8.6.2 直线与平面垂直-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义

第八章
立体几何初步
8.6.2
直线与平面垂直
【课程标准】
领会直线与平面垂直的定义，了解直线与平面所成角的概念
掌握直线与平面垂直的判定定理和性质定理
会用相关定义、定理解决直线与平面垂直问题
【知识要点归纳】
1.直线与平面垂直
定义
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
l⊥α
有关
概念
直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．它们唯一的公共点P叫做垂足
图示
及画法
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
2.直线与平面垂直的判定定理
文字
语言
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直
图形
语言
符号
语言
l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，a∩b＝P?l⊥α
3.直线与平面所成的角
(1)定义：如图，一条直线PA和一个平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点P向平面α引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
(2)规定：一条直线垂直于平面，称它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，称它们所成的角是0°.
(3)范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°．
4.直线与平面垂直的性质定理
文字语言
垂直于同一个平面的两条直线平行
符号语言
?a∥b
图形语言
作用
①线面垂直?线线平行
②作平行线
5.线面距与面面距
(1)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离．
(2)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离
【经典例题】
例1．已知棱长为1的正方体中，是的中点，则直线与平面所成角的正切值是　　
A．
B．
C．
D．
例2．如图所示，已知空间四边形的边，，于点，于点，求证：平面．
例3．三棱锥中所有棱长都相等且为，求与底面所成角的余弦值．
例4．如图，四棱锥中，底面，，，，，是的中点．求证：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）平面．
例题解析
1．【解答】解：以为原心，以为轴，以为轴，以为轴，
建立空间直角坐标系，
正方体的棱长为1，是的中点，
，0，，，，，，1，，，0，，
，，，，1，，，0，，
设平面的法向量，，．
由，可得，0，，
设直线与平面与平面所成的角为，
则．
则直线与平面所成角的正切值是．
故选：．
2．【解答】证明：取中点，连接、，
，，
，，
又、平面，
平面，
平面，，
又，且平面，，
平面，
平面，，
由已知条件，，．
平面．
3．【解答】解：如图所示，
三棱锥中所有棱长都相等且为，可得，
作平面，垂足为，
连接，并延长交于点，
是与平面所成的角，
且是正三角形的中心；
，
，
，
即侧棱与底面所成角的余弦值为：．
4．【解答】证明：（Ⅰ）底面，，又，，
故平面．
又平面，．
（Ⅱ）由题意：，
平面，从而．
又，且，
，从而．
又为之中点，．
由（Ⅰ）知：，平面，从而．
又，
故平面．
【课堂检测】
一．选择题（共4小题）
1．下列说法中正确的个数是　　
①若直线与平面内的一条直线垂直，则；
②若直线与平面内的两条直线垂直，则；
③若直线与平面内的两条相交直线垂直，则；
④若直线与平面内的任意一条直线垂直，则．
A．4
B．2
C．3
D．1
2．设，是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是　　
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
3．如图所示，平面，，在图中与垂直的直线有　　
A．5条
B．2条
C．3条
D．4条
4．若斜线段是它在平面内的射影长的2倍，则与所成的角为　　
A．
B．
C．或
D．或
二．解答题（共2小题）
5．如图，在三棱锥中，为直角三角形，，，，且，平面，．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小．
6．如图，在三棱锥中，，平面，点在和上的射影分别为、．
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的余弦值．
参考答案
一．选择题（共4小题）
1．【解答】解：根据线面垂直的判定定理可知当平面内有两条相交直线都与垂直时，直线与平面垂直，
故①错误，②错误，③正确，④正确．
故选：．
2．【解答】解：对于，若，，则可能在内；故错误；
对于，若，，根据线面垂直的性质定理以及平行线的性质可得；故正确；
对于，若，，则与平行或者异面；故错误；
对于，若，，则与平行、相交或者异面；故错误；
故选：．
3．【解答】解：平面，平面，
，
又，，
平面，
因此，平面中的4条直线、、、都与垂直．
故选：．
4．【解答】解：根据线面角的定义，可得与平面所成角的余弦值为；
且，，
所以与所成的角为．
故选：．
二．解答题（共2小题）
5．【解答】（1）证明：，；
又平面，平面，；
又，平面，
又平面，；
又，，平面．
（2）解：由（1）知平面，
所以是直线与平面所成的角，
在中，，，
所以，
即与平面所成的角为．
6．【解答】证明：（1）平面，平面，
，
，即，，
平面．
平面，．
，，平面，
平面，，
又，，
平面，平面，
．
解：（2）以为原点，为轴，为轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，
，0，，，0，，，1，，
设，，，，则，，，，，，，，
，1，，，，，
点在上的射影，，解得，
，，，，
设直线与平面所成角为，平面的法向量，0，，
则，
．
直线与平面所成角的余弦值为．