7.3.2正弦型函数的性质与图像 教案-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7.3.2正弦型函数的性质与图像教案
教学课时：1课时
　　教学目标：
　　1、能根据解析式总结y＝Asinx(A>0)、y＝sin(x＋φ)、y＝sinωx(ω>0)、y＝Asin(ωx＋φ)的性质；
　　2、能用五点法作上述函数的简图。通过作图过程明确A、ω、φ对函数性质与图像的影响，概括出三角函数图像变换的实质和规律，并用图象变换画出函数y=Asin(ωx＋φ)的图像；
　　3、结合观览车和弹簧实例，体会y＝Asin(ωx＋φ)这类函数模型与生活的联系，了解A、ω、φ的实际意义及周期、频率、初相的定义；
　　4、通过对探索过程的体验，培养观察能力和探索问题的能力，体会数形结合以及从特殊到一般的数学思想，锻炼从具体到抽象的思维方法，达到从感性认识到理性认识的飞跃.
　　教学重点：
　　A、ω、φ对函数性质与图像的影响及y=sinx的图像到y=Asin(ωx＋φ)的图像变换过程.
　　教学难点：
　　y=sinx的图像到y=Asin(ωx＋φ)的图像的变换过程.
　　教学过程：
　　一、创设情境、引出问题
　　问题1：如图，摩天轮圆C的半径为A，为圆C上一点，以射线C为终边的角为φ，点P从出发随着时间推移而逆时针运动，P点每秒转过的弧度为ω，记圆心C的高度为0.，你能用一个合适的函数模型刻画的高度y与时间x的关系吗？
　　【教师活动】用GGB展示摩天轮，提出问题1，先引导学生思考当φ=0时的纵坐标y，再将移动到图示所示位置，求y.
　　【学生活动】当φ=0，由正弦函数的定义，得到y＝Asinωx；将置于如图所示位置，得到在时刻x秒时点P的纵坐标y＝Asin(ωx＋φ).
　　问题2：y＝Asin(ωx＋φ)图像与学过的哪个函数图像相似？它们有何关系？
　　【教师活动】用GGB动态展示纵坐标y随x变化形成的函数y＝Asin(ωx＋φ)图像，生活中的许多现象，例如弹簧振子在振动过程中离开平衡位置的位移，潮汐现象中水位的高度也是这类函数模型的应用，前面我们已经学习了正弦函数的性质与图像，今天我们就一起来探究正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图像.
　　【学生活动】学生观察图像，回答老师问题.学生回答，和正弦函数相似.y＝sinx就是y＝Asin(ωx＋φ)在A=1，ω=1，φ=0时的情况.
　　【设计意图】用数学的眼光观察世界，感悟函数y＝Asin(ωx＋φ)是刻画自然界周期现象的常见的数学模型，体会函数与生活的紧密联系，引导学生思考y＝Asin(ωx＋φ)与y＝sinx的一般与特殊的关系.
　　二、自主建构，解决问题
　　问题1：你打算如何研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图像？
　　【教师活动】用ppt展示y＝Asin(ωx＋φ)的图像，教师引导学生通过比较发现y＝Asin(ωx＋φ)的图像与正弦曲线形状很相似，但也有区别，引导学生思考如何分析参数A、ω、φ的影响.
　　【学生活动】先固定其中的两个，研究另外一个参数对函数性质与图像的影响，分别探讨函数y＝Asinx(A>0)、y＝sin(x＋φ)、y＝sinωx(ω>0)的性质与图象，再综合分析.
　　问题2：探究y=2sinx的定义域、值域和周期，并作出它在一个周期内的图像.
　　【教师活动】教师提出问题，引导学生比较y=2sinx与y=sinx的性质，发现最值不同，引出下一问题.
　　【学生活动】学生分析解析式得到函数性质，通过五点法作出函数图像.
　　问题3：y=2sinx的图像如何由y=sinx的图像得到？
　　【教师活动】教师引导学生结合五点法作图的表格找到两个函数的联系，可以提示同学们观察的关系.
　　【学生活动】通过五点法的作图过程，比较两个函数图像的关键点，可以发现横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍.
　　问题4：总结函数y=Asinx的性质，并结合GGB探究如何由y=sinx的图像得到y=Asinx的图像？
　　【教师活动】教师提出问题，教师在GGB软件中选定在同一条竖线上的两点M、N，通过改变横坐标发现，两点纵坐标始终满足A倍关系.
　　【学生活动】学生总结出函数y=Asinx的性质，定义域：R值域：[-A,A]
周期2π，通过平板操作GGB软件改变参数A的大小，通过观察点坐标的联系，分析得出函数图像之间的关系如下：
　　【设计意图】本环节将需要解决的三个参数进行分解，先逐个分析参数对图像的影响，从参数A入手，引导学生从特殊到一般分析A对函数性质与图像的影响，探究过程中，借助GGB的动态展示，合理的展现了探究结论的过程，较好的突破了探究难点，激发了学生的探究欲望，提高了学生分析问题、解决问题的能力.
　　三、类比方法，合作探究
　　问题1：总结y＝sin(x＋φ)的性质，并探究如何由y＝sinx的图像得到y＝sin(x＋φ)的图像？
　　【教师活动】引导学生通过换元的方法分析y＝sin(x＋φ)的性质，再借助GGB演示当φ变化时图像的变化情况，提问学生图像的变化规律.
　　【学生活动】学生先总结y＝sin(x＋φ)的性质，再借助GGB进行数学实验，发现φ引起的是图像x轴方向的平移变换，规律为左加右减，总结出一般规律如下：
　　问题2：总结y＝sin(ωx)的性质，并探究如何由y＝sinx的图像得到y＝sin(ωx)的图像？
　　【教师活动】在分析函数周期时，教师要提醒学生从周期的定义出发，找到x的改变量为多少时，函数值重复出现，再引导学生借助GGB的动态演示功能，结合点坐标的变化，找到ω变化时图像的变化规律.
　　【学生活动】学生类比之前的方法自主探究y＝sin(ωx)的性质，发现ω与周期成反比的规律，总结出，借助GGB进行数学实验，发现ω引起的是图像x轴方向的伸缩变换，观察出ω越大，周期越小，验证了分析函数性质时得到的结论，得到图像变换如下的结论：
　　【设计意图】由具体到抽象，类比上一环节的探究过程，继续探究φ、ω对函数性质与图像的影响，图像变换的本质是图像上每个点的位置变化，而点的位置变化对应了点的坐标的变化，此处不仅从形的角度认识规律，更加突出从点的坐标这一数的本质去理解，实现思维水平的提升.
　　四、综合应用、深化提升
　　问题1：探究的定义域、值域和周期，并用五点法做出它在一个周期内的图像.
　　【教师活动】教师提出问题，引导学生思考，能否用前面的方法分析函数的性质？作图时的五点如何选择？除了五点法作图，我们还可以用什么方法得到图像？引出下一问题.
　　【学生活动】学生用整体分析的方法分析函数性质和五点作图，此外可以由y=sinx通过图像变换的方法得到图像.
　　问题2：如何由函数y=sinx的图像变成的图像？
　　【教师活动】教师提出问题，引导学生通过对比两个函数的性质与图像，提出综合应用图像变换的方案，用ppt分步骤展示图像的变换过程，对图像变换的难点和易错点，提醒学生对比图像坐标进行分析，通过引导学生发现和提出问题，激发学生的学习兴趣.
　　【学生活动】结合与y=sinx的函数性质，并观察五点法作出的图像，提出不同方案：先伸缩后平移，先平移后伸缩.学生在先伸缩后平移时，可能会认为是左移个单位长度，但是通过分析点坐标的变化最后发现这样做是错误的，从而激发他们求知欲，加深对图像变换的理解，第二种变换的难点在伸缩变化中，φ是否受到影响，同样从本质出发，通过分析点的变化来理解，最后结合GGB来验证.
　　巩固练习：1.如何由函数y=sinx的图像变成的图像？
　　2.如何由函数的图像变成的图像？
　　【教师活动】教师用ppt投影展示问题，随机提问两个小组回答。
　　【学生活动】学生独立思考，再小组讨论，比较不同的图像变换方案，加深对图像变换的理解。
　　问题3：总结y＝Asin(ωx＋φ)的定义域、值域、周期，并思考A、ω、φ有怎样的实际意义？
　　【教师活动】教师提出问题，提问一名学生总结性质，并用GGB回顾摩天轮和弹簧产生正弦型函数的过程，结合本节课对参数A、ω、φ的研究，总结三个参数的实际意义.
　　【学生活动】学生独立思考，由特殊到一般总结y＝Asin(ωx＋φ)的性质，联系实际得到三个参数的实际意义.
　　【设计意图】本环节是图像变换的综合应用，通过对比两个函数的性质与图像，提出方案，遇到问题时，先从本质出发通过分析点坐标的变化，从而解决问题，借助GGB软件，既能直观判断能否完成图像的合理变换，亦能找出是否合理的原因，使学生从感性和理性两个角度认识到变换的过程，最后，由特殊到一般，总结正弦型函数的性质及图像，联系实际，体现出数学既来自于生活，也服务于生活.
　　五、归纳总结，反思提高
　　问题：本节课你收获了什么？
　　1.
y＝Asin(ωx＋φ)的性质与图像及A、ω、φ的实际意义；
　　2.
y=sinx的图像变成y＝Asin(ωx＋φ)的图像的步骤.
　　【教师活动】教师提出问题，指定一名同学进行回答，在学生回答过程中进行引导和评价，通过激励性评价，提高学生的学习热情.
　　【学生活动】学生对本节课所学的知识与方法进行总结，一名同学回答问题，其他同学进行必要的补充.
　　【设计意图】引导学生对所学的知识、数学思想方法进行小结，培养学生的概括、归纳能力，从而为今后的学习打下坚实的基础.