8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章
立体几何初步
8.3.1
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
【课程标准】
知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式
能利用计算公式求多面体的表面积和体积
能用计算公式解决与多面体相关的实际问题
【知识要点归纳】
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
2．棱柱、棱锥、棱台的体积
(1)V棱柱＝Sh；(2)V棱锥＝Sh；V棱台＝h(S′＋＋S)，其中S′，S分别是棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．
3．柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系
V柱体＝ShV台体＝(S′＋＋S)hV锥体＝Sh.
【经典例题】
例1．如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则四棱锥的体积为
　　
A．
B．
C．
D．
例2．正四棱台两底面边长分别为2和4．
（1）若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积；
（2）若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高．
例3．如图所示，多面体中，已知平面是边长为3的正方形，，，到平面的距离为2，求该多面体的体积．
例题参考答案
一．选择题（共1小题）
1．【解答】解：如图
取中点，连接，
三棱柱是正三棱柱，，
又正三角形的边长为1，．
而平面平面，且平面平面，
平面，又四边形是边长为1的正方形，
四棱锥的体积为．
故选：．
2．【解答】解：（1）如图，设，分别为上，下底面的中心，
过作于，过作于，连接，
则为正四棱台的斜高；
由题意知，
；
在△中，，
又
，
斜高，
；
（2），
，
解得；
又，
高．
3．【解答】解：如图，
设，分别为，的中点，连接，，，
则，，，得三棱柱，
由题意，；
．
该多面体的体积．
【课堂检测】
一．选择题（共1小题）
1．已知高为3的直棱柱的底面是边长为1的正三角形（如图所示），则三棱锥的体积为　　
A．
B．
C．
D．
二．多选题（共1小题）
2．已知正四棱锥的侧面积为，当该棱锥的体积最大时，以下结论正确的是　　
A．棱锥的高与底面边长的比为
B．侧棱与底面所成的角为
C．棱锥的每一个侧面都是等边三角形
D．棱锥的内切球的表面积为
三．填空题（共3小题）
3．三棱锥的顶点为，，，为三条棱，且，，两两垂直，又，，，则三棱锥的体积是　　．
4．一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为　　．
5．正三棱台上、下底面边长分别是和，棱台的高为，则正三棱台的侧面积为　
　．
四．解答题（共1小题）
6．如图，已知正四棱锥中，与交于点，是棱锥的高，若，．
（1）求正四棱锥的体积．
（2）求正四棱锥的表面积．
参考答案
一．选择题（共1小题）
1．【解答】解：高为3的直棱柱的底面是边长为1的正三角形，
，
三棱锥的体积：
．
故选：．
二．多选题（共1小题）
2．【解答】解：设底面边长为，侧棱长为，则，即，
而，又，
故，
设，则（a），
易知函数（a）在单调递增，在单调递减，
当时，（a）取得最大值，此时棱锥的体积最大，且，
底面边长为2，侧棱长为2，，
棱锥的高与底面边长的比为，选项正确；
侧棱与底面所成的角为，而，则，选项错误；
由于底面边长与侧棱长均为2，故侧面为等边三角形，选项正确；
设内切球的半径为，由于，
，
，选项正确．
故选：．
三．填空题（共3小题）
3．【解答】解：侧棱、、两两互相垂直，即，，而、是平面内的相交直线
平面，
，，，
三棱锥的体积
故答案为：4
4．【解答】解：一个六棱锥的体积为，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，棱锥是正六棱锥，设棱锥的高为，则，
，
棱锥的斜高为：，
该六棱锥的侧面积为：．
故答案为：12．
5．【解答】解：作出三棱台的直观图，还原成三棱锥如图：
取中点，连接，，则，，．
，
，
．
过作于，
则．
．
即棱台侧面梯形的高为．
．
故答案为．
四．解答题（共1小题）
6．【解答】解：（1）设正四棱锥中，，
正四棱锥中，与交于点，
是棱锥的高，，．
，解得，
，
，
正四棱锥的体积．
（2），
正四棱锥的表面积：
．