第五章 实数 学案（无答案）

5.1算术平方根
龙廷中学 刘夫伟 审核：刘道宽
教师寄语：我行，我看行.
学习目标：知识与能力
了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个非负数的算术平方根；
了解求一个数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根；
理解算术平方根的性质，经历探索算术平方根的过程，体会求非负数的算术平方根的运算与平方运算的互逆性.
重点：理解算术平方根的概念、性质，会用跟好表示一个非负数的算术平方根。
难点：理解算术平方根的概念、性质。
学习过程
自学探究　
小朋友做手工，小明同学想制作一个面积为16平方厘米的小木框，这个小木框的边长应取多少厘米？为什么？若正方形小木框的面积如下表数据时，边长应是多少
正方形的面积 1 9 25 36 4/25
边长
已知正方形的边长，我们会计算它的面积，反之，如果知道了正方形的面积，你会求它的边长吗？
一个正方形的面积是121，它的边长是多少？
一个正方形的面积是144，它的边长是多少？
一个正方形的面积是81，它的边长是多少？
总结归纳
一般的，如果一个正数x的平方等于a，即（ ），那么这个正数x就叫做a的算术平方根，记作“（ ）”，读作“根号a”。特别的，规定0的算术平方根是0，由此的（）=（ ）.
特别注意： .
实践操作
如上面的问题中，1是1的算术平方根，记作=1，你能用算术平方根写出上面问题中的解吗？
拓展应用，熟练新知
求下列个数的算术平方根。
(1)100 (2)9/16 (3)0.64 (4)21
2、用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60平方米的教师的地面，每块地板砖的边长是多少米？
中考链接
1、(2009 黑龙江哈尔滨)36的算术平方根是（ ）
2、（2009湖南邵阳）最接近的数是（ ）
3、（2009 山东济南）估计20的算术平方根的大小在（ ）
A 2与3之间 B 3与4之间 C4与5之间 D5与6之间
课堂小结
这节课我们主要学习了：
算术平方根的概念；
算术平方根的性质.
当堂测试
一 填空
非负数a的算术平方根表示为（ ），225的算术平方根是（ ）,0的算术平方根是（ ）。
=（ ），=（ ）
的算术平方根是（ ），︳-0.64︱=（ ）
二 选择
1、若x是49的算术平方根，则x=（ ）
A7 B -7 C 49 D -49
2、若=7，则x的算术平方根是（ ）
A 49 B 53 C 7 D
三 解答
（2009 湖北荆门）若 （x+y），则x-y的值是多少？
5.2勾股定理
龙廷中学 刘夫伟 审核：刘道宽
教师寄语：勤动脑，勤动手
学习目标：
1.知道勾股定理，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用；
2.在探索勾股定理的过程中，体会数形结合和由特殊到一般的思想方法，体会用分割法球图形的面积；
3.认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
教学重难点
重点：通过探索、猜想得到命题后证明其正确性及勾股定理的简单运用
难点：在探索勾股定理的过程中，计算各个正方形的面积
学习过程
情景引入
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：
周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地的数据呢？”
商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理：当直角三角形的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5.这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的.”如图所示:
操作探究
拼图一
如右图，正方形ABCD的面积
＝4个直角三角形的面积＋正方形PQRS的面积，∴a2＋b2＝c2．
拼图二
如右图，梯形面积=三个直角三角形的面积和，
通过上面的拼图你发现了什么？
归纳与小结
在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方.如右图所示，我们用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则：勾2+股2=弦2，亦即：（ ）.
拓展应用熟练新知
1△ABC中，a，b，c分别是三条边，∠B=90°，已知a=6，b=10，则c2=_____;
2已知一个Rt△ABC的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是 ;
3已知a，b，c为⊿ABC三边，a=6，b=8，b4、如图1,校园内有两棵树,相距12米,一棵树高为13米,另一棵树高8米,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞 ( )米.
本节小结
本节课我学习了什么
当堂测试
1.如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷
径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了
步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
2.图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 ．
3.（1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；
（2）如图2，，，且三点共线．试证明.
（3）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股
定理（1876年4月1日，发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试该证明过程．
4.折竹抵地（源自《九章算术》）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问
折者高几何 意即： 一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子
折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原长竹子处3尺远．问原处还有多
高的竹子
5.3是有理数吗
龙廷中学 刘夫伟 审核：刘道宽
教师寄语：给我一双翅膀，我会飞向天空
学习目标
借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无理数无线逼近的思想；
会判断一个数是有理数还是无理数；
能用数轴上的点表示有理数、无理数.
4、通过剪纸活动，引导学生发现问题，再分析问题，参与学习活动、讨论，在合作探究中获取无理数的知识.
教学重难点
重点：
1、无理数概念的探索过程；
2、用计算器进行无理数的估算；
3、了解无理数与有理数的区别，并能正确的进行判断.
难点：
1、无理数的概念及估算；
2、用所学定义正确判断所给数的属性.
学习过程
操作探究
同学们按照下列步骤剪纸并计算.
剪出一个腰长为一个1个单位长度的等腰直角三角形；
量出等腰直角三角形的斜边长（大约是多少个单位长度）；
运用勾股定理，计算出这个直角三角形的斜边长.
交流实践
趣味阅读
阅读“加油站”的小知识，思考：是一个多大的书呢？
分析
设x=，那么x=2，由此能求出的大致范围吗？
借助计算器继续做下去得到=（ ）.
可以看出，是一个无限循环小数.
归纳总结
我们得到是一个无限循环小数，像这样的无限不循环小数叫做无理数.那么类似的，我们可以算出
=（ ）；
=（ ）
=（ ）。
数轴与无理数
给出单位长度为1的线段，你能作出长度为的线段吗？会作出长度分比尔为和的线段吗？
拓展应用
1、如右图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心、正方形边长的一半为半径作圆.试探索三个圆的面积之间的关系.
2、图示是一种“羊头”形图案，其作法是，从正方形1开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形2和2′，…，依次类推，若正方形7的边长为1cm，则正方形1的边长为__________cm.
本节小结
这节课我学会了什么？
当堂测试
一 判断
1、有理数与无理数的差都是有理数（）
2、无限小数都是无理数（）
3、无理数都是无限小数（）
4、两个无理数的和不一定是无理数（）
二 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
0.351 - 3.14159 -5.232232223… 12345678910(由相继的正整数组成)
三 解答
1、如右图，美现的人造平面珊瑚礁图案，图中的三角形都是直角三角形，
图中的四边形都是正方形.如果图中所有的正方形的面积之和是980平
方厘米.则最大的正方形的边长是多少厘米？
2.如右图，直线上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为
5和11，则b的面积为（ ）
3.如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一
个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚
度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤13
5.4由边长判定直角三角形
龙廷中学 刘夫伟 审核：刘道宽
教师寄语:顺风可以飞的更快，逆风可以飞的更高
学习目标
探索直角三角形的判定条件
熟记一些够股数
3、对斜边-直角边判定方法进行猜想-归纳-验证这一过程，进一步熟练地运用勾股定理，把数和形结合起来解决实际问题。
教学重难点
重点：运用直角三角形的判定方法解决实际问题
难点：理解和应用直角三角形的判定方法
学习过程：
知识探究
1、一个单位长度，然后取一根长度为12单位的细绳，将它首尾相接并围成一个三角形，使得这个三角形的三条边长度分别为3、4、5，再用图钉把这个三角形钉在木板上。
计算一下，这个三角形三边满足a＋b＝c吗
度量以下这个三角形的各个内角，是怎样的三角形？
由此你得到了什么？
2、结果尝试
再取一根长度为30单位的细绳，围成边长分别为5、12、13的三角形，任何重复以上(1)、（2）步骤，你又发现了什么？
归纳总结
“如果一个三角形三边分别为a、b 、c，且满足
a＋b＝c ． 那么这个三角形是 ．” 我们在判断一个
三角形是不是直角三角形时，可直接运用这个定理．
温馨提示：勾股定理及其逆定理的联系与区别
定理 勾股定理 勾股定理的逆定理
内容 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c，那么a2+b2＝c2 如果三角形的三边长分别为a、b、c，满足a2+b2＝c2 ，那么这个三角形是直角三角形
题设 直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边为c 三角形的三边长分别为a、b、c，满足a2+b2＝c2
结论 a2+b2＝c2 这个三角形是直角三角形
用途 是直角三角形的一个性质 判定直角三角形的一种方法
拓展应用
由下列线段组成的三角形是不是直角三角形.
（2）8，11，13 （3）1.5，3.6，3.9
在△ABC中，a=，b=2mn，c=，其中m，n是正整数，且m＞n，试判断△ABC是否是直角三角形．
本课小结
这节课我学习了什么？
当堂测试
1、命题中错误的是( )．
A．△ABC中,若∠B=∠C－∠A,则△ABC是直角三角形.
B．△ABC中,若a2=(b+ c)(b－c),则△ABC是直角三角形.
C．△ABC中,若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5则△ABC是直角三角形.
D．△ABC中,若a∶b∶c=5∶4∶3则△ABC是直角三角形.
2.如图所示，是一农民建房时挖的地基的平面图，按标准应是长方形，他挖完后测量了一下，发现AB=DC=6cm，AD=BC=8cm,AC=9cm，请你帮他看一下挖的是否合格
3.如图，在△ABC中，D为BC边上一点，已 知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，那么DC＝_____．
　
4.给你一根长为30cm的木棒，现要你截取三段，做一个直角三角形，应怎样截取（取整数，允许有余料）请你设计三种方案.方案1____________________;
方案2_________________；方案3_____________________.（
5.5平方根
龙廷中学 刘夫伟 审核：刘道宽
教师寄语：多一点努力，就多一点成功
学习目标：
了解平方根的概念，会表示一个数的平方根；
知道开方与乘方是互逆运算，能利用这个互逆运算求某些非负数的平方根；
3.体验数学的转化过程.
教学重难点
重点：了解平方根的概念，会表示一个数的平方根。
难点：会求某些非负数的平方根.
学习过程
一、复习回顾：　　
想一想：　　
（1）9的算术平方根是____.
(2）平方等于 的数是_____ .平方等于0.64的数是____
(3)一对互为相反数的平方有什么关系？ 　　
总结：由以上问题可知平方得一个正数的数有 个，并且 。　　
二、自学指导　　
仔细阅读教材，下列问题：　　
1.举例说明平方根的概念。并与算术平方根概念区别。　　
2.什么叫开平方？。　　
3.正数的平方根有什么特点？负数有平方根吗？　　
8分钟后看谁学的认真，效果好.　
三、自学检测题　　
1.理解记忆概念：　　
（1）如果一个数的平方等于 　，那么这个数叫做 的平方根或二次方根.这就是说，如果x2 =a,那么 叫做 的平方根；　　
（2）求一个数的 的运算叫做开平方运算.平方与 互为逆运算。
（3）求一个数的 的运算叫做开平方.　　
（4）正数的平方根有 个，它们 ，其中 的平方根就是这个数的算术平方根.0的平方根是 .任何一个数的平方都不会是 ，所以 没有平方根.
（5）正数 的算术平方根用 表示；正数 的负的平方根用符号“ ”表示.
正数a的平方根用符号“ ”表示，读作“ ”，
其中当a 时，有意义。.　
2.练一练：　　
1、求下列数的平方根　　
⑴ 0.04 ⑵（—4）2 ⑶ 104 　　
解：　　
　
2、你能根据平方根的定义求出下列各式中的未知数x吗？　　
x2＝49 （2）25x2=36 　　
　 　
　
三、小组交流、讨论：　　
平方根与算术平方根有何区别？　　
　 　
四、小结：本节课你有什么收获？还有什么困惑？　　
当堂训练　　
1、判断下列说法是否正确　　
⑴5是25的算术平方根 （ ）　　
⑵-5是25的一个平方根 （ ）　　
⑶ 16的平方根是－4 （ ）　　
⑷ 0的平方根与算术平方根都是0 （ ）　　
填空121的算数平方根是 ( ) 1.69的算数平方根的相反数是( )　
49/121的平方根是 ( ) （-0.3）的平方的算数平方根是 ( ) 　
4.若 x的算数平方根是7，则 x是( ) ， 81/16的平方根是（ ）。 5、给出下列各数： 49, 0, -4 , -(-3), -(-5)的平方，
其中有平方根的数共有（ ）　　
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个　　
6、若一个数a的平方根等于它本身，数b的算术平方根也等于它本身，试求
a+b的平方根
5.6立方根
龙廷中学 刘夫伟 审核：刘道宽
教师寄语：时间是生命，时间就是速度
学习目标
理解立方根的概念，能运用根号正确表示立方根；
掌握开立方运算求某些数的立方根的方法；
能用开立方运算求数的立方根，体会立方与立方根运算的互逆性；
4、感受所学数学知识之间的内在联系，增强合作意识.
教学重难点
重点：理解立方根的概念，会求一个数的立方根
难点：一个数的立方根的符号的确定
学习过程
一实践探究
你们喜欢玩魔方吗？这是由27个同样大小的单位立方体组成的魔方，这27个小立方体可以重新排列，组成魔方表面的各种不同的美丽图案。现在要做一个体积为27cm3的立方体魔方，它的棱要取多少长？你是怎么知道的？体积为8 cm3和体积为1000 cm3的立方体的棱又是要取多少长呢？
归纳：
一般地，一个数x的立方等于a，即 ，那么这个数x就叫做a的 （也叫做a的三次方根），记做 .如：，则2叫做8的立方根，即；，则是的立方根，即。其中a是被开方数，3是根指数，符号读做“三次根号”.
二、探究交流
对比平方根，谈一下他们的异同
三 拓展应用
1.求下列各数的立方根：
（1）27； （2）； （3）； （4）； （5）0 （6）-5
2.下列语句正确的是( )
A.的立方根是2 B. -3是27的立方根 C. 的立方根是 D.的立方根是-1
3.有下列命题:①负数没有立方根;②一个数的立方根不是正数就是负数;③一个正数或负数的立方根和这个数同号,0的立方根是0;④如果一个数的立方根是这个数本身,那么这个数必是1和0.其中错误的是( )
A.①②③　　　　B.①②④　　　　C.②③④　　　　D.①③④
四 课堂小结
本节课我学会了什么？
当堂测试
1.的立方根是（ ）
A、8 B、 C、2 D、
2.一个数的立方根是它本身，这个数是 ；一个数的立方根等于它的平方根，这个数是 ．
3.，则x=_________.
4.下列说法正确的是（ ）
A、 0.01是0.1的平方根 B、 的平方根是
C、8的立方根是 D、平方根与立方根相等的数是0
5.计算：
（1）　（2） （3）
6. 求下列各数的立方根
（1）－0.008　 （2） （3） （4）0
7． 如果一个正方体的体积增大为原来的64倍，那么它的棱长增大为原来的多少倍？
5.7方根的估算
龙廷中学 刘夫伟 审核：刘道宽
教师寄语：我想飞的更高
学习目标
能通过估算并检验结果的合理性，能估计一个无理数的大致范围，并能通过估计比较两个数的大小；
通过小组合作交流，培养合作意识和处理问题的能力；
培养把数学应用于日常生活的能力、对结果合理性的觉察能力以及近似估算能力
重难点
重点：掌握估算的方法，能通过估算检验计算结果的合理性。
难点：掌握估算的方法，形成估算的意识。
学习过程
一 知识探究
我们知道，带根号的数不一定是无理数，例如等，但那些开方开不尽的一定是无理数，例如等，它们的值都是无限不循环小数，对它们的求值，我们可以通过夹逼（或称做渐进）的方法估计它们的值所在的范围.
举例说明：
二 比较大小
两个有理数的大小比较方法较多，比如将它们化为小数再逐级比较等等，若有无理数参与的话应先对无理数求近似值，然后逐级比较。当然，还有许多特殊的方法，比如平方法、做差法、估算法等。合理的选用特殊方法比较数的大小，会让运算变得简单
引申思考
若a＞b＞0,则＞＞0, ＞＞0.
三 迁移运用
1．估算（精确到十分位）≈_________．
2.比较大小：(1)_______6.26.
3、已知a　b分别是6－的整数部分与小数部分，则2a－b=______．
本课小结
本节课我学会了什么？
当堂测试
1．大家都知道是一个无理数，那么－1在哪两个整数之间？
A．1与2　　　　B．2与3　　　C．3与4　　　D．4与5
2.写出一个-6～-5之间的无理数：　 　　　.
3.若规定误差小于1，那么的估算值为（ ）
A.3 B.7 C.8 D.7或8
4.估算下列各数的大小：
（1）（误差小于100）；（2）（误差小于10）；（3）（误差小于1）；（4）（误差小于0.1）. ；
5.估算比较大小：
（1）—_________—3.2； （2）_________5；
（3）_________； （4）_ （填“＞”或“＜”）.
6.已知的整数部分是，小数部分是，求的值.
5.8用计算器求平方根和立方根
龙廷中学 刘夫伟 审核：刘道宽
教师寄语：我动手，我成功！
学习目标
1、学会用计算器求平方根和立方根；
2、经历运用计算器探求数学规律的过程，培养合情推理的能力；
3、培养认真、仔细的学习态度，体验学习的成就感.
学识过程
一、 知识探究
俗话说，登高望远。从理论上说，当人站在距地面h千米高处时，能看到的最远距离约为千米。上海金茂大厦观光厅高340米，人在观光厅里最多能看多远（结果保留3个有效数字）？显然，过去我们只能估算无理数的近似值，对于这种计算就有点力不从心了，所以我们学习用计算器进行开方运算。开方运算要用到键和键。对于开方运算，按键顺序为：被开方数=。对于开立方运算，按键顺序为：被开方数=。
二 、迁移运用
1.试一试： 用计算器计算：
（1） ; （2） ; （3） .
2．利用计算器比较与的大小。
三 、拓展应用
利用计算器求出下列各式的值
本课小结：
当堂测试
1.估计的运算结果应在（　 　）．
Ａ．6到7之间 Ｂ．7到8之间 Ｃ．8到9之间 Ｄ．9到10之间
2.比较大小：—_______—;_______.
3.一个正数的平方等于144，则这个正数是____________；一个负数的立方等于—27，则这个负数是____________；一个数的平方等于5，则这个数是___________.
4.在、、、、……、这些数中最少取出_________个数求和，才能使这些数的和大于10。
5.请计算：的末尾共有多少个0？
6.小芳想在墙壁上钉一个三角架(如下图)，其中两直角边长度之比为3∶2,斜边长厘米，求两直角边的长度.(误差小于1)
7、请计算：333 333 3334×333 333 3333的乘积中共有________个数字是偶数？
对此种问题的解决要从局部入手观察，发现规律.
C
B
A
比较两数大小的方法很多，你掌握几种了？