7.2.4诱导公式（第1课时）教案-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册
文档属性
| 名称 | 7.2.4诱导公式（第1课时）教案-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 199.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-02 22:59:11 | ||
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文档简介
7.2.4诱导公式第一课时教案
教学课时：第1课时
教学目标：
1、学生能利用角与的终边关系，根据三角函数的定义推导出的诱导公式①；
2、学生能从角的旋转角度，了解角的旋转对称，并利用三角函数线的对称性推导-a和的诱导公式②③；
3、学生能自选方法，推导的诱导公式④；
4、在探索三角函数诱导公式的过程中，培养学生的直观想象和逻辑推理的学科素养；
5、在利用诱导公式化简求值的过程中，体会转化的思想，训练学生的数学运算的学科素养
．
教学重点：
四组诱导公式的推导以及四组诱导公式的综合应用
．
教学难点：
诱导公式的推导和角的旋转对称思想在学生学习过程中的渗透及运用．
教学过程：
一、创设情境，引入课题
在初中，我们已经知道一些锐角的三角函数值，例如，．前面我们也学习了角的范围从我们熟知的锐角扩充到了全体实数范围．那我们思考一个问题，能否可以利用已知角的三角函数值去表示未知的三角函数值呢？例如，已知，你能用m表示吗？你还能用表示出更多的三角函数值吗？那么任意角的三角函数值都能化归为锐角三角函数求值吗？本节课就来讨论这个问题．
【知识回顾】
1、假设任意角的终边上有一个点P,坐标为P（x,y），那角的正弦、余弦、正切是如何定义的？请在下面的单位圆中表示出它们对应的三角函数线？
所以在单位圆中所以P点坐标可以表示为?
2、对于任意一个角来说，与的终边有什么关系？（终边相同）
【学生活动】
积极思考，填写学案，踊跃回答．
【教师活动】
利用课本的“情景与问题”，并引导学生回顾学过的知识，为本节课的学习奠定基础．
【设计意图】
相关概念的复习分散了教学难点,使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究．
二、复习归纳，形成公式
问题探究1：诱导公式①：
问题1、通过知识回顾2你能得到与的正弦、余弦、正切之间的关系吗？
【学生活动】
1.学生自主完成课本第27页上面的“尝试与发现”．
2.学生对结论的结构特征进行分析．
【教师活动】
教师引导学生利用与终边相同的特点，发现它们的三角函数值相同，展示学生得出的结论，从而得到诱导公式
【设计意图】
由于学生之前已经理解了角与角终边相同的特点，再利用三角函数的定义，学生不难得到第一组诱导公式，培养学生将未知转为已知的思想意识．同时学生通过观察发现本组诱导公式特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正．由这组公式让学生还可以看出，三角函数是“多对一”的单值对应关系.明确了这一点，为今后学习函数的周期性打下基础．让学生了解诱导公式一的作用：可以把绝对值大于的任意角的三角函数值问题转化为内的同名三角函数值问题，简称“大变小”．此环节是对目标1的落实．
例1（课本27页例1）
求下列各值．
(1)?；(2)?；(3)．
解：（1）．
参考答案：（2）（3）1．
【学生活动】
学生进行独立思考完成课本例1，然后口答．
【教师活动】
借助例1（1）引导学生利用诱导公式①
“大变小”完成例1剩余两问．
【设计意图】
例1分别设计了正弦、余弦、正切三种不同的函数，是让学生熟练掌握运用诱导公式①，将大角变为小角，转化为熟悉的锐角，然后计算求值．此环节是对目标1的检测．
三、观察归纳，形成概念
问题探究2：角的旋转对称：
问题2、如图所示，假设角的终边是OA，射线OB和OC关于OA对称，，那么射线OB和射线OC是哪个角的终边？这个角如何用和来表示？
从角的旋转角度，不难发现射线OB是角的终边，射线OC是角的终边．由此我们可知，角的终边和角的终边关于角的终边所在的直线对称．
问题3、你能利用问题2的研究过程得出角和角；角和角的终边关于哪个角的终边所在的直线对称吗？那任意的角和角的终边又关于哪个角的终边所在的直线对称呢？
角与的关系即为角0+与角0-的关系，终边关于x轴对称．
角与的关系即为角与角的关系，终边关于y轴对称．
角与的关系即为与的关系，终边关于角的终边所在的直线对称．
【学生活动】
学生先进行独立思考后形成书面结论，然后小组内进行交流展示，形成小组最后的结论，在教师的组织下上台展示本组成果．
【教师活动】
点评不同小组的最终结论，与学生一起分析问题2、3的结论依据．
【设计意图】
以上的这些对称问题既可以借助旋转来解释，也可以借助中点坐标公式来说明.“角的旋转对称”这部分内容的学习为后面的诱导公式的推导作了必要的铺垫.这样推导诱导公式大大简化了公式的推导过程，而且还有利于学生对公式的理解和记忆，减轻了学生的记忆负担，减少了学生对公式应用的畏惧心理，对提高学生学习兴趣大有帮助．此环节是对目标2的落实与检测．
四、步步推进，应用新知
问题探究3：诱导公式②③：
问题4、对于任意一个角来说，利用角和角-，角和角的终边关系,你能得出角和角-以及角和角它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？
如图所示，设和-的终边与单位圆分别交于P和，则，，又由角和角-的终边关于角O的终边所在的直线（即x轴的正半轴）对称，因此得到诱导公式
这一结论也可以从和-的三角函数线之间的关系得出以下三角函数间的关系式：
如图所示，设和的终边与单位圆分别交于P和，则，，又由角和角的终边关于角的终边所在的直线（即y轴）对称，因此得到诱导公式
这一结论也可以通过观察图中的三角函数线，自主推导得出以下三角函数间的关系式：
【学生活动】
学生先进行独立思考后小组讨论，形成书面结论，然后上台展示问题4的研究成果．
【教师活动】
点评学生的最终结论，与学生一起分析诱导公式②③结论依据，利用GGB软件动态展示诱导公式②，提醒学生，公式中的角可以是任意角，也可以是角的表达式．
【设计意图】
由于学生前面刚刚理解了角的旋转对称，再通过观察图像特点，利用坐标对称规律，学生不难得到第二组和第三组诱导公式．在小组展示过程，学生还可能说出观察图中的三角函数线，得出以下三角函数间的关系式．同时学生通过观察发现第二组诱导公式特征是：把负角的三角函数值问题转化为正角的同名三角函数值问题，简称为“负变正”．
明确了这一点，为今后学习函数的奇偶性和对称性打下基础．同时学生通过观察发现第三组组诱导公式特征是：可以把区间内的角的三角函数值问题转化为区间内的同名三角函数值问题．明确了这一点，为今后学习各三角函数图像的对称性打下基础．利用GGB软件动态展示诱导公式②，是为了让学生直观的感受诱导公式对于任意的角都成立．此环节是对目标2的落实．
例2（课本29页例2）
求下列各值．
（1）
解：（1）
例3（课本30页例3）
求下列各值．
（1）
解：（1）?
【学生活动】
学生进行独立思考完成课本例2，例3，然后口答，其中例2第（4）问，例3第（3）问，学生回答一下化简过程．
【教师活动】
借助例2（4），例3（3），提醒学生熟练运用每个诱导公式的作用，将不熟悉的角变成熟悉的锐角进行计算求值．
【设计意图】
例2第（4）小题，是诱导公式一和诱导公式二的综合运用．例3第（3）小题，是诱导公式一和诱导公式三的综合运用．通过学生的回答提醒学生，当所学诱导公式增多，题目的综合性就增强，解题方式不唯一．要学会合理选择诱导公式，并熟练运用．此环节是对目标2的检测．
五、拓展探究，提升能力
问题探究5：诱导公式④：
问题5、你能利用前面的研究过程或结果选择合适的方法探究出和角的正弦、余弦、正切之间的关系吗？
法一：如图所示，设和的终边与单位圆分别交于P和，则，因此得到诱导公式?
方法二：利用诱导公式二、三进行推导
方法三：利用角的终边的关系及单位圆中的三角函数线推导
因为与的终边互为反向延长线，所以
角与的正弦线长度相等，方向相反，即；
角与的余弦线长度相等，方向相反，即；
角与的正切线长度相等，方向相同，即．
【学生活动】
学生积极思考，展示成果．
【教师活动】
点评学生的推导过程和结论，并与学生一起分析诱导公式④结论依据，提醒学生，公式中的角可以是任意角，也可以是角的表达式．
【设计意图】
此环节既能展示个人才华，又能照顾到各个层次的学生．来自他人的信息为自己所吸收，自己的既有知识又被他人的视点唤起，产生新的思想．这样的学习过程使学生在轻松达成一个个阶段目标之后，顺利到达数学学习的新境界．值得注意的是，第四组公式可以把区间内的角的三角函数值问题转化为区间内的同名三角函数值问题．通过学生的展示让学生从数和形两个角度加深学生对诱导公式四的理解．此环节是对目标4的落实．
例4（课本30页例4）
求下列各式的值．
（1）
参考答案：（1）；
（2）?；（3）．
【学生活动】
学生先独立思考，口答例题结果．
【教师活动】
点评学生的最终结论．例4是让学生应用诱导公式四进行简单的化简计算．其中第（2）小题，思路不止一种．
【设计意图】
此环节不仅是对目标4的检测，更是通过例4（2）的多种解法让学生明白这样的问题：“公式一四有什么作用？”利用诱导公式求值的方法是多样的，不必强求一致．同时引导学生归纳总结“任意角的三角函数求值问题转化为锐角三角函数求值问题的步骤”——“大变小，负变正，化到锐角为终了”．
问题6、如果把看作是锐角，那前面所学的四组诱导公式，?，，-分别表示了第几象限的角？观察比对四组诱导公式，从名称和符号角度能否给出记忆公式的方法？
这四组诱导公式函数名都没有发生改变．
若将角看作是锐角分别代表第一、二、三、四象限的角，公式最终转化的三角函数值符号与所在象限的三角函数值的符号是一致的．
所以口诀可编为“函数名不变，符号看象限”．?
【学生活动】
学生先独立思考，自主说出自己的发现，并相互补充．
【教师活动】
记录学生们发现的公式特点，并与学生一起编写公式口诀．
【设计意图】
诱导公式应当在理解的基础上记忆，而且应当使学生学会利用单位圆帮助记忆．同时给学生提供记忆诱导公式一四的方法：“函数名不变，符号看象限”．使学生在接下来应用诱导公式化简计算时能更快捷灵活．
六、例题讲解，深化理解
例5（课本30页例6）
化简．
解：原式
?
?
?
【学生活动】
学生先独立思考，然后跟老师一起完成例题．
【教师活动】
详细给学生讲解例题并板演步骤．
【设计意图】
例5是前四组诱导公式的综合应用，初学诱导公式，学生可能会遇到记忆混淆的困难，提醒学生，诱导公式不要求死记硬背，可以结合口诀，灵活运用．
七、课堂练习，巩固所学
（课本P33页练习A第5题）
化简
参考答案：sin．
八、归纳总结，回归问题
1.请同学们回顾本节课所学四组诱导公式．
2.本节课，我们应用诱导公式可以用来解决哪些问题．
3.学完本节课，关于本节课开始的情境与问题同学们可以自主完成．
情境参考答案：
教学课时：第1课时
教学目标：
1、学生能利用角与的终边关系，根据三角函数的定义推导出的诱导公式①；
2、学生能从角的旋转角度，了解角的旋转对称，并利用三角函数线的对称性推导-a和的诱导公式②③；
3、学生能自选方法，推导的诱导公式④；
4、在探索三角函数诱导公式的过程中，培养学生的直观想象和逻辑推理的学科素养；
5、在利用诱导公式化简求值的过程中，体会转化的思想，训练学生的数学运算的学科素养
．
教学重点：
四组诱导公式的推导以及四组诱导公式的综合应用
．
教学难点：
诱导公式的推导和角的旋转对称思想在学生学习过程中的渗透及运用．
教学过程：
一、创设情境，引入课题
在初中，我们已经知道一些锐角的三角函数值，例如，．前面我们也学习了角的范围从我们熟知的锐角扩充到了全体实数范围．那我们思考一个问题，能否可以利用已知角的三角函数值去表示未知的三角函数值呢？例如，已知，你能用m表示吗？你还能用表示出更多的三角函数值吗？那么任意角的三角函数值都能化归为锐角三角函数求值吗？本节课就来讨论这个问题．
【知识回顾】
1、假设任意角的终边上有一个点P,坐标为P（x,y），那角的正弦、余弦、正切是如何定义的？请在下面的单位圆中表示出它们对应的三角函数线？
所以在单位圆中所以P点坐标可以表示为?
2、对于任意一个角来说，与的终边有什么关系？（终边相同）
【学生活动】
积极思考，填写学案，踊跃回答．
【教师活动】
利用课本的“情景与问题”，并引导学生回顾学过的知识，为本节课的学习奠定基础．
【设计意图】
相关概念的复习分散了教学难点,使学生能够更多的围绕重点展开探索和研究．
二、复习归纳，形成公式
问题探究1：诱导公式①：
问题1、通过知识回顾2你能得到与的正弦、余弦、正切之间的关系吗？
【学生活动】
1.学生自主完成课本第27页上面的“尝试与发现”．
2.学生对结论的结构特征进行分析．
【教师活动】
教师引导学生利用与终边相同的特点，发现它们的三角函数值相同，展示学生得出的结论，从而得到诱导公式
【设计意图】
由于学生之前已经理解了角与角终边相同的特点，再利用三角函数的定义，学生不难得到第一组诱导公式，培养学生将未知转为已知的思想意识．同时学生通过观察发现本组诱导公式特征是：等号两边是同名函数，且符号都为正．由这组公式让学生还可以看出，三角函数是“多对一”的单值对应关系.明确了这一点，为今后学习函数的周期性打下基础．让学生了解诱导公式一的作用：可以把绝对值大于的任意角的三角函数值问题转化为内的同名三角函数值问题，简称“大变小”．此环节是对目标1的落实．
例1（课本27页例1）
求下列各值．
(1)?；(2)?；(3)．
解：（1）．
参考答案：（2）（3）1．
【学生活动】
学生进行独立思考完成课本例1，然后口答．
【教师活动】
借助例1（1）引导学生利用诱导公式①
“大变小”完成例1剩余两问．
【设计意图】
例1分别设计了正弦、余弦、正切三种不同的函数，是让学生熟练掌握运用诱导公式①，将大角变为小角，转化为熟悉的锐角，然后计算求值．此环节是对目标1的检测．
三、观察归纳，形成概念
问题探究2：角的旋转对称：
问题2、如图所示，假设角的终边是OA，射线OB和OC关于OA对称，，那么射线OB和射线OC是哪个角的终边？这个角如何用和来表示？
从角的旋转角度，不难发现射线OB是角的终边，射线OC是角的终边．由此我们可知，角的终边和角的终边关于角的终边所在的直线对称．
问题3、你能利用问题2的研究过程得出角和角；角和角的终边关于哪个角的终边所在的直线对称吗？那任意的角和角的终边又关于哪个角的终边所在的直线对称呢？
角与的关系即为角0+与角0-的关系，终边关于x轴对称．
角与的关系即为角与角的关系，终边关于y轴对称．
角与的关系即为与的关系，终边关于角的终边所在的直线对称．
【学生活动】
学生先进行独立思考后形成书面结论，然后小组内进行交流展示，形成小组最后的结论，在教师的组织下上台展示本组成果．
【教师活动】
点评不同小组的最终结论，与学生一起分析问题2、3的结论依据．
【设计意图】
以上的这些对称问题既可以借助旋转来解释，也可以借助中点坐标公式来说明.“角的旋转对称”这部分内容的学习为后面的诱导公式的推导作了必要的铺垫.这样推导诱导公式大大简化了公式的推导过程，而且还有利于学生对公式的理解和记忆，减轻了学生的记忆负担，减少了学生对公式应用的畏惧心理，对提高学生学习兴趣大有帮助．此环节是对目标2的落实与检测．
四、步步推进，应用新知
问题探究3：诱导公式②③：
问题4、对于任意一个角来说，利用角和角-，角和角的终边关系,你能得出角和角-以及角和角它们的正弦、余弦、正切之间的关系吗？
如图所示，设和-的终边与单位圆分别交于P和，则，，又由角和角-的终边关于角O的终边所在的直线（即x轴的正半轴）对称，因此得到诱导公式
这一结论也可以从和-的三角函数线之间的关系得出以下三角函数间的关系式：
如图所示，设和的终边与单位圆分别交于P和，则，，又由角和角的终边关于角的终边所在的直线（即y轴）对称，因此得到诱导公式
这一结论也可以通过观察图中的三角函数线，自主推导得出以下三角函数间的关系式：
【学生活动】
学生先进行独立思考后小组讨论，形成书面结论，然后上台展示问题4的研究成果．
【教师活动】
点评学生的最终结论，与学生一起分析诱导公式②③结论依据，利用GGB软件动态展示诱导公式②，提醒学生，公式中的角可以是任意角，也可以是角的表达式．
【设计意图】
由于学生前面刚刚理解了角的旋转对称，再通过观察图像特点，利用坐标对称规律，学生不难得到第二组和第三组诱导公式．在小组展示过程，学生还可能说出观察图中的三角函数线，得出以下三角函数间的关系式．同时学生通过观察发现第二组诱导公式特征是：把负角的三角函数值问题转化为正角的同名三角函数值问题，简称为“负变正”．
明确了这一点，为今后学习函数的奇偶性和对称性打下基础．同时学生通过观察发现第三组组诱导公式特征是：可以把区间内的角的三角函数值问题转化为区间内的同名三角函数值问题．明确了这一点，为今后学习各三角函数图像的对称性打下基础．利用GGB软件动态展示诱导公式②，是为了让学生直观的感受诱导公式对于任意的角都成立．此环节是对目标2的落实．
例2（课本29页例2）
求下列各值．
（1）
解：（1）
例3（课本30页例3）
求下列各值．
（1）
解：（1）?
【学生活动】
学生进行独立思考完成课本例2，例3，然后口答，其中例2第（4）问，例3第（3）问，学生回答一下化简过程．
【教师活动】
借助例2（4），例3（3），提醒学生熟练运用每个诱导公式的作用，将不熟悉的角变成熟悉的锐角进行计算求值．
【设计意图】
例2第（4）小题，是诱导公式一和诱导公式二的综合运用．例3第（3）小题，是诱导公式一和诱导公式三的综合运用．通过学生的回答提醒学生，当所学诱导公式增多，题目的综合性就增强，解题方式不唯一．要学会合理选择诱导公式，并熟练运用．此环节是对目标2的检测．
五、拓展探究，提升能力
问题探究5：诱导公式④：
问题5、你能利用前面的研究过程或结果选择合适的方法探究出和角的正弦、余弦、正切之间的关系吗？
法一：如图所示，设和的终边与单位圆分别交于P和，则，因此得到诱导公式?
方法二：利用诱导公式二、三进行推导
方法三：利用角的终边的关系及单位圆中的三角函数线推导
因为与的终边互为反向延长线，所以
角与的正弦线长度相等，方向相反，即；
角与的余弦线长度相等，方向相反，即；
角与的正切线长度相等，方向相同，即．
【学生活动】
学生积极思考，展示成果．
【教师活动】
点评学生的推导过程和结论，并与学生一起分析诱导公式④结论依据，提醒学生，公式中的角可以是任意角，也可以是角的表达式．
【设计意图】
此环节既能展示个人才华，又能照顾到各个层次的学生．来自他人的信息为自己所吸收，自己的既有知识又被他人的视点唤起，产生新的思想．这样的学习过程使学生在轻松达成一个个阶段目标之后，顺利到达数学学习的新境界．值得注意的是，第四组公式可以把区间内的角的三角函数值问题转化为区间内的同名三角函数值问题．通过学生的展示让学生从数和形两个角度加深学生对诱导公式四的理解．此环节是对目标4的落实．
例4（课本30页例4）
求下列各式的值．
（1）
参考答案：（1）；
（2）?；（3）．
【学生活动】
学生先独立思考，口答例题结果．
【教师活动】
点评学生的最终结论．例4是让学生应用诱导公式四进行简单的化简计算．其中第（2）小题，思路不止一种．
【设计意图】
此环节不仅是对目标4的检测，更是通过例4（2）的多种解法让学生明白这样的问题：“公式一四有什么作用？”利用诱导公式求值的方法是多样的，不必强求一致．同时引导学生归纳总结“任意角的三角函数求值问题转化为锐角三角函数求值问题的步骤”——“大变小，负变正，化到锐角为终了”．
问题6、如果把看作是锐角，那前面所学的四组诱导公式，?，，-分别表示了第几象限的角？观察比对四组诱导公式，从名称和符号角度能否给出记忆公式的方法？
这四组诱导公式函数名都没有发生改变．
若将角看作是锐角分别代表第一、二、三、四象限的角，公式最终转化的三角函数值符号与所在象限的三角函数值的符号是一致的．
所以口诀可编为“函数名不变，符号看象限”．?
【学生活动】
学生先独立思考，自主说出自己的发现，并相互补充．
【教师活动】
记录学生们发现的公式特点，并与学生一起编写公式口诀．
【设计意图】
诱导公式应当在理解的基础上记忆，而且应当使学生学会利用单位圆帮助记忆．同时给学生提供记忆诱导公式一四的方法：“函数名不变，符号看象限”．使学生在接下来应用诱导公式化简计算时能更快捷灵活．
六、例题讲解，深化理解
例5（课本30页例6）
化简．
解：原式
?
?
?
【学生活动】
学生先独立思考，然后跟老师一起完成例题．
【教师活动】
详细给学生讲解例题并板演步骤．
【设计意图】
例5是前四组诱导公式的综合应用，初学诱导公式，学生可能会遇到记忆混淆的困难，提醒学生，诱导公式不要求死记硬背，可以结合口诀，灵活运用．
七、课堂练习，巩固所学
（课本P33页练习A第5题）
化简
参考答案：sin．
八、归纳总结，回归问题
1.请同学们回顾本节课所学四组诱导公式．
2.本节课，我们应用诱导公式可以用来解决哪些问题．
3.学完本节课，关于本节课开始的情境与问题同学们可以自主完成．
情境参考答案：