8.2 立体图形的直观图-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章
立体几何初步
8.2
立体图形的直观图
【课程标准】
掌握斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图
能用斜二测画法画出简单几何体的直观图
【知识要点归纳】
1.水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法：
（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使＝（或）.
　　（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.
（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.
（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.
方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.
2.用斜二测画法作立体图形直观图的步骤如下：
（1）在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图（保留x′轴与y′轴）.
（2）在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴.过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴.
图形中与z轴平行（或重合）的线段画成与z′轴平行（或重合）的线段，且长度不变.连接有关线段.
（3）擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线（或擦除）.
口诀：平行依旧垂改斜，横等纵半竖不变；
眼见为实遮为虚，空间观感好体现。
【经典例题】
画出底面是正方形，高与底面边长相等且侧棱均相等的四棱锥的直观图
1．等腰梯形中，上底，腰，下底，以下底所在直线为轴，则由斜二测画法画出的直观图的面积为　　．
2．如图，正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．
参考答案：2．【解答】解：在等腰梯形中，上底，腰，下底，
高，
根据斜二测画法的规则可知，，，，
直观图中的高，
直观图的面积为，
故答案为：；
3．【解答】解：正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，
则原图是平行四边形，相邻边长为：1和，
原图的周长是：8．
故周长为：8，面积为；
故答案为：，．
【课堂检测】
1.用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时，判断下列命题的真假.
（1）三角形的直观图还是三角形.
（2）平行四边形的直观图还是平行四边形.
（3）正方形的直观图还是正方形.
（4）菱形的直观图还是菱形.
2.用斜二测画法作出水平放置的正五边形的直观图.
3.如图所示，是用斜二测画法作出的水平放置的的直观图，已知为的中点，设在上对应的点为，在图上标出的位置，并求的值.
4.用斜二测画法作出正方体的直观图.
5如图，矩形是水平放置的一个平面图形的斜二测画法画出的直观图，其中，，则原图形面积是　　．
参考答案
5．【解答】解：把矩形的直观图还原为原平面图形，如图所示；
由，，得出，
所以，，
所以原图形的面积是：
．
故答案为：．