8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章
立体几何初步
8.3.2
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
【课程标准】
知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式
能利用计算公式求旋转体体的表面积和体积
能用计算公式解决与旋转体体相关的实际问题
【知识要点归纳】
1．圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
名称
图形
公式
圆柱
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝2πrl
表面积：S＝2πrl＋2πr2
体积：V＝πr2l
圆锥
底面积：S底＝πr2
侧面积：S侧＝πrl
表面积：S＝πrl＋πr2
体积：V＝πr2h
圆台
上底面面积：S上底＝πr′2
下底面面积：S下底＝πr2
侧面积：S侧＝πl(r＋r′)
表面积：
S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
体积：
V＝πh(r′2＋r′r＋r2)
2．球的表面积和体积
设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2．球的体积V＝πR3．
注：圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl.
【经典例题】
例1．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（　　）
A．
B．
C．
D．
例2．若圆锥的高等于底面直径，侧面积为，则该圆锥的体积为（　　）
A．π
B．π
C．2π
D．π
例3．在半径等于13cm的球内有一个截面，它的面积是25πcm2，则球心到截面的距离为（　　）
A．12cm
B．10cm
C．8cm
D．6cm
例4．已知三棱锥P﹣ABC的各顶点都在以O为球心的球面上，球O的表面积为50π，PA⊥AB，PA⊥AC，AB＝3，AC＝4，BC＝5，则PA＝（　　）
A．5
B．5
C．5
D．
例5．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于一个圆柱，且底面是正三角形，如果圆柱的体积是2π，底面直径与母线长相等．
（Ⅰ）求该圆柱的侧面积；
（Ⅱ）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
例题参考答案
1．【解答】解：设圆柱底面积半径为r，则高为2πr，
全面积：侧面积＝[（2πr）2+2πr2]：（2πr）2
＝．
故选：A．
2．【解答】解：圆锥的高等于底面直径，侧面积为，
设底面半径为r，则高h＝2r，
∴母线长l＝＝r，
∴s＝＝，解得r＝1，
该圆锥的体积为V＝＝．
故选：B．
3．【解答】解：由题意设截面圆的半径为r，
则πr2＝25π，
解得r＝5（cm）；
又球的半径为R＝13（cm），
且球的半径R，截面圆的半径r，球心到截面圆的距离d
组成直角三角形，
∴球心到截面圆的距离为
d＝＝＝12（cm）．
故选：A．
4．【解答】解：∵在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AB，PA⊥AC，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，
∵点P，A，B，C都在球O的球面上，
∴球半径R＝＝＝，
∴球O的表面积为：
S＝4πR2＝4π×（）2＝50π，解得PA＝5．
故选：C．
5．【解答】解：（Ⅰ）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1内接于一个圆柱，且底面是正三角形，
圆柱的体积是2π，底面直径与母线长相等．
设底面半径为r，则母线长为2r，
∴V圆柱＝πr2?2r＝2π，
解得r＝1，
∴该圆柱的侧面积：
S侧＝2πr?2r＝4π．
（Ⅱ）取AC中点D，连结AD，
设底面圆圆心为O，则AO＝AD＝1，∴AD＝，
设AB＝a，则AD＝＝＝，
解得a＝．
∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：
V＝S△ABC×AA1＝＝．
【课堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．三个球的半径之比为，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的　　
A．1倍
B．2倍
C．倍
D．倍
2．已知三棱锥中，底面，，，且该三棱锥所有顶点都在球的球面上，则球的表面积为　　
A．
B．
C．
D．
3．如图，一圆锥形物体的母线长为4，其侧面积为，则这个圆锥的体积为　　
A．
B．
C．
D．
4．圆台的上下底面半径和高的比为，若母线长为10，则圆台的表面积为　　
A．
B．
C．
D．
二．解答题（共4小题）
5．如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，并且底面是正三角形，如果圆柱的体积是，底面直径与母线长相等．
（1）求正三角形边长；
（2）三棱柱的体积是多少？
6．用一个平面截半径为的球，截面面积是，求球心到截面的距离．
7．已知正四棱台底面边长分别为和，侧面积为，求其体积．
8．一个高为16的圆锥内接于一个体积为的球，在圆锥内又有一个内切球；求
（1）圆锥的侧面积；
（2）圆锥的内切球的体积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：设最小球的半径为，则另两个球的半径分别为、，
所以各球的表面积分别为，，，
所以最大球的表面积与其余两个球的表面积之和的比为：
．
故选：．
2．【解答】解：由题意，将三棱锥扩充为长方体，长方体的对角线为外接球的直径，，
半径为，球的表面积为，
故选：．
3．【解答】解：圆锥的展开图为扇形，半径，侧面积为扇形的面积，
所以扇形的面积，解得，
所以弧长，所以底面周长为，
由此可知底面半径，所以底面面积为，
圆锥体的高为，
故圆锥的体积，
故选：．
4．【解答】解：设圆台的上底面半径为，由圆台的上下底面半径和高的比为，得下底面半径为，高为，
圆台的母线长，，
圆台的表面积．
故选：．
二．解答题（共4小题）
5．【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为，
则由已知得圆柱的母线长及三棱柱的高为．（2分）
由，得，则三棱柱的高为4．（4分）
三棱柱的底面是正三角形，其外接圆半径为
边长，（8分）
（2）
三棱柱的体积（12分）
6．【解答】解：设球的半径为，截面圆的半径为，球心到截面的距离为，
由截面圆的面积是，可得，即，
由球的截面性质可得，
可得，
解得，
则球心到截面的距离为．
7．【解答】解：正四棱台底面边长分别为和，侧面积为，设为了的斜高，
可得，解得．
即，
棱台的高．
棱台的体积为：
8．【解答】解：（1）如图所示．作轴截面，则等腰三角形内接
于圆，而圆内切于，设圆的半径为，
由题意，得，
，；（3分）
已知，，
连接，是直径，，，
，（5分）
，，，（7分）
；（8分）
（2）设内切圆的半径为
的周长为，
，；（10分）
圆锥的内切球的体积．（12分）