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24.1.2垂直于弦的直径
一．选择题
1．如图，⊙O的半径为5，AB为弦，半径OC⊥AB，垂足为点E，若OE=3，则AB的长是（ ）
A．4
B．6
C．8
D．10
2．如图，圆O过点A、B，圆心O在正△ABC的内部，AB=2，OC=1，则圆O的半径为（ ）
A．
B．2
C．
D．
3．已知⊙O的半径为4，则垂直平分这条半径的弦长是（ ）
A．
B．
C．4
D．
4．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（ ）
A．3≤OM≤5
B．4≤OM≤5
C．3＜OM＜5
D．4＜OM＜5
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CM=DM
B．
C．∠BOD=2∠A
D．OM=MB
6．⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，且AB=8cm，CD=6cm，则AB与CD之间的距离为（ ）
A．1cm
B．7cm
C．3cm或4cm
D．1cm或7cm
二．填空题
7．如图，AB是⊙O的直径，AB=4，点M是OA的中点，过点M的直线与⊙O交于C，D两点．若∠CMA=45°，则弦CD的长为
．
8．如图，⊙O的半径是4，△ABC是⊙O的内接三角形，过圆心O分别作AB、BC、AC的垂线，垂足为E、F、G，连接EF．若OG﹦1，则EF为
．
9．如图，⊙O的半径为5，弦BC=8，点A在⊙O上，AO⊥BC，垂足为D、E为BC延长线上一点，AE=10，则CE的长为
．
10．如图，在半径为2的⊙O中，弦AB=2，⊙O上存在点C，使得弦AC=2，则∠BOC=
°．
三．解答题
11．如图，AB为⊙O的弦，AB=8，OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，且CD=l，求⊙O的半径．
12．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．
求证：AE=BF．
参考答案
一．选择题
1．C；2．D；3．B；4．B；5．D；6．D；
二．填空题
7．；8．；9．2；10．30°或150°；
三．解答题
11．解：如图：
连接OA，由OC⊥AB于D，得：AD=DB=1
2
AB=4．
设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中，OA2=AD2+OD2
∴r2=（r-1）2+42
整理得：2r=17
12．证明：如图，
过点O作OM⊥AB于点M，则AM=BM．
又∵OE=OF
∴EM=FM，
∴AE=BF．
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精品试卷·第
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垂直于弦的直径
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
温故知新：
我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题
1）什么是轴对称图形？
2）我们学习过的轴对称图形有哪些？
1）如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
2）如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
一、探究新知
探究1：折一折
新课讲解
拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
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（1）圆是轴对称图形.
（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）.
（3）圆的对称轴有无穷多条.
新课讲解
由此你能得到什么结论？
探究2：
新课讲解
如图,AB是⊙O的一条弦,
直径CD⊥AB,
垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧?
线段:
AE=BE
·
O
A
B
C
D
E
弧:
AC=BC,
AD=BD
(
(
(
(
理由如下：连接AO,BO.
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC,AD与BD重合．
⌒
(
(
(
(
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新课讲解
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
∵
CD是直径，CD⊥AB，
∴
AE=BE,
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD
=BD.
·
O
A
B
C
D
E
这样我们就得到垂径定理：
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
进一步，我们还可以得到推论：
新课讲解
如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？
提示：这两条弦在圆中的位置有两种情况：
①两条弦在圆心的同侧
②两条弦在圆心的两侧
·
O
A
B
C
D
·
O
A
B
C
D
∴
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
将圆沿竖直直径对折可发现，两条弦所夹的弧重合。
“知二推三”
(1)垂直于弦
(2)过圆心
(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(1)(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,几种条件要相互转化,形成整体,才能运用自如.
新课讲解
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新课讲解
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
·
O
A
B
C
D
圆的两条直径是互相平分的.
新课讲解
你可以写出相应的命题吗?
相信自己是最棒的!
垂径定理的推论:
如图,在下列五个条件中:
只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.
●O
A
B
C
D
M└
①
CD是直径,
③
AM=BM,
②
CD⊥AB,
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
新课讲解
垂径定理及推论
●O
A
B
C
D
M└
条件
结论
命题
①②
③④⑤
①③
②④⑤
①④
②③⑤
①⑤
②③④
②③
①④⑤
②④
①③⑤
②⑤
①③④
③④
①②⑤
③⑤
①②④
④⑤
①②③
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平
分弦所对的两条弧.
平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.
弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.
垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.
平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.
平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.
新课讲解
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
新课讲解
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
A
B
O
D
C
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新课讲解
自主练习：
1.判断：
(1)平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。
(2)平分弦的直线，必定过圆心。
(3)一条直线平分弦（这条弦不是直径），
那么这
条直线垂直这条弦。
?
?
?
A
B
C
D
O
(1)
A
B
C
D
?O
(2)
A
B
C
D
?O
(3)
新课讲解
(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。
(5)平分弧的直线，平分这条弧所对的
弦。
(6)弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。
?
?
?
A
B
C
?O
(4)
A
B
C
D
?O
(5)
A
B
C
D
?O
(6)
E
(7)平分弦的直径垂直于弦。
?
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新课讲解
我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？
二、垂径定理的实际应用
新课讲解
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB
所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴
AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
=18.52+(R-7.23)2
∴
AD=
AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
新课讲解
如图a、b,一弓形弦长为
cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为_______________.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2cm或12cm
自主练习：
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新课讲解
在圆中有关弦长a,半径r,
弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
A
B
C
D
O
h
r
d
O
A
B
C
·
方法归纳：
教学目标
课堂练习
1．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
·
O
A
B
E
解：
答：⊙O的半径为5cm.
在Rt△AOE中
教学目标
课堂练习
2．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴
AE=AD
∴
四边形ADOE为正方形.
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教学目标
课堂练习
3.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
.
A
C
D
B
O
E
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴
AE－CE＝BE－DE
即
AC＝BD.
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
教学目标
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
直径平分弦
直径垂直于弦=>
直径平分弦所对的弧
直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）
直径平分弦所对的弧
直径平分弧所对的弦
直径平分弧
直径垂直于弧所对的弦
=>
=>
１、圆是轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
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https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
