14.2第1课时
勾股定理在生活中的应用
一、选择题
1.如图1,在城墙AB的外侧有一条宽为5
m的护城河BC,士兵甲将一长为13
m的云梯从河的对岸恰好搭在城墙的顶部,则该城墙的高为
( )
A.8
m
B.10
m
C.18
m
D.12
m
图1
2.如图2,王大伯家屋后有一块长12
m、宽8
m的长方形空地,他在以长边BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可能为
( )
A.9
m
B.7
m
C.5
m
D.3
m
图2
3.将一根24
cm长的筷子置于底面直径为15
cm,高8
cm的圆柱形水杯中,如图3所示,设筷子露在杯子外面的长度为h
cm,则h的取值范围是
( )
A.h≤17
B.h≥8
C.15≤h≤16
D.7≤h≤16
图3
二、填空题
4.如图4,在一次强风中,一棵大树在离地面3米处折断,树的顶端落在离树干底部4米远处,那么这棵树折断之前的高度是_______米.?
图4
5.如图5,一只蚂蚁沿棱长为1的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它爬行的最短路程为_______.?
图5
6.如图6所示,一文物C被探明位于A点地下24
m处,由于A点正下方有障碍物,考古人员不能垂直下挖,他们从距离A点10
m的B处斜着挖掘,那么要找到文物至少要挖_______m.?
图6
7.[2019·南京]
无盖圆柱形杯子的展开图如图7所示,将一根长为20
cm的细木筷斜放在该杯子内,木筷露在杯子外面的部分至少有_______cm.?
图7
8.我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何.”题意是:如图8(示意图),把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.问题中葛藤的最短长度是_______尺.?
图8
三、解答题
9.如图9,为了测量池塘的宽度DE,在池塘周围的平地上选择了A,B,C三点,且A,D,E,C四点在同一条直线上,∠C=90°,已测得AB=100
m,BC=60
m,AD=20
m,EC=10
m,求池塘的宽度DE.
图9
10.若规定小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时,如图10,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A的正前方60米的C点,过了5秒,测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100米.
(1)求B,C间的距离;
(2)这辆小汽车超速了吗?请说明理由.
图10
11.如图11,正四棱柱的底面边长为8
cm,侧棱长为12
cm,一只蚂蚁欲从点A出发,沿棱柱表面到点B处吃食物,求它所爬行的最短路径长.
图11
12.在某小区的A处有一个凉亭,道路AB,BC,AC两两相交于点A,B,C,并且道路AB与道路BC互相垂直,如图12所示.已知点A,B之间的距离为20
m.若有两个小朋友在与点B相距10
m的点D处玩耍,玩累之后他们分别沿不同的路线D→B→A,D→C→A到凉亭A处喝水休息,已知路线D→B→A与D→C→A的长度相等,求AC的长.
图12
13.如图13,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3.在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形.要求:在两个备用图中分别画出两种与示例不同的拼接方法,并在图中标明拼接的直角三角形的三边长.
图13
答案
1.[解析]
D 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,
∴AC2=BC2+AB2,
∴AB2
=AC2-BC2=132-52=144.
故AB=12
m.
2.D 3.D
4.[答案]
8
[解析]
由勾股定理得,折断的一段长为=5(米),所以这棵树折断之前的高度为3+5=8(米).
5.
6.[答案]
26
[解析]
BC===26(m).
7.[答案]
5
[解析]
由题意可得,杯子内的筷子长度至多为=15(cm),则筷子露在杯子外面的长度至少为20-15=5(cm).故答案为5.
8.25
9.解:在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC===80(m),
所以DE=AC-AD-EC=80-20-10=50(m).
故池塘的宽度DE为50
m.
10.解:(1)在Rt△ABC中,已知AC=60米,AB=100米,且AB为斜边,
则根据勾股定理,得BC===80(米).
(2)这辆小汽车没有超速.
理由:∵80÷5=16(米/秒),
又16米/秒=57.6千米/时,57.6<70,
∴这辆小汽车没有超速.
11.解:分两种情形讨论.
若按如图①所示方式展开,则AB===;
若按如图②所示方式展开,则AB===20.
∵20=<,
∴蚂蚁爬行的最短路径长是20
cm.
答:它所爬行的最短路径长为20
cm.
12.解:设AC的长为x
m,则DC的长为(30-x)m,则BC的长为(40-x)m.
在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,
即202+(40-x)2=x2,
解得x=25.
答:AC的长是25
m.
13.[解析]
要在Rt△ABC的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形,关键是腰与底边的确定;要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长,这需要用到勾股定理的知识.
解:答案不唯一,如图.14.2第2课时
勾股定理在数学中的应用
一、选择题
1.如果直角三角形的斜边长为20
cm,两条直角边长之比为3∶4,那么这个直角三角形的周长为
( )
A.27
cm
B.30
cm
C.40
cm
D.48
cm
2.如图1是一张直角三角形的纸片,两直角边AC=6
cm,BC=8
cm,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为
( )
A.4
cm
B.5
cm
C.6
cm
D.10
cm
图1
3.如图2,在2×2的正方形网格中,每个小正方形的边长均为1,点A,B,C均为格点,以点A为圆心,AB长为半径作弧,交网格线于点D,则CD的长为( )
A.
B.
C.
D.2-
图2
4.如图3,每个小正方形的边长均为1,A,B,C是小正方形的顶点,则∠ABC的度数为
( )
A.90°
B.60°
C.45°
D.30°
图3
5.在△ABC中,D是BC上一点,且BD=5,AB=13,AD=12,AC=15,则△ABC的面积为
( )
A.30
B.42
C.84
D.100
6.如图4,在5×5的正方形网格中,从格点A,B,C,D中任取三点,所构成的三角形是直角三角形的有
( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
图4
二、填空题
7.如图5,O为数轴的原点,A,B两点分别对应实数-3,3,作腰长为4的等腰三角形ABC,连结OC,以O为圆心,OC长为半径画弧交数轴正半轴于点M,则点M对应的实数为 .?
图5
8.如图6,在四边形ABCD中,AB∥DC,∠B=90°,连结AC,∠DAC=∠BAC.若BC=4
cm,AD=5
cm,则AB= cm.?
图6
9.如图7,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,过顶点A的直线DE∥BC,∠ABC,∠ACB的平分线分别交DE于点E,D.若AC=6,BC=10,则DE的长为 .?
图7
10.如图8,在四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=3,CD=1,∠A=90°,则四边形ABCD的面积为 .
图8
11.在直线l上依次摆放着五个正方形,如图9所示,已知倾斜放置的两个正方形的面积分别是3,5,正放置的三个正方形的面积依次是S1,S2,S3,则S1+2S2+S3= .?
图9
三、解答题
12.[2020·贵阳]
如图10,在4×4的正方形网格中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形.
(1)在图①中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;
(2)在图②中,画一个直角三角形,使它的一边长是有理数,另外两边长是无理数;
(3)在图③中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数.
图10
13.在Rt△ABC中,∠ACB=90°.如果以此直角三角形的三边为边分别作等边三角形(如图11),其面积分别为S1,S2,S3,那么S1,S2,S3之间有什么关系?
图11
14.如图12,在四边形ABCD中,∠BAD=∠B=∠C=90°,AD=BC=20,AB=DC=16.将四边形ABCD沿直线AE折叠,使点D落在BC边上的点F处.
(1)求BF的长;
(2)求EC的长.
图12
15.如图13,已知D,F是△ABC的边BC上的两点,E是边AC上一点,∠BFE=∠FEA,AB=13,AD=12,BD=5,AE=10,DF=4.
(1)求证:AD⊥BC;
(2)求△ABC的面积.
图13
16.
如图14,在等腰三角形ABC中,AB=AC,其底边长为8
cm,腰长为5
cm,一动点P从点B出发沿边BC向点C以0.25
cm/s的速度移动,请你探究:当点P运动多长时间时,点P与顶点A的连线PA与腰垂直.
图14
答案
1.[解析]
D 设两条直角边长分别为3x
cm,4x
cm(x>0).根据勾股定理,得(3x)2+(4x)2=202,解得x=4,则两条直角边的长分别为12
cm,16
cm,所以这个直角三角形的周长为48
cm.
2.B
3.[解析]
D 连结AD,如图所示.
∵AD=AB=2,∴DE==,
∴CD=2-.
4.C 5.C
6.[解析]
C 从点A,B,C,D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能,其中只有△ABD,△ADC,△ABC是直角三角形.
7.[答案]
[解析]
∵△ABC为等腰三角形,OA=OB=3,∴OC⊥AB.
在Rt△OBC中,OC===.
∵以O为圆心,OC长为半径画弧交数轴正半轴于点M,
∴OM=OC=,∴点M对应的实数为.
8.8 9.14
10.[答案]
2+
[解析]
如图,连结BD.
在Rt△BAD中,
∵AB=AD=2,
∴BD2=AB2+AD2=8,
解得BD=.
在△BCD中,∵BD2+CD2=8+1=9=BC2,
∴△BCD是直角三角形,且∠BDC=90°,
故S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD=×2×2+××1=2+.
11.8
12.解:(1)如图①,△ABC即为所求.
(2)如图②,△ABC即为所求.(答案不唯一)
(3)如图③,△ABC即为所求.(答案不唯一)
13.解:∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,
∴AB2=AC2+BC2.
根据等边三角形面积计算公式得S3=AB2,
S1=AC2,S2=BC2,
∴S1+S2=(AC2+BC2)=AB2=S3,
故S1+S2=S3.
14.解:(1)∵△AFE是由△ADE折叠得到的,
∴AF=AD=20.
在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF===12.
(2)∵△AFE是由△ADE折叠得到的,
∴EF=ED.
设EC=x,则EF=ED=16-x.
由(1)得FC=BC-BF=20-12=8.
在Rt△EFC中,由勾股定理,得EF2=FC2+EC2,
即(16-x)2=82+x2,解得x=6,即EC=6.
15.解:(1)证明:∵AB=13,AD=12,BD=5,
∴BD2+AD2=52+122=169=132=AB2,
∴△ABD是直角三角形,且∠ADB=90°,
∴AD⊥BC.
(2)∵∠BFE=∠FEA,
∴∠CFE=∠CEF,∴CF=CE.
设CE=CF=x.
∵∠ADC=90°,∴AD2+CD2=AC2,
即122+(x+4)2=(x+10)2,
解得x=5,
∴BC=5+4+5=14,
∴S△ABC=BC·AD=84.
16.解:过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB=AC,BC=8
cm,
∴BD=CD=BC=4
cm.
在Rt△ABD中,由勾股定理,得AD==3(cm).
分两种情况:(1)如图①,设点P运动t1
s时,PA⊥AC.
∵PA2=PD2+AD2=PC2-AC2,
∴PD2+32=(PD+4)2-52,
∴PD=2.25(cm),
∴BP=4-2.25=1.75(cm),
∴0.25t1=1.75,解得t1=7.
(2)如图②,设点P运动t2
s时,PA⊥AB.
同理可得PD=2.25
cm,
∴BP=4+2.25=6.25(cm),
∴0.25t2=6.25,解得t2=25.
综上所述,当点P运动的时间为7
s或25
s时,点P与顶点A的连线PA与腰垂直.
