10.2.1复数的加法与减法 教案-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册
文档属性
| 名称 | 10.2.1复数的加法与减法 教案-2021-2022学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 118.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-07-02 23:00:29 | ||
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文档简介
10.2.1复数的加法与减法
教案
教学课时：共1课时
教学目标：
1、认同复数加法、减法运算法则规定的合理性及实数运算规律的适用性，知道复数加法、减法运算的几何意义，能熟练运用法则和运算律进行复数代数形式的加法与减法运算．
2、通过复数加法、减法运算几何意义的学习，强化数形结合思想的应用意识，通过法则与运算律的灵活应用，培养学生的数学运算核心素养，强化类比推理的思维方法．
3、进一步体会事物联系的普遍性、形式与内容相统一的辩证唯物主义观点．
教学重点：复数的代数形式的加法、减法运算法则
教学难点：复数的代数形式的加法、减法的几何意义
教学过程：
一、情境与问题
问题1：复数、点、向量的对应关系？
【学生活动】学生自主回顾，构建复数定义的代数形式与几何形式思维的对应．
【设计意图】由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，引导学生连贯新旧知识，将数与形融合成有机整体．提升数与形的对应与转化能力，突显问题解决的直观策略．
问题2：（1）试判断下列复数，，对应的向量在复平面中落在哪个象限，并画出其对应的向量；
（2）用坐标和几何形式表示复数，所对应的向量，计算与对应的向量的加、减运算结果？你认为的值应该等于多少？
【学生活动】
学生独立动手实际操作，感知数形结合带来的直观想象．
二、新知探究
问题3：类比向量坐标形式的加、减运算，尝试给出任意两个复数相加、相减的运算规则？
问题4：类比多项式的加、减运算，尝试给出任意两个复数相加、相减的运算规则？
【学生活动】
小组合作探究，学生代表发言，学生评价、补充、完善．教师适时点拨．
【解析提示】可结合实例：已知m=4x+3y
，n=2x-7y
，求m+n，m-n．
【设计意图】借助多项式的加、减运算的实质是合并同类项，学生可自主观察、猜想出复数的加减运算类似于多项式的合并同类项．学生通过交流研讨，用自己的语言描述出：复数加、减首先确定各个复数的实部、虚部，其次将所有实部和虚部分别求和，最后将实部和作为实部，虚部和作为虚部，写出复数的代数形式，注意减法要将减数的实部、虚部变为相反数进行求和．
教材引言：我们知道，任意两个实数的加法运算满足交换律与结合律，即时，必定有a+b=b+a，．那么复数中的加法对交换律与结合律都成立么？
问题5（1）复数的值应该等于多少？复数中的加法对交换律与结合律都成立么？
【设计意图】承接问题2，将学习活动进一步延续递进，感悟复数集对加减运算的封闭性，培养学生逻辑推理素养及数学思维的严谨性．
【阶段小结】①两个复数的和（差）仍为复数；复数加、减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减；
②复数的加法（减法）则可推广到多个复数相加（减）的情形；
③复数的加法运算满足交换律、结合律．
三、例题示范
例1：（教材P35——例1）计算
【选配意图】考查复数加、减的混合运算，通过练习巩固复数的加减运算法则，提高学生的数学运算能力、数据分析能力．
【思路分析】首先确定各个复数的实部、虚部；其次将所有实部和虚部分别求和；最后将实部和作为实部，虚部和作为虚部，写出复数的代数形式．
【解答】原式
【解法评析】实数的运算通性、通法可扩充到复数；复数集对加、减运算具有封闭性．
例2：（教材P35——例2）判断命题“两个共轭复数的差一定是纯虚数”的真假，并说明理由．
【选配意图】考查共轭复数的代数形式、复数减法运算与复数分类的综合运用．增强学生对数学定义的严谨性把握，提升学生运用数学语言表述的能力．
【思路分析】本题在判断命题的真假时可采用举反倒的方法．论证方面，培养学生数学逻辑推理论证的基本论述、书写过程．就本题先明确研究对象的代数表达，进行指定的运算，针对运算结果的形式对照数学基本概念，从而获得命题的真假．
【解答】是假命题．
【解法评析】若本题仅采用特殊复数对问题的真假进行的判断，会出现情况缺失，故不能以特殊复数的运算来对命题进行严格论证．注重学生的反思过程．
四、知识点深化
问题5（2）依据复平面内作出的，，+所对应的向量，猜想并归纳复数加法的几何意义．
参考：结合教材P34~35内容的阅读．
【学生活动】
学生可以自主阅读教材，自行了解复数加法的几何意义．
【设计意图】根据学生已有学科基础，学生通过阅读会很容易理解两复数的加法的几何意义，可借助向量的加法法则（向量加法的平行四边形法则、三角形法则）来运算．同时学生可类比物理中力的合成．对于学有余力的学生，可查阅文献了解复数在物理领域的运用．
问题5（3）猜测的相反数，以及的值．
【设计意图】复数的相反数是推导复数减法法则的关键，是解释减法是加法的逆运算的理论支撑．
问题5（4）在复平面内作出的，，所对应的向量，猜想并归纳复数减法的几何意义．
【解析】对于两复数的减法的几何意义，可简单叙述为：连接两向量的终点，方向指向被减向量得到的向量，就是两复数的差对应的向量．
问题5（5）结合复数减法的几何意义,表示的几何意义是什么？
【解析】根据复数减法以及模的几何意义,的含义是指在复平面上，复数、所对应的点与之间的距离．注重对复数的表示及几何意义的理解，
探索与研究：（教材P35——探索与研究）根据
的几何意义讨论下列各式的几何意义．
【选配意图】对学生进行数与形的转化训练，培养复数代数语言的翻译能力．并以学生熟悉的图形“圆与线段”为背景，为学有余力的同学进行数学思维的延展．
【思路分析】方法一：利用解析法（即代数方法），求复数对应动点满足的曲线方程．
方法二：复数减法的几何意义．
方式二：（复数减法的几何意义）复数z对应点Z到定点（1，1）为定值2，即满足条件的点Z的集合是以（1，1）为圆心，2为半径的圆．
（2）复数z对应点Z到定点（1，0）和（-1，0）的距离和为2，即满足条件的点Z是以（1，0）和（-1，0）为端点线段上的点．
【解法评析】关注数学语言的运用，提升数形结合数学思想的运用能力．
五、知能训练
【考查意图】复数的加减运算
【答案】2、（1）4-2i（2）2+6i
3、（1）5-4i（2）7+2i（3）3+12i
4、（1）2-2i（2）1+5i（3）-4+5i
2、教材P36——练习B—1、计算下列各式的值（1）（-3+2i）-（5-i）+（4+7i）
；
（2）（1+i）-（1-i）-（5-4i）+（-3+7i）．
【考查意图】复数的加减的混合运算
【答案】1、（1）-4+10i（2）-8+13i
3、教材P36——练习B—4、已知复数6+5i与-3+4i对应的向量分别为，求与所对应的复数．
【考查意图】复数的加减运算，复数的几何意义与代数运算间的转化
【答案】4、（1）3+9i（2）9+i
4、教材P36——练习B—2、如果复数?，的和是实数，那么与一定互为共轭复数吗？为什么？
【考查意图】复数运算的深度理解，及抽象逻辑推理论证．
【答案】不一定．
五、归纳总结
1、知识内容及研究方法方面：复数的加减运算法则及几何意义，类比归纳．
2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面：数形结合；数学运算、直观想象、逻辑推理、数据分析；实数的运算通性、通法可扩充到复数．
3、应注意的问题：复数具有双面性，即代数形式与几何形式，故分析复数问题可从两方面入手．
4、学生活动方式说明：本节学习内容为数学法则，即数学定律，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．
5、作业建议：教材P42——习题10——2A—1、3
教材P42——习题10——2B—2
教案
教学课时：共1课时
教学目标：
1、认同复数加法、减法运算法则规定的合理性及实数运算规律的适用性，知道复数加法、减法运算的几何意义，能熟练运用法则和运算律进行复数代数形式的加法与减法运算．
2、通过复数加法、减法运算几何意义的学习，强化数形结合思想的应用意识，通过法则与运算律的灵活应用，培养学生的数学运算核心素养，强化类比推理的思维方法．
3、进一步体会事物联系的普遍性、形式与内容相统一的辩证唯物主义观点．
教学重点：复数的代数形式的加法、减法运算法则
教学难点：复数的代数形式的加法、减法的几何意义
教学过程：
一、情境与问题
问题1：复数、点、向量的对应关系？
【学生活动】学生自主回顾，构建复数定义的代数形式与几何形式思维的对应．
【设计意图】由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，引导学生连贯新旧知识，将数与形融合成有机整体．提升数与形的对应与转化能力，突显问题解决的直观策略．
问题2：（1）试判断下列复数，，对应的向量在复平面中落在哪个象限，并画出其对应的向量；
（2）用坐标和几何形式表示复数，所对应的向量，计算与对应的向量的加、减运算结果？你认为的值应该等于多少？
【学生活动】
学生独立动手实际操作，感知数形结合带来的直观想象．
二、新知探究
问题3：类比向量坐标形式的加、减运算，尝试给出任意两个复数相加、相减的运算规则？
问题4：类比多项式的加、减运算，尝试给出任意两个复数相加、相减的运算规则？
【学生活动】
小组合作探究，学生代表发言，学生评价、补充、完善．教师适时点拨．
【解析提示】可结合实例：已知m=4x+3y
，n=2x-7y
，求m+n，m-n．
【设计意图】借助多项式的加、减运算的实质是合并同类项，学生可自主观察、猜想出复数的加减运算类似于多项式的合并同类项．学生通过交流研讨，用自己的语言描述出：复数加、减首先确定各个复数的实部、虚部，其次将所有实部和虚部分别求和，最后将实部和作为实部，虚部和作为虚部，写出复数的代数形式，注意减法要将减数的实部、虚部变为相反数进行求和．
教材引言：我们知道，任意两个实数的加法运算满足交换律与结合律，即时，必定有a+b=b+a，．那么复数中的加法对交换律与结合律都成立么？
问题5（1）复数的值应该等于多少？复数中的加法对交换律与结合律都成立么？
【设计意图】承接问题2，将学习活动进一步延续递进，感悟复数集对加减运算的封闭性，培养学生逻辑推理素养及数学思维的严谨性．
【阶段小结】①两个复数的和（差）仍为复数；复数加、减法中规定，两复数相加减，是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减；
②复数的加法（减法）则可推广到多个复数相加（减）的情形；
③复数的加法运算满足交换律、结合律．
三、例题示范
例1：（教材P35——例1）计算
【选配意图】考查复数加、减的混合运算，通过练习巩固复数的加减运算法则，提高学生的数学运算能力、数据分析能力．
【思路分析】首先确定各个复数的实部、虚部；其次将所有实部和虚部分别求和；最后将实部和作为实部，虚部和作为虚部，写出复数的代数形式．
【解答】原式
【解法评析】实数的运算通性、通法可扩充到复数；复数集对加、减运算具有封闭性．
例2：（教材P35——例2）判断命题“两个共轭复数的差一定是纯虚数”的真假，并说明理由．
【选配意图】考查共轭复数的代数形式、复数减法运算与复数分类的综合运用．增强学生对数学定义的严谨性把握，提升学生运用数学语言表述的能力．
【思路分析】本题在判断命题的真假时可采用举反倒的方法．论证方面，培养学生数学逻辑推理论证的基本论述、书写过程．就本题先明确研究对象的代数表达，进行指定的运算，针对运算结果的形式对照数学基本概念，从而获得命题的真假．
【解答】是假命题．
【解法评析】若本题仅采用特殊复数对问题的真假进行的判断，会出现情况缺失，故不能以特殊复数的运算来对命题进行严格论证．注重学生的反思过程．
四、知识点深化
问题5（2）依据复平面内作出的，，+所对应的向量，猜想并归纳复数加法的几何意义．
参考：结合教材P34~35内容的阅读．
【学生活动】
学生可以自主阅读教材，自行了解复数加法的几何意义．
【设计意图】根据学生已有学科基础，学生通过阅读会很容易理解两复数的加法的几何意义，可借助向量的加法法则（向量加法的平行四边形法则、三角形法则）来运算．同时学生可类比物理中力的合成．对于学有余力的学生，可查阅文献了解复数在物理领域的运用．
问题5（3）猜测的相反数，以及的值．
【设计意图】复数的相反数是推导复数减法法则的关键，是解释减法是加法的逆运算的理论支撑．
问题5（4）在复平面内作出的，，所对应的向量，猜想并归纳复数减法的几何意义．
【解析】对于两复数的减法的几何意义，可简单叙述为：连接两向量的终点，方向指向被减向量得到的向量，就是两复数的差对应的向量．
问题5（5）结合复数减法的几何意义,表示的几何意义是什么？
【解析】根据复数减法以及模的几何意义,的含义是指在复平面上，复数、所对应的点与之间的距离．注重对复数的表示及几何意义的理解，
探索与研究：（教材P35——探索与研究）根据
的几何意义讨论下列各式的几何意义．
【选配意图】对学生进行数与形的转化训练，培养复数代数语言的翻译能力．并以学生熟悉的图形“圆与线段”为背景，为学有余力的同学进行数学思维的延展．
【思路分析】方法一：利用解析法（即代数方法），求复数对应动点满足的曲线方程．
方法二：复数减法的几何意义．
方式二：（复数减法的几何意义）复数z对应点Z到定点（1，1）为定值2，即满足条件的点Z的集合是以（1，1）为圆心，2为半径的圆．
（2）复数z对应点Z到定点（1，0）和（-1，0）的距离和为2，即满足条件的点Z是以（1，0）和（-1，0）为端点线段上的点．
【解法评析】关注数学语言的运用，提升数形结合数学思想的运用能力．
五、知能训练
【考查意图】复数的加减运算
【答案】2、（1）4-2i（2）2+6i
3、（1）5-4i（2）7+2i（3）3+12i
4、（1）2-2i（2）1+5i（3）-4+5i
2、教材P36——练习B—1、计算下列各式的值（1）（-3+2i）-（5-i）+（4+7i）
；
（2）（1+i）-（1-i）-（5-4i）+（-3+7i）．
【考查意图】复数的加减的混合运算
【答案】1、（1）-4+10i（2）-8+13i
3、教材P36——练习B—4、已知复数6+5i与-3+4i对应的向量分别为，求与所对应的复数．
【考查意图】复数的加减运算，复数的几何意义与代数运算间的转化
【答案】4、（1）3+9i（2）9+i
4、教材P36——练习B—2、如果复数?，的和是实数，那么与一定互为共轭复数吗？为什么？
【考查意图】复数运算的深度理解，及抽象逻辑推理论证．
【答案】不一定．
五、归纳总结
1、知识内容及研究方法方面：复数的加减运算法则及几何意义，类比归纳．
2、数学思想方法、核心素养及应用方法策略方面：数形结合；数学运算、直观想象、逻辑推理、数据分析；实数的运算通性、通法可扩充到复数．
3、应注意的问题：复数具有双面性，即代数形式与几何形式，故分析复数问题可从两方面入手．
4、学生活动方式说明：本节学习内容为数学法则，即数学定律，故学生可通过自我阅读的方式来完成本节的学习．
5、作业建议：教材P42——习题10——2A—1、3
教材P42——习题10——2B—2