14.1
1.第2课时
勾股定理的验证及简单应用
一、选择题
1.如图1,△ABD的面积是
( )
A.18
B.30
C.36
D.60
图1
2.如图2,在等边三角形ABC中,AD是BC边上的高,BC=2,则AD的长为
( )
A.1
B.2
C.
D.
图2
3.小明想知道学校旗杆的高度,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多2
m,当他把绳子的下端拉开8
m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高度为
( )
A.15
m
B.12
m
C.17
m
D.16
m
4.如图3,在水塔O的东北方向32
m处有一抽水站A,在水塔的东南方向24
m处有一建筑工地B,若在A,B之间建一条直水管,则水管的长为
( )
A.45
m
B.40
m
C.50
m
D.56
m
图3
5.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,若a+b=14
cm,c=10
cm,则Rt△ABC的面积为
( )
A.24
cm2
B.36
cm2
C.48
cm2
D.60
cm2
6.[2019·河南改编]
如图4,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,AD=4,BC=3.分别以点A,C为圆心,大于AC长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BE交AD于点F,交AC于点O.若O是AC的中点,则CD的长为
( )
A.
B.4
C.3
D.
图4
二、填空题
7.如图5,为测量某池塘最宽处A,B两点间的距离,在池塘边定一点C,使∠BAC=90°,并测得AC的长为18
m,BC的长为30
m,则池塘最宽处A,B两点间的距离为 .?
图5
8.如图6是一个外轮廓为长方形的机器零件平面示意图,根据图中标出的尺寸(单位:mm),计算两圆孔中心A和B的距离为 mm.?
图6
9.把一根长为10
cm的铁丝弯成一个直角三角形的两条直角边,如果要使三角形的面积是9
cm2,那么还要准备一根长为 的铁丝才能按要求把三角形做好.?
10.在如图7所示的图形中,所有的三角形都是直角三角形,所有的四边形都是正方形,其中最大的正方形的边长为7
cm,则正方形A,B,C,D的面积之和是 .?
图7
11.[2019·邵阳]
公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”.如图8,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是 .?
图8
12.如图9,滑竿在机械槽内运动,∠MON为直角,已知滑竿AB长2.5米,顶端A在OM上运动,量得滑竿下端B与点O的距离为1.5米,当端点B向右移动0.5米时,滑竿顶端A下滑_____米.
图9
三、解答题
13.[2019·巴中]
如图10,将等腰直角三角尺按如图10所示放置,直角顶点C在直线m上,分别过点A,B作AE⊥直线m于点E,BD⊥直线m于点D.
(1)求证:CE=BD;
(2)若设△AEC的三边长分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.
图10
14.如图11,某学校A与直线公路BD相距300米,且与该公路上一个车站D相距500米.现要在公路边建一个超市C,使之与学校A及车站D的距离相等,那么该超市与车站D的距离是多少米?
图11
15勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其中的“面积法”给了李明灵感.他惊喜地发现:当两个全等的直角三角形按如图12①所示方式摆放时,可以利用“面积法”来证明勾股定理,过程如下:
如图①,∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
证明:连结DB,过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F,则DF=b-a,
S四边形ABCD=S△ADC+S△ABC=b2+ab,
S四边形ABCD=S△ADB+S△BCD=c2+a(b-a),
∴b2+ab=c2+a(b-a),
化简得a2+b2=c2.
请参照上述证法,利用“面积法”完成如图②的勾股定理的证明.
如图②,∠DAB=90°,求证:a2+b2=c2.
图12
答案
1.B 2.D
3.[解析]
A 设旗杆的高度为x
m,则绳子的长为(x+2)m,由勾股定理,得(x+2)2=x2+82,
解得x=15.
4.[解析]
B 由题意知∠AOB=90°,由勾股定理,得AB===40(m).
5.A
6.[解析]
A 如图,连结FC,则AF=FC.
∵AD∥BC,∴∠FAO=∠BCO.
在△FOA与△BOC中,
∵∠FAO=∠BCO,OA=OC,∠AOF=∠COB,
∴△FOA≌△BOC(A.S.A.),
∴AF=BC=3,
∴FC=AF=3,FD=AD-AF=4-3=1.
∵在Rt△FDC中,∠D=90°,
∴CD2+DF2=FC2,
∴CD2+12=32,
∴CD=.故选A.
7.24
m 8.100 9.8
cm
10.[答案]
49
cm2
[解析]
如图.∵a2+b2=x2,c2+d2=y2,
∴a2+b2+c2+d2=x2+y2=72=49(cm2).
11.[答案]
4
[解析]
∵勾a=6,弦c=10,∴股b==8,∴小正方形的边长=8-6=2,
∴小正方形的面积=22=4.
12.[答案]
0.5
[解析]
∵AB=CD=2.5,OB=1.5,∠O=90°,
∴OA===2.
∵BD=0.5,
∴OD=OB+BD=1.5+0.5=2,
∴在Rt△COD中,OC===1.5,
∴AC=OA-OC=0.5,
∴滑竿顶端A下滑了0.5米.
13.证明:(1)因为△ABC是等腰直角三角形,
所以∠ACB=90°,AC=BC,
所以∠ACE+∠BCD=90°.
因为AE⊥EC,所以∠CAE+∠ACE=90°,
所以∠BCD=∠CAE.
因为BD⊥CD,所以∠AEC=∠CDB=90°,
所以△AEC≌△CDB(A.A.S.),
所以CE=BD.
(2)因为△AEC≌△CDB,△AEC的三边长分别为a,b,c,
所以BD=CE=a,CD=AE=b,BC=AC=c,
所以S梯形=(AE+BD)·ED=(b+a)(a+b)=(a+b)2.
又因为S梯形=ab+c2+ab,
所以(a+b)2=ab+c2+ab,
整理可得a2+b2=c2,故勾股定理得证.
14.解:设超市C与车站D相距x米,
则BC=(BD-x)米.
在Rt△ABD中,BD===400(米),
所以BC=(400-x)米.
因为该超市到学校A及车站D的距离相等,所以AC=CD=x米.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2,
即x2=3002+(400-x)2,
解得x=312.5,
因此,该超市与车站D的距离是312.5米.
15.证明:如图,连结BD,过点B作BF⊥DE交DE的延长线于点F,则BF=b-a.
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab,
S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a(b-a),
∴ab+b2+ab=ab+c2+a(b-a),
∴a2+b2=c2.14.1
1.第1课时
探索直角三角形三边的关系
一、选择题
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,那么BC的长是
( )
A.4
B.5
C.6
D.8
2.在△ABC中,∠A=90°,则下列式子中不成立的是
( )
A.BC2=AB2+AC2
B.AB2=AC2+BC2
C.AB2=BC2-AC2
D.AC2=BC2-AB2
3.如图1,三个正方形中,S1=25,S2=144,则S3为
( )
A.169
B.13
C.9
D.不能确定
图1
4.如图2,点E在正方形ABCD内,且∠AEB=90°,AE=5,BE=12,则阴影部分的面积是
( )
A.48
B.60
C.139
D.80
图2
5.如图3,在△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC.已知AB=5,AD=3,则BC的长为
( )
A.5
B.6
C.8
D.10
图3
6.如图4,已知网格图中每个小正方形的边长均为1,则△ABC的三边长a,b,c的大小关系是
( )
A.a
B.aC.cD.c图4
7.如图5,在△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=3,将△ABC绕点A逆时针旋转,使点C落在线段AB上的点E处,点B落在点D处,则B,D两点间的距离为
( )
A.
B.
C.3
D.
图5
二、填空题
8.在Rt△ABC中,斜边AB=1,则AB2+BC2+AC2的值是 .?
9.一个面积为60
cm2的直角三角形的一直角边长为15
cm,则其斜边长为 .?
10.[2020·绥化]
在Rt△ABC中,∠C=90°,若AB-AC=2,BC=8,则AB的长是 .?
11.如图6,某会展中心在会展期间准备在高5
m,长13
m,宽2
m的楼梯上铺地毯,已知地毯每平方米18元,请你帮助计算一下,铺完这个楼梯至少需要 元钱.?
图6
三、解答题
12.求出如图7所示的直角三角形中未知边AB的长度.
图7
13.如图8,已知在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15,DB=9.
(1)求CD的长;
(2)求AD的长.
图8
14.如图9,已知AB=12,AB⊥BC于点B,AB⊥AD于点A,AD=5,BC=10,E是CD的中点,求AE的长.
图9
15.如图10,将边长为8
cm的正方形纸片ABCD折叠,使点D落在BC边的中点E处,点A落在点F处,折痕为MN,求线段CN的长.
图10
16.阅读如图11所示的情景对话,然后解答问题:
图11
(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华提出的命题“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题(直接给出结论,不必证明);
(2)如图12,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是奇异三角形,求a∶b∶c.
图12
答案
1.[解析]
C 由勾股定理,得BC===6.
2.B 3.A 4.C
5.[解析]
C ∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,BD=CD.
∵AB=5,AD=3,
∴在Rt△ABD中,根据勾股定理,得BD==4,∴BC=2BD=8.故选C.
6.C
7.[解析]
A 如图,连结BD.
因为∠C=90°,AC=4,BC=3,
所以AB===5.
由旋转的性质,知AE=AC=4,DE=BC=3.
又因为AB=5,
所以BE=1.
又∠DEA=∠C=90°,所以∠DEB=90°,
所以BD===.
故选A.
8.2 9.17
cm
10.[答案]
17
[解析]
设AB=x,则AC=x-2.由勾股定理,得x2-(x-2)2=82,解得x=17.
11.[答案]
612
[解析]
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===12(m),地毯面积为(12+5)×2=34(m2),费用至少为34×18=612(元).
12.解:(1)在Rt△ABC中,AB===16.
(2)在Rt△ABC中,AB===25.
13.解:(1)∵CD⊥AB,∴∠CDB=∠CDA=90°.
在Rt△CDB中,根据勾股定理,得CD2=BC2-DB2=152-92=144.
∵CD>0,∴CD=12.
(2)在Rt△CDA中,根据勾股定理,得AD2=AC2-CD2=202-122=256.
∵AD>0,∴AD=16.
14.解:如图,延长AE交BC于点F.
∵AB⊥BC,AB⊥AD,
∴AD∥BC,
∴∠D=∠C,∠DAE=∠CFE.
∵E是CD的中点,∴DE=CE.
在△AED与△FEC中,
∵∠DAE=∠CFE,∠D=∠C,DE=CE,
∴△AED≌△FEC(A.A.S.),
∴AE=FE,AD=FC.
∵AD=5,BC=10,∴BF=5.
在Rt△ABF中,
AF===13,
∴AE=AF=6.5.
15.解:设CN=x
cm,
则DN=(8-x)cm.
由折叠的性质知EN=DN=(8-x)cm.
因为E为BC的中点,
所以EC=BC=4
cm.
在Rt△ECN中,由勾股定理,得EN2=EC2+CN2,
即(8-x)2=16+x2,
解得x=3.
即线段CN的长为3
cm.
16.解:(1)真命题.
(2)在Rt△ABC中,a2+b2=c2.
∵c>b>a>0,
∴2c2>a2+b2,2a2∴若Rt△ABC为奇异三角形,则一定有2b2=a2+c2,
∴2b2=a2+(a2+b2),
∴b2=2a2,
解得b=a.
∵c2=a2+b2=3a2,
∴c=a,
∴a∶b∶c=1∶∶.