(共21张PPT)
圆周角（2）
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
一、复习旧知：
1、还记得圆周角的定义吗？
2、请你说出圆周角定理及推论。
圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
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教学目标
新知讲解
活动1，抢答：
1.你能用三角尺画出下面这个圆的圆心吗？
二、探究新知
①利用对称性，两次对折纸片找到直径的交点；
②利用“90度的圆周角所对的弦是直径”找到两条直径的交点。
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教学目标
新知讲解
2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°，
则∠DBC=__________，
∠BDC=____________，
∠BCD=____________。
45°
55°
80°
3.如图，BD是⊙O的直径，∠ABC=130°
则∠ADC=______。
80°
教学目标
新知讲解
活动1：讨论
请看我们做的抢答习题第2、3题，同学们有没有发现什么规律，请大家以小组为单位讨论后发言。
这个四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上。
这个四边形的对角和是180°。
教学目标
新知讲解
这两道题里的四边形有一个特点：
⊙O叫做四边形ABCD的外接圆。
四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上，我们把这个四边形叫做圆内接四边形。
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圆内接三角形
教学目标
新知讲解
圆内接五边形
圆内接六边形
现在，同学们能总结出“圆内接多边形”的定义了吗？
一般地说，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
?
圆内接四边形的定义
教学目标
新知讲解
我们再来看圆内接四边形有什么性质。
教学目标
新知讲解
猜想：∠A与∠C,
∠B与∠D之间的关系为∠A+
∠C=180?，∠B+
∠D=180?
如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形，那么其相对的两个内角之间是什么关系？请你证明这个结论。
证明：连接OB,OD
在⊙O中，∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD.
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教学目标
新知讲解
又∵BCD与BCD所对的圆心角的度数之和为360°，
同理：∠B+∠D=180°.
得出结论：圆内接四边形对角互补.
几何语言：
∵四边形ABCD内接于⊙O
∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
教学目标
新知讲解
1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠
A=60°，
填空：
(1)∠BCD=_______；
(2)∠DCE=________；
(3)∠B+∠D=________.
自主练习：
120°
60°
180°
教学目标
新知讲解
2.如图，四边形ABCD是⊙
O的内接四边形，
∠BOD=100°，
则∠BAD=______，
∠BCD=_______。
50°
130°
教学目标
新知讲解
求证：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
已知：如图，四边形
ABCD是⊙O的内接四边形.求证：∠DCE=∠A.
三、深入探究
证明：∵∠DCE+∠BCD=180°，
又∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A.
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自主练习：
教学目标
新知讲解
如图
，四边形
ABCD
是圆内接四边形，点
E
是BC
延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE
的大小是（
）
A．115°
B．105°
C．100°
D．95°
B
1．如图
，在⊙O
的内接四边形
ABCD
中，∠BCD＝130°，则∠BOD
的度数是_________．
教学目标
课堂练习
100°
教学目标
课堂练习
2．如图
，点A，B，C，D，E
五等分圆，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝(
)
A．180°
B．150°
C．135°
D．120°
A
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教学目标
课堂练习
3.如图，已知四边形
ABCD
内接于⊙O，∠BOD
＝80°，求∠BAD
和∠BCD
的度数．
解：∵∠BOD=80°
∴∠BAD=40°．
又∵ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠BCD=180°，
∴∠BCD=140°．
4、如图，在⊙O中，AB为直径，弧CB
=弧CF,弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E。求证：BE=EC
教学目标
课堂练习
证明：连接BC，∵OB是半径，CG⊥AB，
∴弧BC=弧BG，
∵弧BC=弧CF，
∴弧CF=弧BG，
∵圆周角∠CBF对弧CF，圆周角∠BCG对弧BG，
∴∠CBF=∠BCG，
∴BE=CE．
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教学目标
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
圆周角定理推论：
圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
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人教版数学九年级上24.1.4.2圆周角（2）教学设计
课题
24.1.4圆周角
单元
第二十四章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
在圆周角定理的推论的发现过程中，不断变化图形，树立运动变化和对立统一的辩证证唯物主义观点。
能力目标
通过圆周角定理的实际应用，发现圆内接四边形的对角互补的推论，进一步发展合情推理和演绎推理能力，感悟从特殊到一般、化一般为特殊的数学思想。
知识目标
1.了解并证明圆周角定理的推论：圆内接四边形的对角互补。2.能应用圆周角定理及其推论解决问题。
重点
圆内接四边形的对角互补。
难点
圆周角定理及其推论的综合运用。
学法
自主探究、合作交流；
教法
引导发现、直观演示教学法；
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、复习旧知1、还记得圆周角的定义吗？2、请你说出圆周角定理及推论。圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等.推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
教师提出问题，学生回忆上节课知识思考作答。
通过复习，强化学生已学相关的知识，为学生自主探究做奠基。
讲授新课
二、探究新知活动1，抢答：1.你能用三角尺画出下面这个圆的圆心吗？2.填空：如图，∠BAC=55°，∠CAD=45°，则∠DBC=_____°，∠BDC=_____°，∠BCD=______°3.如图，BD是⊙O的直径，∠ABC=130°则∠ADC=______°活动2：讨论请看我们做的抢答习题第2、3题，同学们有没有发现什么规律，请大家以小组为单位讨论后发言。学生小组1回答：这个四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上。学生小组2回答：这个四边形的对角和是180°。学生小组3回答：……学生小组4回答：……教师总结：同学们真是火眼金睛，找到的特点很多。这个四边形有一个特点，四边形的四个顶点，点A，点B，点C，点D都在⊙O上，我们把这个四边形叫做圆内接四边形（板书：⊙O叫做四边形ABCD的外接圆）师：出示圆内接三角形图片，并指出：这是一个三角形，这个三角形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个三角形叫做圆内接三角形，把这个圆叫做这个三角形的外接圆.师：出示圆内接五边形图片，并指出：这是五边形，这个五边形的所有顶点都在这个圆上，我们把这个五边形叫做圆内接五边形，把这个圆叫做这个五边形的外接圆.师：（出示圆内接六边形图片）归纳总结：现在，同学们能总结出“圆内接多边形”的定义了吗？一般地说，如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.刚才有同学说习题中的四边形的对角和是180°，我们再来看圆内接四边形有什么性质。如图四边形ABCD是⊙O的内接四边形，那么其相对的两个内角之间是什么关系？请你证明这个结论。
证明：发现：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°
理由如下：连接OB,OD
在⊙O中，∠A所对的弧为BCD，∠C所对的弧为BAD，
又∵BCD与BCD所对的圆心角的度数之和为360°，∴∠A
+∠C=
360°=180°.
同理：∠B+∠D=180°.
得出结论：圆内接四边形对角互补.几何语言：∵四边形ABCD内接于⊙O∴∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°自主练习：1.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠
A=60°，填空：
(1)∠BCD=_____°；
(2)∠DCE=______°；
(3)∠B+∠D=_____°2.如图，四边形ABCD是⊙
O的内接四边形，∠BOD=100°，则∠BAD=______°，∠BCD=_______°
学生联系已学知识，独立思考，理清题意，整理思路后举手抢答。教师提问，根据不同学生的不同解题思路，挑选学生上台解答问题，根据作答结果评价学生变现，进一步把控学生对已学知识的掌握情况。学生作答后，教师在ppt中给出每道题相应的解答过程。通过该问题引起学生对抢答题的深入思考，从而进行探究，不同小组的讨论结果不一定相同。教师根据不同小组的讨论结果总结出圆内接四边形的定义，同时引出“外接圆”的定义。然后教师用ppt展示图片举例：圆内接三角形、圆内接五边形、圆内接六边形等。从而引导学生总结出“圆内接多边形”的定义。通过学生发现的结论引出“圆内接四边形的性质”，再抛出问题：请你证明这个结论。用证明验证猜想。
复习圆
周角定理及其推论，运用已学知识解答问题，从问题中引出新知，为引出圆周角的推论3做铺垫。要求学生将知识内化、通过独立练习消化吸收，抢答的形式更能锻炼学生的思维能力.通过引导学生自主探究问题，培养学生的自学能力，探究和解决问题的能力，也进一步接近了推论3的得出。循序渐进，引导学生参与推论的得出，不仅培养了学生的探究能力，而且锻炼了解决问题的思路。
通过验证学生的发现，使探究更加科学、严谨，同时也帮助学生理解“圆内接四边形的性质”。
三、深入探究例
求证：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角.
已知：如图，四边形
ABCD是⊙O的内接四边形.
求证：∠DCE=∠A.
证明：∵∠DCE+∠BCD=180°，
又∵∠A+∠BCD=180°，
∴∠DCE=∠A.结论：圆的内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角。自主练习：如图
，四边形
ABCD
是圆内接四边形，点
E
是BC
延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE
的大小是（
）A．115°
B．105°
C．100°
D．95°
学生观看自主思考解题思路。教师画出图形写出已知求证，然后让生说证明思路，最后教师整理写出证明过程，总结出结论。学生自主思考后，回答老师提出的问题。
通过深入探究，让学生在获得“圆内接四边形的性质”后趁热打铁，进一步探究规律，获得数学学习的成就感。帮助学生将知识内化、学以致用。
课堂练习
1．
1．如图，在⊙O
的内接四边形
ABCD
中，∠BCD＝130°，则∠BOD
的度数是__________。2.如图
，点A，B，C，D，E
五等分圆，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝(
)
A．180°
B．150°
C．135°D．120°3.如图，已知四边形
ABCD
内接于⊙O，∠BOD
＝80°，求∠BAD
和∠BCD
的度数.
4、如图，在⊙O中，AB为直径，弧CB
=弧
CF,弦CG⊥AB，交AB于D，交BF于E。求证：BE=EC。
讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知。
通过练习巩固本课所学，创设学生活动的机会，及时反馈知识的掌握情况。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？定理推论：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
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精品试卷·第
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24.1.4.2圆周角（2）
一．选择题
1.如图，∠A=50°，
∠ABC=60
°，BD是⊙O的直径，则∠AEB等于（
）
A.70°
B.110°
C.90°
D.120°
2.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠A=110°，则∠BOD等于(
)
A.150°
B.
120°
C.140°
D.110°
3.
如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD=48°，则∠DCA的大小为（ ）
A．48°
B．42°
C．45°
D．24°
4.
如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD=42°，则∠B+∠E的度数是（ ）
A．220°
B．222°
C．225°
D．228°
5.
顺次连接圆内接梯形四边的中点所得的四边形是（ ）
A．矩形
B．菱形
C．正方形
D．等腰梯形
二、填空题
6.在⊙O中，∠CBD=30°
,∠BDC=20°,则∠A=____.
7．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C=
，∠D=
.
8．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
，则∠D=
.
9.如图，已知圆心角∠AOB=100°,则圆周角∠ACB=
，
∠ADB=
.
10.
如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD是⊙O的直径，如果CD=
则AD=________.
三、解答题
11.
如图，四边形OABC是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，P为弧APC
上一点，连接AP，CP，求∠P的度数．
12.
如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是弧ACB的中点，DE∥BC交AC的延长线于点E，若AE=10，∠ACB=60°，求BC的长．
参考答案：
一、选择题
1.B
2.C
3.B
4.B
5.B
二、填空题
6.50?
7.70?，100?，
8.90?，
9.130?，50?，
10.4
三、解答题
11.
解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，且OA=OC，
∴平行四边形OABC是菱形，
∴OA=AB，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOC=120°，
∴∠APC=1/2∠AOC=60°．
12.解：∵D是弧ABC
的中点，
∴DA=DB．
∵∠ACB=60°，∠ACB与∠ADB是同弧所对的圆周角，
∴∠ADB=60°，
∴△ADB是等边三角形．
∴∠DAB=∠DBA=60°．
∴∠DCB=∠DAB=60°．
∵DE∥BC，
∴∠E=∠ACB=60°．
∴∠DCB=∠E．
∵∠ECD=∠DBA=60°，
∴△ECD是等边三角形．
∴ED=CD．
∵
弧CD
=弧
CD
，
∴∠EAD=∠DBC．
在△EAD和△CBD中，
∠E＝∠DCB，∠EAD＝∠CBD，ED＝CD
，
∴△EAD≌△CBD（AAS）．
∴BC=EA=10．
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