8.4.1平面-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章
立体几何初步
8.4.1
平面
【课程标准】
借助长方体，抽象出空间中点、直线与平面的位置关系，了解平面的表示法
掌握关于平面性质的的三个基本事实
会用符号表示图形中点、直线、平面之间的位置关系
【知识要点归纳】
1.平面的概念
(1)平面的概念：
广阔的草原、平静的湖面都给我们以平面的形象．和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念．
(2)几何平面的的特征：绝对的平；无限延展
(3)平面的画法：
一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图
一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.
(4)平面的表示方法
平面通常用希腊字母α，β，γ…表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面α、平面AC等．
2.平面的基本性质
公理(推论)
文字语言
图形语言
符号语言
作用
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内
?AB?α
(1)判定直线在平面内；
(2)证明点在平面内
公理2
如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线
?α∩β＝l
且P∈l
(1)判断两个平面是否相交；
(2)判定点是否在直线上；
(3)证明点共线问题
公理3
经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面
A，B，C不共线?A，B，C确定一个平面α
(1)确定一个平面的依据；
(2)证明平面重合；
(3)证明点、线共面
推论1
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面
A?l?A和l确定一个平面α
推论2
经过两条相交直线，有且只有一个平面
a∩b＝A?a，b确定一个平面α
推论3
经过两条平行直线，有且只有一个平面
a∥b?a，b确定一个平面α
3.
点、线、面之间的位置关系
点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达
位置关系
符号表示
点P在直线AB上
P∈AB
点C不在直线AB上
C?AB
点M在平面AC内
M∈平面AC
点A1不在平面AC内
A1?平面AC
直线AB与直线BC交于点B
AB∩BC＝B
直线AB在平面AC内
AB?平面AC
直线AA1不在平面AC内
AA1?平面AC
【经典例题】
例1．下列命题正确的是（　　）
A．三点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．圆心和圆上两点可确定一个平面
D．梯形可确定一个平面
例2．用符号语言表示下列语句，并画出图形．
（1）三个平面α、β、γ相交于点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．
例3．如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为A1A的中点．求证：
（1）E、C、D1、F四点共面；
（2）CE、D1F、DA三线共点．
例题解析
一．选择题（共1小题）
1．【解答】解：由不共线的三点确定一个平面，故A错误；
由一条直线和该直线外一点确定一个平面，故B错误；
当圆心和圆上两点在圆的直径上，不能说明该三点确定一个平面，故C错误；
由于梯形是有一组对边平行的四边形，可得梯形确定一个平面，故D正确．
故选：D．
二．解答题（共2小题）
2．【解答】解：（1）三个平面α、β、γ相交于点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；
用符号表示为：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，
满足条件的图形如下所示：
（2）平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．
用符号表示为：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC．
满足条件的图形如下所示：
3．【解答】证明：（1）分别连接EF、A1B、D1C．
∵E、F分别是AB和AA1的中点，
∴EFA1B．又A1D1∥B1C1∥BC，
∴四边形A1D1CB为平行四边形．
∴A1B∥CD1，从而EF∥CD1．
∴EF与CD1确定一个平面．
∴E、F、D1、C四点共面．
（2）∵EFCD1，∴直线D1F和CE必相交，
设D1F∩CE＝P．
∵P∈D1F且D1F?平面AA1D1D，
∴P∈平面AA1D1D．
又P∈EC且CE?平面ABCD，
∴P∈平面ABCD，
即P是平面ABCD与平面AA1D1D的公共点，
而平面ABCD∩平面AA1D1D＝AD，
∴P∈AD．∴CE、D1F、DA三线共点．
【课堂检测】
一．选择题（共7小题）
1．用一个平面去截正方体，则截面不可能是　　
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
2．下列图形中，一定可以确定一个平面的是　　
A．四边形
B．空间三点
C．两两相交且交点均不相同的四条直线
D．交于同一点的三条直线
3．下列选项中，，，，分别是所在棱的中点，刚这四个点不共面的是　　
A．
B．
C．
D．
4．空间内三条直线两两相交可以确定平面的个数　　
A．1个
B．2个
C．1个或2个
D．1个或3个
5．在棱长为2的正方体中，为的中点，则过、、三点的平面截正方体所得的截面面积为　　
A．
B．
C．
D．
6．在正方体中，，，，分别是该点所在棱的中点，则下列图形中，，，四点共面的是　　
A．
B．
C．
D．
7．如图，在正三棱柱中，，，，分别是棱，的中点，为棱上的动点，则的周长的最小值为　　
A．10
B．
C．
D．
二．填空题（共1小题）
8．若点在直线上，则，间的关系可用集合语言表示为　　．
三．解答题（共1小题）
9．已知长方体中，，分别为和的中点．求证：
（1），，，四点共面；
（2）、、三线共点．
当堂检测解析
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：画出截面图形如图
显然正三角形，正方形：正六边形
可以画出五边形但不是正五边形；
故选：．
2．【解答】解：四边形如果是空间四边形，则不能确定一个平面，所以不正确；
空间三点如果在一条直线上，所以不能确定一个平面，所以不正确；
两两相交且交点均不相同的四条直线，由平面的基本性质可知，选项正确；
交于同一点的三条直线，例如长方体的顶点处的3条棱，不能确定一个平面，所以不正确；
故选：．
3．【解答】解：如图：
连接，交的延长线于，交的延长线于，连接，交的延长线于，
连接，分别交，于，由图可知为的中点，
所以选项，中的四点共面；
对于，如图：
连接，，因为，，，分别是所在棱的中点，
所以，所以，，，四点共面；
对于，如图：
连接，，因为平面，平面，但面，所以与异面，
所以，，，四点不共面．
故选：．
4．【解答】解：空间内三条直线两两相交可以确定平面为三线共点或三线不共点但是两两相交．
故选：．
5．【解答】解：由题意，作出图形如图所示，
取的中点，连结，，则平面即为过、、三点的截面，
因为，分别为，的中点，故，
因为正方形的棱长为2，所以，
所以四边形是等腰梯形，
过点作的平行线交于点，作的垂线交于点，
所以，由勾股定理可得，
所以梯形的面积为．
故选：．
6．【解答】解：对于选项，点，，确定一个平面，该平面与底面交于，
而点不在直线上，
故，，，四点不共面；
对于选项，连结底面对角线，
则由中位线定理可知，，又，
则，
故，，，四点共面；
对于选项，显然，，所确定的平面为正方体的底面，
而点不在该平面内，
故，，，四点不共面；
对于选项，如图，取部分棱的中点，顺次连接，可得一个正六边形，
即点，，确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，
而点不在直线上，
故，，，四点不共面
故选：．
7．【解答】解：如图所示，把正沿着，边剪开展开，使得
正与平面在同一个平面
可得三点在同一条直线时，取最小值，即的周长取得最小值．
，解得．即．
在正三棱柱中，．
的周长的得最小值．
故选：．
二．填空题（共1小题）
8．【解答】解：点在直线上，
则，间的关系可用集合语言表示为：．
故答案为：．
三．解答题（共1小题）
9．【解答】证明：（1）连接，
因为，分别为和的中点，
所以，
因为，，
所以四边形为平行四边形，
所以，所以，
所以与确定一个平面，
所以，，，四点共面．
（2）因为，且，
所以直线与必相交，
设，
因为，平面，
所以平面，
又因为，平面，
所以平面，
所以是平面与平面的公共点，
又因为平面平面，所以，
所以、、三线共点．