7.3.3余弦函数的性质与图像 教案-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第三册

7.3.3余弦函数的性质与图像教案
教学课时：1课时
　　教学目标：
　　1.
学生利用诱导公式、正弦函数图像或余弦线，能够找到探究余弦函数性质的路径；
　　2.
学生能够根据选定的路径，通过小组讨论，从不同角度准确归纳总结余弦函数的性质；?
　　3.学生能发现余弦函数图像与正弦函数图像的关系，并类比总结快速作出余弦函数在上图像的五个关键点；
　　4.学生能够通过类比解决正弦函数问题的方法，解决余弦函数单调区间，最值，对称性，周期性等性质问题.
　　教学重点：余弦函数的性质与图像的探究
　　教学难点：余弦函数性质的探究；余弦函数性质的应用.
　　教学过程：
　　一、提出问题，解决问题：
　　（一）复习引入
　　大家回顾一下，我们前面在学习三角函数定义时，同时认识了正弦函数、余弦函数和正切函数三个函数，同时我们也知道这三个函数之间是存在相互的联系的.
　　问题1.正弦函数和余弦函数之间有什么联系？
　　【教学活动】
　　学生回顾前面所学知识，可回答出平方关系，诱导公式等，为下面的问题思考创设环境.
　　问题2：前面，我们刚刚研究了正弦函数的性质与图像，请大家简要回顾一下研究思路和过程.
　　【教学活动】
　　学生回答教师补充：利用正弦线先得到正弦函数的性质，然后根据性质进一步得到图像.
　　问题3：请大家思考一下，如果让你来研究余弦函数的性质，你会选择什么方法？
　　【教学活动】
　　给学生一定时间思考然后相互交流，基本形成两种思路：一是利用余弦线直接研究；二是利用诱导公式，借助正弦函数性质研究.
　　【设计意图】问题1设置的目的是让学生感知两个函数之间是有联系的，问题2的设置让学生回顾正弦函数性质与图像的学习过程，这两个问题的设置是为问题3的探究进行铺垫，创设思考问题的环境，学生比较容易能够想到探究余弦函数性质与图像的直接和间接两种方法.　
　　（二）新知探究
　　问题4：请大家自己选择一种方法，研究余弦函数的性质.
　　【教学活动】
　　学生可以根据自己的意见，小组统一意见，任意选择一种方法进行小组合作探究，教师通过巡视观察学生的做法，找到比较有代表性的两个小组进行展示交流，请小组代表讲解.
　　【设计意图】因为学生前面已经学习了诱导公式；也学习了从正弦线得到正弦函数的性质和图像以及正弦型函数的性质和图像，所以在此预设方案，在学生小组合作探究余弦函数y=cosx的性质后，选取学生代表展示探究成果，教师根据预案给予评价指导，打造学为主体，师生共研型课堂.
　　预设方案一：从余弦线角度入手
　　利用余弦线可以直观地表示余弦的函数值，就是角x的余弦线.
　　（1）定义域与值域
　　因为任意角都有余弦，所以y=cosx的定义域为R.
　　由余弦线可以看出的最大值是1，最小值是－1.因此可知y=cosx的值域为[-1,1]，而且当且仅当时，函数y=cosx取最大值1；当且仅当时，函数y=cosx最小值-1.
　　（2）周期性
　　转动OP发现余弦函数y=cosx是以为周期的周期函数.
　　（3）单调性
　　由余弦函数y=cosx是以为周期的周期函数可知，我们只要知道余弦函数在一个长度为的区间内的单调性，就能得到余弦函数y=cosx在R上的单调性.
　　由余弦线可以看出，余弦函数y=cosx在区间上，从-1增大到1，是递增的；在区间上，从1减少到-1，是递减的.
　　一般地，余弦函数y=cosx在区间上递增，在上递减.
　　（4）零点
　　当OP转到,所以余弦函数y=cosx的零点是.
　　（5）奇偶性
　　引导学生通过诱导公式cos（-x）=cosx可知y=cosx是一个偶函数.
　　预设方案二：从诱导公式入手
　　由于，所以y=cosx的性质与图像和正弦型函数的相同.　于是得出余弦函数的性质：
　　（1）定义域与值域
?
　　（2）周期性
　　根据
　　（3）单调性
　　
　　（4）零点
　　
　　（5）奇偶性
　　引导学生通过诱导公式cos（-x）=cosx可知y=cosx是一个偶函数.
　　（6）对称轴：
　　问题5：请大家填写下列表格，并比较二者的异同点
　　
　　问题6：学习了余弦函数的这么多性质，它的图像到底是什么样？结合刚才的探究过程并类比做正弦函数图像过程，请大家自己选择一种方式画出余弦函数的图像
　　【教学活动】
　　学生自己选择一种方法画出余弦函数的图像，教师作出预设方案并利用信息技术软件进行演示.
　　法一：诱导公式的应用：，由正弦函数y=sinx向左平移个单位得到.
ggb动态演示.
　　法二：余弦线旋转而得：ggb动态演示.
　　法三：软件使用：ggb直接画y=cosx的图像.
　　【设计意图】学生易于想到法一，教师ggb动态演示，验证结论.为增加学生的理解效果，强化信息技术在数学中的应用，演示后两种方法.
　　问题7：请说出余弦函数图像在的五个关键点.
　　【教学活动】
　　学生回答，教师可进一步引领学生对比正弦函数在的五个关键点.
　　【设计意图】先研究函数性质后研究图像是新教材较旧教材的最大区别.探究得到图像后，教师结合函数图像，进一步地验证以上性质，培养学生数形结合思想的应用，提升学生直观想象学科素养.类比正弦函数y=sinx图像在的五个关键点，目的为加深对函数y=cosx，性质的理解记忆.
　　二、例题讲解，深化理解
　　评价一：热身运动
　　判断下列说法是否正确：
?
　　（3）（课本51页例2第（2）小题）函数是奇函数.?
　　【教学活动】
　　第（1）（2）两问集体回答，第（3）问思考后个人抢答.
　　【设计意图】（1）（2）两个小题评价学生对余弦函数的基本性质的直接应用；（3）借助正弦函数和余弦函数各自的单调性，让学生能够利用高一上学期必修一学过的奇偶函数的定义，从定义的角度证明函数的奇偶性.
　　评价二：实战演练
　　（课本51页例1第（1）小题）求下列函数y=-3cosx+1的值域
　　【设计意图】本题是余弦函数性质最简单的应用，目的是通过本题让学生进一步熟练掌握余弦函数的性质——最值
.
　　【教学活动】
　　独立完成此题，一生板演.
　　三、课堂练习，巩固所学
　　评价三：活学活用
　　【教学活动】
　　引导学生类比正弦函数中研究值域与最值问题开展自行命题活动，把学生的题目在黑板上板书展示，并安排不同的小组完成这些题目，通过投影仪展示学生的计算结果，师生共同批评价.
　　主要围绕以下几个变形：
?
　　【设计意图】想通过学生对题目的不断变形，让学生进一步熟悉余弦函数的各类题型，培养学生参与知识的生成过程，以提高思维的探究水平，更可以掌握具有广泛性的思维方法.如果学生没有想到预设中的几道题目类型，教师可引导学生给出3个变式题.其中1变是课本例4；2变是课本例1的（2）题；3变是对2变的加深，将三角函数与二次函数紧密结合起来，将三角函数的求最值问题转化为学生熟悉的二次函数求最值问题，让学生体验知识间的紧密联系.最终，通过这4道题目的训练，总结求值域问题的类型，培养学生熟练应用数形结合的数学思想及换元法解题意识.
　　评价四：挑战自我
　　问题6：根据刚才的练习大家对余弦型函数常见题型还有什么补充？
　　（课本52页例3）求函数的周期和其图像的对称轴方程
　　【教学活动】
　　学生独立思考解答.
?
　　【设计意图】解法一很好的体现了本节课的宗旨就是用正弦来研究余弦，并且本题与开篇用到的公式遥相呼应，引导学生运用此公式解决本题.
解法二是余弦型函数性质的直接应用，目的为解决课本52页例3“想一想”，构建余弦型函数模型及相应的解题方法.两种方法的渗透，有利于学生的理解记忆，至此达成目标4.
　　四、归纳总结
　　【教师活动】教师提问：通过本节课的学习，你的四个学习目标达成了吗？你都学到了哪些数学思想方法及解题方法？请大家对照学习目标逐一落实.
　　【学生活动】学生对应四个学习目标，自行总结整合.
　　【设计意图】让学生学会自主整合，既能查漏补缺，又培养学生自诊、归纳、概括能力，学生在探究数学知识的形成过程中体会到解决问题的快乐.
　　五、布置作业
　　必做作业：课本Ｐ53页　练习Ａ.
　　选做作业：查阅资料，寻找余弦函数在生活中的应用，并写出自己的认识与体会.
　　【设计意图】让学生进一步巩固课堂上所学知识，加深对基本题型，基本方法的理解记忆.
查阅资料目的为开阔学生视野，体会数学在生活应用.