8.6.1 直线与直线垂直-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章
立体几何初步
8.6.1直线与直线垂直
【课程标准】
通过直观感知，操作确认，归纳出异面直线所成角的概念
会求一些较特殊的异面直线所成的角
掌握两直线垂直的概念，会判定两直线垂直
【知识要点归纳】
1．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b．
(3)范围：设θ为异面直线a与b所成的角，则0°<θ≤90°.
2.空间两直线所成的角
（1）范围：两直线所成角的取值范围是
（2）平行：规定所成角为
（3）垂直：，两直线垂直包括相交垂直和异面垂直
【经典例题】
例1．如图所示，在正方体中．
（1）求与所成角的大小；
（2）若，分别为，的中点，求与所成角的大小．
例2．空间四边形中，，且异面直线与所成的角为，、分别为和的中点，则异面直线和所成角的大小是　　．
例题解析
1．【解答】解：（1）如图，连接、，
多面体是正方体，
四边形为平行四边形，可得，
由此得到就是与所成的角．
又，可得
为正三角形，
，即与所成角为．
（2）如图，连接，
，且，
四边形是平行四边形，可得，
与所成的角就是与所成的角．
又是的中位线，
．
，
，
即与所成角的大小为．
2．【解答】解：取的中点，
连接与，则与（异面直线）所成角为，
，，
或，
而，
则，
或．
与所成的角是或．
故答案为：或．
【课堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．在四面体中，，分别为，的中点，，，则异面直线与所成角的大小为　　
A．
B．
C．
D．
2．如图，在空间四边形中，，，，分别是，的中点，若，则异面直线与所成角的大小为　　
A．
B．
C．
D．
3．如图所示，在长方体，若，，分别是，的中点，则下列结论中不成立的是　　
A．与垂直
B．平面
C．与所成的角为
D．平面
4．如图，在直三棱柱中，为的中点，，，，则异面直线与所成的角为　　
A．
B．
C．
D．
二．解答题（共1小题）
5．已知正方体中，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
参考答案
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：取中点，连结、、，
在四面体中，，分别为，的中点，，，
，，
，且，是异面直线与所成角，
，且，，
异面直线与所成角的大小为．
故选：．
2．【解答】解：如图所示，取的中点，连接，．
则，，
，，
或其补角即为异面直线与所成角．
在中，，
．
异面直线与所成角的大小为．
故选：．
3．【解答】解：连，则交于，又为中点，
可得，由平面，可得，可得，故正确；
由，平面，可得平面，故正确；
与所成角就是，的长度不确定，的大小不确定，故错误；
由，分别是，的中点，得，可得平面，故正确．
故选：．
4．【解答】解：取的中点，连接、和，则，，
即为异面直线与所成的角．
，，，
，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
解得，，
，
在△中，由余弦定理知，，
，，
，
故选：．
二．解答题（共1小题）
5．【解答】解：（1）由题意，是正方体，是的中点，连接交于，则是的中点，
连接，
在三角形中，，
平面．
平面．
（2）由（1）可知，异面直线与所成角即为与所成角，
即为或补角，
，
，
是直角三角形．
设，则，，
．
．