8.5.3平面与平面平行-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章
立体几何初步
8.5.3
平面与平面平行
【课程标准】
通过直观感知、操作确认，归纳出平面与平面平行的判定定理
掌握平面与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题
掌握平面与平面平行的性质定理，明确线线平行、线面平行、面面平行的相互转化
【知识要点归纳】
1.
平面与平面的位置关系
位置关系
图形语言
符号表示
公共点情况
两平面
平行
?
α∥β
0个
两平面
相交
?
α∩β=l
无数个点
(共线)
2.平面与平面平行的判定定理及推论
定理、
推论
文字语言
图形语言
符号语言
判定
定理
如果一个平面内有两
条①　??直线分
别平行于另一个平面,
那么这两个平面平行
?
如果l?α,m?α,l∩m≠
?,l∥β,m∥β,则α∥β
推论
如果一个平面内有两
条相交直线分别平行
于另一个平面内的两
条直线,则这两个平面
平行
?
如果a?α,b?α,c?β,d
?β,a∩b≠?,a∥c,b∥
d,则α∥β
3.平面与平面平行的性质定理
定理
文字语言
图形语言
符号语言
性质
定理
如果两个平行平面同
时与第三个平面相交,
那么
它们的交线
　????
?
如果α∥β,α∩γ=l,β∩γ=
m,则l∥m
注;两个平面平行的其他性质
（1）已知两个平面平行，则一个平面内的任何直线都平行于另一个平面.
（2）夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等.
（3）经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
（4）两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例.
（5）如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行.
【经典例题】
例1．在正方体中，下列四对截面彼此平行的是　　
A．平面与平面
B．平面与平面
C．平面与平面
D．平面与平面
例2．如图所示，是所在平面外的一点，点，，分别是，，的重心．
（1）求证：平面平面；
（2）求△与的面积之比．
例3．已知正方体中，、分别为对角线、上的点，且．
（1）求证：平面；
（2）若是上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．
例题解析
1．【解答】解：对于，，，
，，
根据面面平行的判定定理得：
面与平面彼此平行，故正确；
对于，与相交，平面与平面相交，故错误；
对于，与相交，平面与平面相交，故错误；
对于，与相交，平面与平面相交，故错误．
故选：．
2．【解答】证明：（1）分别连接，，并延长交，，于点，，，连接，，．
点，分别是，的重心，
，，
．
平面，平面，
平面．
同理，平面．
又，，平面，
平面平面．
解：（2）由（1）知且，
又且，
且．
同理，且，且，
△，
．
3．【解答】（1）证明：连接，并延长与的延长线交于点，
因为四边形为正方形，所以，
故，所以，
又因为，所以，所以．
又平面，平面，
故平面．
（2）当时，能使平面平面．
证明：因为，即有，故，所以．
又，，
又平面，平面，
所以平面，
由，得，平面，平面，
所以平面，
又，
所以平面平面．
【课堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．设，为两个不重合的平面，能使成立的是　　
A．内有无数条直线与平行
B．内有两条相交直线与平行
C．内有无数个点到的距离相等
D．，垂直于同一平面
2．已知为所在平面外一点，平面平面，且交线段，，于点，，，若，则　　
A．
B．
C．
D．
3．已知直线、与平面、、，下列条件中能推出的是　　
A．且
B．且
C．，，
D．，，，
4．下列四个正方体图形中，，，为正方体所在棱的中点，则能得出平面平面的是　　
A．
B．
C．
D．
二．解答题（共3小题）
5．已知四棱锥中，底面为平行四边形，点、、分别在、、上．
（1）若，求证；平面平面；
（2）如图2所示，若满足，，当为何值时，面．
6．如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
（1）求证：BD1∥平面AEC；
（2）若F为CC1的中点，求证：平面AEC∥平面BFD1．
7．如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点，设是上的点，问：当点在什么位置时，平面平面？
参考答案
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：对于，内有无数条直线与平行，如两个相交平面，可以找出无数条平行于交线的直线，所以错误；
对于，内有两条相交直线与平行，根据两平面平行的判定定理知，，所以正确；
对于，内有无数个点到的距离相等，如两个相交平面，可以找出无数条直线平行于平面，所以也能得出无数个点到平面的距离相等，错误；
对于，当、垂直于同一个平面时，与也可以相交，所以错误．
故选：．
2．【解答】解：由图知，平面平面，
平面，
又由平面平面，则，
，即
，
由于相似三角形得到面积比为相似比的平方，
所以．
故选：．
3．【解答】解：选项，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；
选项，，可能推出、
相交，所以不正确；
选项，，，，与
可能相交，故不正确；
选项，，，，，如果推出、
相交，所以不正确；
故选：．
4．【解答】解：在中，如图，连结，，
，，为正方体所在棱的中点，
，，
，，
，，
，，
、平面，、平面，
平面平面．
故选：．
二．解答题（共3小题）
5．【解答】（1）证明：，，
，，
平面，平面，
平面；
，，
平面，平面，
又，平面平面；
（2）解：连接，交于，连接，
取的中点，连接，则，
平面，平面，平面，
取中点，连接，则，
平面，平面，
平面，
又，平面平面，
则平面，此时为的中点．
，．
6．【解答】证明：（1）设AC∩BD＝O，连接OE，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，四边形ABCD是正方形，
∴O是BD中点，
∵E是DD1的中点，∴OE∥BD1，
∵BD1?平面AEC，OE?平面AEC，
∴BD1∥平面AEC．
（2）因为F为CC1的中点，E为DD1的中点，所以CF∥ED1，CF＝ED1，
所以四边形CFD1E为平行四边形，所以D1F∥CE，
又因为EC?平面AEC，D1F?平面AEC，
所以D1F∥平面AEC，
由（1）知BD1∥平面AEC，
又因为BD1∩D1F＝D1，BD1?平面BFD1，D1F?平面BFD1，
所以平面AEC∥平面BFD1．
7．【解答】解：当为的中点时，平面平面．
为的中点，为的中点，．
连接．、分别为、的中点，
．又平面，平面，面．
再由面，且，平面平面．