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24.1.3弧、弦、圆心角
一．选择题
1．如图，在⊙O中，若点C是的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．60°
2．下列语句中，正确的有（ ）
A．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．长度相等的两条弧相等
D．圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴
3．在半径为1的圆中，长度等于的弦所对的弧的度数为（ ）
A．90°
B．145°
C．90°或270°
D．270°或145°
4．⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＞2AM
B．AB=2AM
C．AB＜2AM
D．AB与2AM的大小不能确定
5．下列语句中不正确的有（ ）
①相等的圆心角所对的弧相等；
②平分弦的直径垂直于弦；
③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴；
④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个
B．2个
C．1个
D．以上都不对
6．如图，⊙O中，如果=2，那么（ ）
A．AB=AC
B．AB=2AC
C．AB＜2AC
D．AB＞2AC
二．填空题
7．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为
．
8．如图，⊙O的半径是8，AB是⊙O的直径，M为AB上一动点，==，则CM+DM的最小值为
．
9．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为2：4：5：7，则最大扇形的圆心角是
．
10．如图，AB是⊙O的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO的度数是
．
三．解答题
11．已知如图所示，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC和弧BC相等，M、N分别是OA、OB的中点．求证：MC=NC．
12．如图，⊙O的半径OA⊥OC，点D在上，且=2，OA=4．
（1）∠COD=
°；
（2）求弦AD的长；
（3）P是半径OC上一动点，连结AP、PD，请求出AP+PD的最小值，并说明理由．
（解答上面各题时，请按题意，自行补足图形）
参考答案
一．选择题
1．A；2．A；3．C；4．C；5．AC；6．C；
二．填空题
7．60°；8．16；9．140°；10．51°；
三．解答题
11．证明：∵弧AC和弧BC相等，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB
M、N分别是OA、OB的中点
∴OM=ON，
在△MOC和△NOC中，OM＝ON
∠AOC＝∠BOC
OC＝OC
∴△MOC≌△NOC（SAS），
∴MC=NC
12．解：（1）∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
∵AD=2CD，
∴∠AOD=2∠COD，
故答案为：30；
（2）连结OD、AD，如图1所示：
由（1）知∠AOD=2∠COD=2×30°=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD为等边三角形，
∴AD=OA=4；
（3）过点D作DE⊥OC，交⊙O于点E，连结AE，交OC于点P，则此时，AP+PD的值最小，
延长AO交⊙O于点B，连结BE，如图2所示：
∵根据圆的对称性，点E是点D关于OC的对称点，
OC是DE的垂直平分线，
即PD=PE，
∴AP+PD最小值=AP+PE=AE，
又∵OA⊥OC，DE⊥OC，
∴OA∥DE，
∴∠OAE=∠AED=30°，
∵AB为直径，
∴△ABE为直角三角形，
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精品试卷·第
2
页
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弧、弦、圆心角
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
温故知新：
我们学过的几何图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的有哪些？
两者都是的有线段、直线、相交线、矩形、菱形、正方形等．
一、探究新知
探究1：转一转
新课讲解
剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
O
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N
画出圆形纸片的的半径
ON，以此为参照，
绕圆心
O
旋转180°
O
N′
新课讲解
所得的图形与原图形重合，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。
21cnjy
N
把圆形纸片绕圆心
O
旋转任意一个角度．
O
N′
新课讲解
15°
N
把圆形纸片绕圆心
O
旋转任意一个角度．
O
N′
新课讲解
30°
21cnjy
N
把圆形纸片绕圆心
O
旋转任意一个角度．
O
N′
新课讲解
60°
N
把圆形纸片绕圆心
O
旋转任意一个角度．
O
N′
新课讲解
n°
由此可以看出，点
N′仍落在圆上．
新课讲解
结论：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合．
N
O
n°
N′
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．如∠NON′是圆
O
的一个圆心角．
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O
A
B
M
1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB
.
3.圆心角
∠AOB所对的弦为AB.
任意给圆心角，对应出现三个量：
圆心角
弧
2.圆心角
∠AOB
所对的弧为AB.
⌒
弦
概念总结：
新课讲解
新课讲解
判别下列各图中的角是不是圆心角.
自主练习：
①
②
③
④
圆内角
圆外角
圆周角（后面会学到）
圆心角
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新课讲解
探究2：在同一个圆中，相等的圆心角及其所对的弧、弦之间有什么关系呢？
在同圆中探究
·O
A
B
A′
B′
1.如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
新课讲解
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，
∠AOB＝∠A′OB′，
射线
OA与OA′重合，OB与OB′重合．
而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，
∴点
A与
A′重合，B与B′重合．
A
B
A′
B′
∴
AB与A′B′重合，AB与A′B′重合．
（
（
·O
·
·
新课讲解
在等圆中探究
2.如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO
′
D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
O
A
B
O
′
C
D
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：
如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，弦AB=弦CD.
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新课讲解
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
①∠AOB=∠COD
②AB=CD
⌒
⌒
③AB=CD
弧、弦与圆心角的关系定理
归纳总结：
·O
A
B
C
D
新课讲解
想一想：
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
新课讲解
在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
③AB=CD
①∠AOB=∠COD
⌒
⌒
②AB=CD
弧、弦与圆心角关系定理的推论
归纳总结：
·O
A
B
C
D
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中，
有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
新课讲解
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新课讲解
二、学以致用
证明：
∴
AB=AC．△ABC是等腰三角形.
又∠ACB=60°，
∴
△ABC是等边三角形
,
AB=BC=CA.
∴
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
如图，在⊙O中，
AB=AC
,∠ACB=60°,
求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
A
B
C
O
⌒
⌒
∵AB=CD，
⌒
⌒
弧、弦与圆心角关系定理的应用：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
新课讲解
方法归纳：
证明：∵AC=BC
∴∠AOC=∠BOC，
∵D、E分别是OA、OB的中点,
且OA=OB，
∴OD=OE，
变式练习：
新课讲解
如图，OA、OB、OC分别是⊙O的半径，且AC=BC，D、E分别是OA、OB的中点，求证：CD=CE．
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∴△DOC≌△EOC，
∴CD=CE．
OD＝OE
∠AOC＝∠BOC
OC＝OC
在△DOC和△EOC中，
新课讲解
教学目标
课堂练习
1．如果两个圆心角相等，那么
（
）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于_______.
D
60
°
教学目标
课堂练习
A.
AB=2CD
⌒
⌒
B.
AB>CD
⌒
⌒
C.
AB⌒
⌒
D.
不能确定
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是
（
）
⌒
⌒
A
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教学目标
课堂练习
4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC
求证:AB＝CD.
C
A
B
D
O
.
⌒
⌒
∵
AD=BC
⌒
⌒
教学目标
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
圆心角
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
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人教版数学九年级上24.1.3弧、弦、圆心角教学设计
课题
24.1.3弧、弦、圆心角
单元
第二十四章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，同时渗透事物之间是可相互转化的辨证唯物主义教育。
能力目标
通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题，进一步理解和体会研究几何图形的各种方法。
知识目标
1．了解圆心角的概念；
2．掌握在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各组量也相等。
重点
同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系。
难点
从圆的旋转不变性出发，得到圆心角，弦，弧之间的相等关系及其应用。
学法
自主探究、合作交流
教法
操作、探究法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
温故知新:思考下面的问题：我们学过的几何图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是？
学生讨论，凭借已有经验，思考并回答问题。
通过复习，强化学生已学相关的知识，为学生自主探究做奠基。
讲授新课
一、探究新知探究1：转一转剪一个圆形纸片，把它绕圆心旋转180°，所得的图形与原图形重合吗？由此你能得到什么结论？把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？圆心角定义：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角．如∠NON′是圆
O
的一个圆心角．自主练习：判别下列各图中的角是不是圆心角.探究2：在同一个圆中，圆心角及其所对的弧、弦之间有什么关系呢？在同圆中探究1.如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？在等圆中探究2.如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO
′
D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？归纳总结：
想一想：
定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？归纳总结：
学生思考问题。学生动手：把圆形纸片沿着绕圆心旋转180°，之后再圆绕圆心旋转任意一个角度，重复做几次。学生观察：把圆绕圆心旋转后与原来的图形重合，得出圆是中心对称图形的结论。
学生自主思考后，回答老师提出的问题。通过该问题引起学生思考，进行探究，发现关系定理，初步感知培养学生的分析能力，解题能力。学生讨论，思考推论的可行性并回答教师问题。通过解答问题，教师引导学生寻找规律，总结出弧、弦与圆心角的关系定理及其推论。
通过动手活动培养学生的动手能力，观察能力，通过比较，运用旧知识探索新问题。帮助学生将知识内化、通过独立练习消化吸收，并达到一种检验的目的.感受类比思想，类比中全面透彻地理解和掌握关系定理和它的推论，并进行推广，得到其他几个定理，完整的把握所学知识.
给出一般叙述，以其更好的应用.
三、学以致用
如图，在⊙O中，弧AB=弧AC
,∠ACB=60°,求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.方法归纳：弧、弦与圆心角关系定理的应用：弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键..变式练习：如图，OA、OB、OC分别是⊙O的半径，且AC=BC，D、E分别是OA、OB的中点，求证：CD=CE．
学生观看ppt，自主思考解题思路后讨论，回答老师提出的问题。教师根据学生解题思路总结有关“弧、弦与圆心角关系定理”的应用的解题方法。
通过解答例题，达到知识的学以致用。帮助学生巩固知识、将知识内化，进一步理解，培养学生的应用意识和能力。
课堂练习
1．1．如果两个圆心角相等，那么
（
）A．这两个圆心角所对的弦相等B．这两个圆心角所对的弧相等C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D．以上说法都不对2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于_______.
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,弧AB与弧CD的关系是
（
）4.如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，AD=BC
求证:AB＝CD.
讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知。
通过练习巩固本课所学，创设学生活动的机会，及时反馈知识的掌握情况。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
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