答】解：设球的半径为，截面圆的半径为，球心到截面的距离为，
由截面圆的面积是，可得，即，
由球的截面性质可得，
可得，
解得，
则球心到截面的距离为．
6．【解答】解：（1）圆台的轴截面是等腰梯形，如图所示；
由已知可得上底半径，下底半径；
又腰长为12
，
所以圆台的高为；
（2）设截得此圆台的圆锥母线长为，
则由可得，
解得，
所以截得此圆台的圆锥的母线长为20
．