8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章
立体几何初步
8.4.2
空间点、直线、平面之间的位置关系
【课程标准】
1.掌握点、直线、平面位置关系的定义
2.学会用图形语言、符号语言表示位置关系
3.掌握判断直线与平面的位置关系的方法
【知识要点归纳】
1.异面直线
(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法(衬托平面法)
如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.
(3)判断两直线为异面直线的方法
①定义法；②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系
3.直线与平面的位置关系
位置关系
直线a在平面α内
直线a在平面α外
直线a与平面α相交
直线a与平面α平行
公共点
有无数个公共点
只有1个公共点
没有公共点
符合表示
a?α
a∩α＝A
a∥α
图形表示
4.平面与平面的位置关系
位置关系
两平面平行
两平面相交
公共点
没有公共点
有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
α∥β
α∩β＝l
图形表示
【经典例题】
例1．在空间四边形中，，分别为对角线，的中点，则与　　
A．平行
B．异面
C．相交
D．以上均有可能
例2．如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段，，，在原正方体中互为异面的对数为　　
A．1
B．2
C．3
D．4
例3．已知，是两个不重合的平面，下面说法正确的是　　
A．平面内有两条直线，都与平面平行，那么
B．平面内有无数条直线平行于平面，那么
C．直线与平面和平面都平行，那么
D．平面内所有的直线都与平面平行，那么
例4．在四面体中作截面，若与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点，给出以下命题：
①直线平面；
②点在直线上；
③，，，四点共面．
其中正确结论的序号为　　．
例题解析
1．【解答】解：假设与是共面直线，设此平面为，
则，，，，所以，，
而，，所以，，即有，，，，
与为空间四边形矛盾，
所以与是异面直线．
故选：．
2．【解答】解：画出展开图复原的几何体，所以与重合，，重合，
所以：四条线段、、和在原正方体中相互异面的有：
与，与，与，
共有3对．
故选：．
3．【解答】解：平面内有两条直线，都与平面平行，那么，错误，缺少两直线相交的条件；
平面内有无数条直线平行于平面，那么，错误，若与相交，平面内平行于交线的直线也都与平行；
直线与平面和平面都平行，那么，错误，若，不在与内且，则满足直线与平面和平面都平行，此时与相交；
若平面内所有的直线都与平面平行，由平面与平面平行的定义，的，正确．
故选：．
4．【解答】解：如图所示，
四面体中作截面，
与的延长线交于点，与的延长线交于点，与的延长线交于点，
对于①，，平面，平面；
同理，平面，
直线平面，①正确；
对于②，点平面，平面，
点平面，点平面，
平面平面，
又平面，点平面，
点直线，
即点在直线上，②正确；
对于③，由②知点，，三点共线，则点、、、四点共面，③正确；
综上，正确的结论序号是①②③．
故答案为：①②③．
【课堂检测】
一．选择题（共7小题）
1．如图所示，在三棱锥的六条棱所在的直线中，异面直线共有　　
A．2对
B．3对
C．4对
D．6对
2．如图，长方体的棱所在直线与直线为异面直线的条数是　　
A．4
B．5
C．6
D．7
3．若直线平面，直线在平面内，则直线与的位置关系为　　
A．一定平行
B．一定异面
C．可能相交
D．可能平行、可能异面
4．在空间中垂直同一直线的的两条直线与位置关系是　　
A．平行
B．相交
C．异面
D．以上都有可能
5．已知直线，，平面，，若，，，则直线与的关系是　　
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行或异面
6．已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　
A．，，，
B．，，
C．，
D．，
7．给出下列四个命题，其中正确命题的个数是　　
①平面与平面，都相交，则这三个平面有2条或3条交线；
②两个平面平行，各任取两平面内的一条直线，它们不相交；
③直线不平行于平面，则不平行于内的任何一条直线；
④如果，，那么．
A．0
B．1
C．2
D．3
二．填空题（共1小题）
8．如图在正方体中判断下列位置关系：
（1）所在直线与平面的位置关系是　
　；
（2）平面与平面的位置关系是　
　．
参考答案
一．选择题（共7小题）
1．【解答】解：如图所示，三棱锥中，棱与是异面直线，棱与是异面直线，棱与是异面直线；
共3对．
故选：．
2．【解答】解：根据异面直线的定义可得，与直线为异面直线的棱有：，，，，，，共6条．
故选：．
3．【解答】解：若直线平面，则直线与平面无公共点，
过作平面交于，则，可得平面所有与平行的直线都与直线平行，与相交的直线与直线异面．
故直线与的位置关系为平行或异面．
故选：．
4．【解答】解：如图，
空间中垂直同一直线的的两条直线与位置关系是平行、相交、或异面．
故选：．
5．【解答】解：如图，
长方体的下底面所在平面为，上底面所在平面为，则，
所在直线为，当所在直线为时，，当所在直线为时，与异面．
由两平面平行的定义可知，与无公共点，而，，则与无公共点，与不相交．
故选：．
6．【解答】解：，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，
对于，，，，，也可能相交，所以不正确；
对于，，，也可能异面，所以不正确；
对于，，有可能，所以不正确；
对于，，，满足直线与平面垂直的性质，所以正确．
故选：．
7．【解答】解：对于①，平面与平面，都相交，则这三个平面有1条或2条或3条交线，故①错误；
对于②，两个平面平行，则两平面无交点，各任取两平面内的一条直线，它们平行或异面，不相交，故②正确；
对于③，直线不平行于平面，则与相交或，
若与相交，则不平行于内的任何一条直线，若，则内有无数条直线与平行，故③错误；
如果，，那么或，故错误．
其中正确命题的个数是1个，
故选：．
二．填空题（共1小题）
8．【解答】解：（1）所在直线与平面的位置关系是平行．
理由：由于，，可得，且，
可得四边形为平行四边形，
即有，平面，
平面，则平面；
（2）平面与平面的位置关系是相交．
由平面与平面有一个交点，由公理3，如果两个平面有一个公共点，
那么它们有且只有一条经过这个点的公共直线．过作的平行线，即为所求交线．