(共22张PPT)
人教版
九年级上
21.2.4
一元二次方程
的根与系数的关系
新知导入
学习目标：
1.掌握根与系数的关系；
2.利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值。
新知导入
用适当的方法解下列方程:
其中
x1+x2=
,
x1x2=
x2+5x-14=0
解：(x-2)(x+7)=0
x-2=0，x+7=0
x1=2，x2=
-7
-5
-14
不解方程，你能快速求出
x1+x2与x1x2
的值吗？
任意一个一元二次方程，如果不解方程，你能快速求出
x1+x2与x1x2
的值吗？
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，
两根之和x1+x2、两根之积x1x2
与系数有怎样的关系呢？
根据求根公式可知：
新知讲解
由此可知：
因此，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2
和系数a、b、c有如下关系：
新知讲解
任何一个一元二次方程的根x1，x2和系数a、b、c的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
注意：先把方程写成一般形式，确定a、b、c的值。
思考：把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边同时除以a，能否得出以下结论？
新知讲解
方程两边同时除以a，得：
，通过解方程，依然能够得出上述结论。
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系，也叫做韦达定理。
新知讲解
注意：使用的前提条件为b2-4ac≥0
合作探究
例4
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根
x1，x2
的和与积:
(1)
x2-6x-15=0
(2)3x2+7x-9=0
(3)
5x-1=4x2
合作探究
解：(1)
a=1,b=
-6,c=
-15
x1+x2=
-(-6)=6，x1x2=
-15
(2)
a=3,b=7,c=
-9
x1+x2=
，x1x2=
(3)
方程可化为
4x2-5x+1=0
a=4,b=
-5,c=1
x1+x2=
，x1x2=
合作探究
小结：求根与系数的关系的步骤：
1.化：把方程化成一般形式；
3.求：求出x1+x2、x1x2的值；
4.验：检验b2-4ac≥0.
2.定：确定a,b,c的值；
课堂练习
1.
不解方程，求下列方程两根之和与两根之积:
(1)
x2-3x=15
(2)
3x2+2=1-4x
(3)5x2-1=4x2+
x
(4)
2x2-x+2=3x+1
课堂练习
a=1,b=-3,c=-15
解：(1)方程可化为x2-3x-15=0
x1+x2=
-(-3)=3，x1x2=
-15
(2)方程可化为3x2+4x+1=0
a=3,b=4,c=1
x1+x2=
，x1x2=
课堂练习
(3)
方程化为x2-x-1=0
a=1,b=-1,c=-1
a=2,b=-4,c=1
(4)
方程化为2x2-4x+1=0
x1+x2=1，x1x2=
-1
x1+x2=2，x1x2=
课堂练习
2.已知
3x2+2x-9=0
的两根是x1、x2.
求：(1)
(2)x12+x22
课堂练习
解：
a=3,b=2,c=-9
x1+x2=
，x1x2=
根与系数关系的变形
课堂练习
3.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,求它的另一个根及k的值.
解：将x=2代入方程，得
22-2(k+1)+3k=0
解得
k=
-2
2x1=3k=-6
x1=-3
课堂练习
4.设x1,x2是方程x2-2(k-1)x+k2
=0的两个实数根,且x12
+x22=4，
求k的值.
解：由题意,得
x1x2=k2
x12+x22=4
Δ=4(k-1)2-4k2≥0
k1=0,
k2=4.
k≤0.5
∴k=0
x1+x2=2(k-1)
课堂总结
注意：能用根与系数的关系的前提条件：b2-4ac≥0
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系(韦达定理)
板书设计
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
根与系数的关系(韦达定理)：
例4
练习
作业布置
1.必做题：教材P17
第
7
题
2.选做题：教材P25
第
4
题
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
教学设计
课题
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
单元
第21章
学科
数学
年级
九年级
学习目标
1.掌握根与系数的关系；2.利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.
重点
掌握根与系数的关系.
难点
利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：用适当的方法解下列方程:x2+5x-14=0解：(x-2)(x+7)=0x-2=0，x+7=0x1=2，x2=
-7其中
x1+x2=
-5
,
x1x2=-14思考：（1）不解方程，你能快速求出
x1+x2与x1x2
的值吗？（2）任意一个一元二次方程，如果不解方程，你能快速求出
x1+x2与x1x2
的值吗？
学生回忆、思考并回答问题.
提出问题，寻找解决办法，为下面推导根与系数的关系奠定基础.
讲授新课
环节一：推导根与系数的关系一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x1，x2，
两根之和x1+x2、两根之积x1x2
与系数有怎样的关系呢？根据求根公式可知：由此可知：因此，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：任何一个一元二次方程的根x1，x2和系数a、b、c的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。注意：先把方程写成一般形式，确定a、b、c的值。思考：把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边同时除以a，能否得出以下结论？方程两边同时除以a，得：，通过解方程，依然能够得出上述结论。归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系，也叫做韦达定理。注意：使用的前提条件为b2-4ac≥0
环节二：典例解析例4
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2
的和与积:x2-6x-15=0
(2)3x2+7x-9=0
(3)5x-1=4x2
解：(1)a=1,b=
-6,c=
-15
x1+x2=
-(-6)=6，x1x2=
-15
(2)a=3,b=7,c=
-9x1+x2=
，x1x2=-3
(3)方程化为
4x2-5x+1=0
a=4,b=
-5,c=1x1+x2=
，x1x2=
小结：求根与系数的关系的步骤：1.化：把方程化成一般形式；2.定：确定a,b,c的值；3.求：求出x1+x2，x1x2的值；4.验：检验b2-4ac≥0.环节三：课堂练习不解方程，求下列方程两根之和与两根之积:(1)x2-3x=15
(2)3x2+2=1-4x
(3)5x2-1=4x2+
x
(4)2x2-x+2=3x+1
解：(1)方程化为x2-3x-15=0a=1,b=-3,c=-15
x1+x2=3，x1x2=-15(2)方程化为3x2+4x+1=0a=3,b=4,c=1x1+x2=，x1x2=(3)方程化为
x2-x-1=0a=1,b=--1,c=-1
x1+x2=1，x1x2=-1(4)方程化为2x2-4x+1=0
a=2,b=-4,c=1
x1+x2=2，x1x2=
2.已知
3x2+2x-9=0
的两根是x1、x2.求：(1)
(2)x12+x22
解：
a=3,b=2,c=-9x1+x2=，x1x2=-3
3.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2,
求它的另一个根及k的值.解：将x=2代入方程，得22-2(k+1)+3k=0解得
k=
-22x1=3k=-6x1=-34.设x1,x2是方程x2-2(k-1)x+k2
=0的两个实数根,且x12
+x22=4，求k的值.解：由题意,得x1+x2=2(k-1)x1x2=k2x12+x22=4Δ=4(k-1)2-4k2≥0解得：k1=0,
k2=4.k≤0.5∴k=0
师生合作，借用求根公式推导根与系数的关系.借助典型例题,展示求解两根之和与两根之积的步骤，并进行总结.学生练习，师生互评订正.
推导根与系数的关系.培养学生计算能力以及熟练根与系数的关系.通过练习，使学生熟练掌握方程根与系数的关系.
课堂小结
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系(韦达定理)：
注意：能用根与系数的关系的前提条件：b2-4ac≥0
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
21.2.4
一元二次方程的根与系数的关系
根与系数的关系(韦达定理)：
例4
练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.
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2
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（共
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