第13章 全等三角形 13.3.2 等腰三角形的判定 同步练习 2021-2022学年华东师大版八年级数学上册（word版含答案）

13.3.2
等腰三角形的判定　　　　　　　　　　　　　　　　　
一、选择题
1.下列条件中,能判定△ABC为等腰三角形的是
(　　)
A.∠A=40°,∠B=65°
B.∠A=80°,∠B=50°
C.AB=3,AC=2,BC=4
D.AB=3,BC=7,△ABC的周长为15
2.下列推理中,错误的是
(　　)
A.∵∠A=∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形
B.∵AB=AC,∠B=∠C,∴△ABC是等边三角形
C.∵∠A=60°,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形
D.∵AB=AC,∠B=60°,∴△ABC是等边三角形
3.下面几个三角形中,不可能是等腰三角形的是
(　　)
A.有两个内角分别为75°,75°的三角形
B.有两个内角分别为110°和40°的三角形
C.有一个外角为100°,一个内角为50°的三角形
D.有一个外角为80°,一个内角为100°的三角形
4.如图1所示,E是等边三角形ABC的边AC上的点,∠1=∠2,BE=CD,则下列对△ADE形状的判断,正确的是
(　　)
A.△ADE是腰和底边不相等的等腰三角形
B.△ADE是等边三角形
C.△ADE是不等边三角形
D.不能确定△ADE的形状
图1
5.如图2,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别是△ABC,△BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有
(　　)
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
图2
6.如图3,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE,AC=5,BC=3,则BD的长为
(　　)
A.1
B.1.5
C.2
D.2.5
图3
7.如图4,在△MNP中,∠P=60°,MN=NP,MQ⊥PN,垂足为Q,延长MN至点G,使NG=NQ.若△MNP的周长为12,MQ=a,则△MGQ的周长是
(　　)
A.8+2a
B.8+a
C.6+a
D.6+2a
图4
8.如图5,正三角形ABC的三边表示三面镜子,BP=AB=1,一束光线从点P发射至BC上的点R处,且∠BPR=60°.光线依次经BC反射,AC反射,AB反射……一直继续下去.当光线第一次回到点P时,这束光线所经过的路线的总长为
(　　)
A.6
B.9
C.18
D.27
图5
二、填空题
9.如图6,△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转60°得到△AB'C',连结BB',则△ABB'是　　　　三角形.?
图6
10.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,则△ABC的形状是　　　　三角形.?
11.如图7,在△ABC中,∠ABC与∠ACB的平分线交于点O,过点O作DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若AB=5,AC=4,则△ADE的周长为　　　　.?
图7
12.在△ABC中,如果只给出条件∠A=60°,那么还不能判定△ABC是等边三角形,给出下列四种说法:①若AB=AC,则△ABC是等边三角形;②若∠B=∠C,则△ABC是等边三角形;③若D是BC的中点,且AD⊥BC,则△ABC是等边三角形;④若AB,AC边上的高相等,则△ABC是等边三角形.其中正确的说法是　　　　(填序号).?
13.如图8,直线a,b相交于点O,∠1=50°,A是直线a上的一个定点,点B在直线b上运动.若以点O,A,B为顶点的三角形是等腰三角形,则∠OAB的度数是　　　　　　　　　　　.?
图8
三、解答题
14.如图9,在△ABC中,AB=AC,点M,N均在BC所在的直线上,且BM=CN.求证:△AMN是等腰三角形.
图9
15.如图10,在△ABC中,AB=AC,D为BC边上一点,∠B=30°,∠DAB=45°.
(1)求∠DAC的度数;
(2)求证:AB=CD.
图10
16.如图11,△ABC是等边三角形,BD⊥AC,AE⊥BC,垂足分别为D,E.AE,BD相交于点O,连结DE.判断△CDE的形状,并说明理由.
图11
17.如图12所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,且BD=CE,BE=CF.
(1)求证:△DEF是等腰三角形;
(2)猜想:当∠A满足什么条件时,△DEF是等边三角形?说明理由.
图12
18.在图13的各图中,AD平分∠BAC,交BC于点D.根据关于各图的其他条件,找出图①~图④中的等腰三角形.
图13
(1)如图①,CE∥AB,CE交AD的延长线于点E,则　　　　是等腰三角形;?
(2)如图②,DE∥AC,DE交AB于点E,则　　　　是等腰三角形;?
(3)如图③,CE∥AD,CE交BA的延长线于点E,则　　　　是等腰三角形;?
(4)如图④,EF∥AD,EF与AB相交于点G,与CA的延长线相交于点E,与BC相交于点F,则　　　　是等腰三角形.?
答案
1.B
2.[解析]
B　由AB=AC,∠B=∠C,可知△ABC是等腰三角形,不能判定△ABC是等边三角形.
3.B　4.B　5.A　6.A　7.D　8.B
9.[答案]
等边
[解析]
因为△ABC以点A为旋转中心,按逆时针方向旋转60°得到△AB'C',所以AB=AB',∠BAB'=60°,所以△ABB'是等边三角形.
10.[答案]
等腰直角
[解析]
∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A∶∠B∶∠C=1∶1∶2,∴∠A=∠B=45°,∠C=90°,∴△ABC是等腰直角三角形.
11.[答案]
9
[解析]
由BO是∠ABC的平分线,DE∥BC可得∠DBO=∠DOB,则BD=DO.同理可得EO=EC,所以△ADE的周长=AD+AE+DE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=5+4=9.
12.①②③④
13.[答案]
50°或80°或65°或25°
[解析]
要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论:
①若OB1=AB1,
则∠OAB1=∠1=50°.
②若OA=AB2,则∠OAB2=180°-2×50°=80°;
③若OA=OB3,则∠OAB3=∠OB3A=×(180°-50°)=65°;
若OA=OB4,则∠OAB4=∠OB4A=∠1=25°.
综上所述,∠OAB的度数是50°或80°或65°或25°.
14.证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABC+∠ABM=180°,∠ACB+∠ACN=180°,
∴∠ABM=∠ACN.
在△ABM和△ACN中,
∵AB=AC,∠ABM=∠ACN,BM=CN,
∴△ABM≌△ACN(S.A.S.),∴AM=AN,
∴△AMN是等腰三角形.
15.解:(1)∵AB=AC,∴∠C=∠B=30°.
∵∠C+∠BAC+∠B=180°,
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.
∵∠DAB=45°,
∴∠DAC=∠BAC-∠DAB=120°-45°=75°.
(2)证明:∵∠B=30°,∠DAB=45°,
∴∠ADC=∠B+∠DAB=75°.
又∵∠DAC=75°,
∴∠DAC=∠ADC,∴CD=AC.
又∵AB=AC,∴AB=CD.
16.解:△CDE是等边三角形.
理由:∵△ABC是等边三角形,
∴∠C=60°,AB=BC=AC.
又∵BD⊥AC,AE⊥BC,
∴CE=BC,CD=AC,
∴CE=CD,∴△CDE是等边三角形.
17.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.
在△DBE和△ECF中,∵BD=CE,∠B=∠C,BE=CF,∴△DBE≌△ECF(S.A.S.),
∴DE=EF,∴△DEF是等腰三角形.
(2)当∠A=60°时,△DEF是等边三角形.
理由:∵△DBE≌△ECF,
∴∠EDB=∠FEC.
当∠A=60°时,∠B=∠C=60°,
∴∠EDB+∠BED=120°,
∴∠FEC+∠BED=120°,
∴∠DEF=60°.由(1)知DE=EF,
∴△DEF是等边三角形.
18.(1)△ACE　(2)△AED
(3)△ACE　(4)△AEG