8.5.2直线与平面平行-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章
立体几何初步
8.5.2
直线与平面平行
【课程标准】
通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平面平行的判定定理
掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题
掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可以推出线线平行
【知识要点归纳】
1.线面平行的判定定理
表示
定理　　
图形
文字
符号
直线与平面平行的判定定理
平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行
?a∥α
2.线面平行的性质
文字语言
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行
符号语言
a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b
图形语言
【经典例题】
例1．已知正方体中，，分别是它们所在线段的中点，则满足平面的图形个数为　　
A．0
B．1
C．2
D．3
例2．在空间四边形中，，分别为，上的点，且，又，分别是，的中点，则　　
A．平面，且四边形是平行四边形
B．平面，且四边形是梯形
C．平面，且四边形是平行四边形
D．平面，且四边形是梯形
例3．如图，是长方体底面对角线与的交点，求证：平面．
例4．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点是对角线与的交点，是的中点，且，．
（1）求证：平面．
（2）求证：平面平面．
例5．如图，已知异面直线，都与平面平行，且点，，，依次在线段，，，上，求证：四边形是平行四边形．
例题解析
1．【解答】解：①中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；
②中，由于，而平面，平面，故平面；
③中，平移至，可知与面只有一个交点，则与平面不平行；
故选：．
2．【解答】解：如图，
由条件知，，，，且；
，且；
四边形为梯形；
，平面，平面；
平面；
若平面，则，显然不平行；
不平行平面；
选项正确．
故选：．
3．【解答】证明：连交于，连，
，，
为平行四边形，
平面，平面，
平面．
4．【解答】解：（1）在中，、分别是、的中点，
是的中位线，，
平面，面，
面．
（2）平面，平面，
，
底面是菱形，，
面，面，，
平面，
平面，
平面平面．
5．【解答】证明：平面，平面平面，
，
又平面平面，
，
，
同理可证，
四边形为平行四边形
【课堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．若、分别是边、的中点，与过直线的平面的位置关系是　　
A．
B．与相交或
C．或
D．或与相交或
2．如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是（　　）
A．
B．
C．
D．
3．如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，过的平面截三棱锥得到的截面为．则下列结论中不一定成立的是　　
A．
B．
C．平面
D．平面
4．如图，已知为四边形所在平面外一点，，分别为，上的点，若平面，则　　
A．
B．
C．
D．以上均有可能
二．解答题（共2小题）
5．如图所示，已知三棱柱中，若是棱的中点，在棱上是否存在一点，使平面？并证明你的结论．
6．如图，已知正四棱柱中，，，为的中点．
（1）求证：平面；
（2）过作正四棱柱的截面，使得截面平行于平面，在正四棱柱表面应该怎样画线？请说明理由，并求出截面的面积．
参考答案
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：是的中位线，
，
平面过直线，
若平面过直线，符合要求；
若平面不过直线，由线线平行的判定定理．
故选：．
2．【解答】解：对于A，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥EF∥AC，可得直线MN∥平面ABC，能满足；
对于B，作出完整的截面ABDCEF，由正方体的性质可得MN∥BF，可得直线MN∥平面ABC，能满足；
对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥BD，可得直线MN∥平面ABC，能满足；
对于D，作出完整的截面，如下图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足．
故选：D．
3．【解答】解：对于，，分别为，的中点，，
过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，
，，故正确；
对于，过的平面截三棱锥得到的截面为，平面平面，
，故正确；
对于，，平面，平面，平面，故正确；
对于，的位置不确定，与平面有可能相交，故错误．
故选：．
4．【解答】解：平面，平面，平面平面，
，
显然与，均不平行，
故选：．
二．解答题（共2小题）
5．【解答】解：在棱上存在一点为的中点，使平面．
证明：取的中点，的中点，连接、、．
由三角形中位线定理可得：，，即．
平面，平面．
平面．
同理平面．
而，
平面平面．
平面．
6．【解答】解：（1）证明：连接交于，则为的中点，
连接，又为的中点，，
平面，平面，平面；
（2）在平面中，过作直线使得，
延长交于，延长交于，连接，交于，连接，交于，
连接、，则四边形为过且与平面平行的截面．
为的中点，，为的中点，为的中点，
又为的中点，，，
又，、平面，平面平面．
底面正方形的边长为1，，，
又，，则，
截面四边形的面积为．