8.5.1直线与直线平行-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章
立体几何初步
8.5.1
直线与直线平行
【课程标准】
借助于长方体理解基本事实4，并能用基本事实4解决直线与直线平行问题
借助长方体抽象出等角定理，能用等角定理解决空间角相等问题
学会借助几何直观解决空间图形问题，了解将空间图形转化为平面图形问题的方法
【知识要点归纳】
平行公理(公理4)
文字语言：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
符号表示：?a∥c.
作用：证明两条直线平行
说明：基本事实4通常叫做空间平行线的传递性
等角定理
文字语言：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．
（2）
作用：判定两个角相等或者互补
【经典例题】
例1．对角线互相垂直的空间四边形各边中点分别为、、、，则四边形是　　．
例2．如图，已知、分别是正方体的棱、的中点，求证：．
3．如图，已知、分别是正方体的棱和棱上的中点，求证：四边形是菱形．
例题解析
一．填空题（共1小题）
1．【解答】解：如图所示．
点、、、分别是四条边的中点，
，，
四边形是平行四边形．
又，，
，
平行四边形是矩形．
故答案为：矩形．
2．【解答】证明：如图，连结．、分别为、中点，
平行且等于．
为平行四边形．
平行且等于．
又平行且等于，
平行且等于．
四边形是平行四边形．
．同理，．
又与方向相同，
．
3．【解答】证明：取棱中点为，连、，
由正方体性质，侧面为正方形，
又、分别为边、中点，
所以，，
从而四边形为平行四边形，
，，
又、分别为棱、中点，
由侧面为正方形，知四边形
为平行四边形，
所以，，
又，，
由平行公理可知，，
从而四边形为平行四边形．
由为正方体，不妨设其棱长为，易
知
而由四边形为平行四边形，从而即为菱形．
【课堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，那么这两个角的大小关系为　　
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．互余
2．已知，，，则等于　　
A．
B．或
C．
D．以上都不对
3．如图，空间四边形的对角线，相等，顺次连接各边中点，，，，则四边形一定是　　
A．矩形
B．正方形
C．菱形
D．空间四边形
4．如图，在四面体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列说法中不正确的是　　
A．，，，四点共面
B．
C．
D．四边形为梯形
二．解答题（共1小题）
5．如图所示，在三棱锥中，，，分别是棱，，上的点，且满足．求证：．
参考答案
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：根据等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行并且方向相同，那么这两个角的相等．
本题的条件是：一个角的两边和另一个角的两边分别对应平行，由于没有指出角的对应两边的方向情况，故两个角可能相等或互补．
故选：．
2．【解答】解：由题意知，，，
根据空间平行公理知，一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个角相等或互补
所以等于或
故选：．
3．【解答】解：连接、，则
、、、分别为各边的中点，
，，，，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形
故选：．
4．【解答】解：由中位线定理，易知，，，．
对于，由公理4易得，所以，，四点共面，故正确；
对于，根据等角定理，得，故正确；
对于，由等角定理，知，，所以，故正确；
由三角形的中位线定理及公理
4知，
所以，所以四边
形为平行四边形，故不正确．
故选：．
二．解答题（共1小题）
5．【解答】证明：在中，
，，
在中，
，，
在中，
，．
又与方向相同，
，
同理，，，
．