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人教版数学九年级上24.1.4.1圆周角教学设计
课题
24.1.4.1圆周角
单元
第二十四章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，同时渗透事物之间是可相互转化的辨证唯物主义教育。
能力目标
通设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题。
知识目标
1．了解圆周角的概念。2．理解圆周角的定理。3．理解圆周角定理的推论。4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用。
重点
圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题。
难点
运用数学分类思想证明圆周角的定理。
学法
自主探究、合作交流
教法
引导启发、探究法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
温故知新:思考下面的问题：1．什么叫圆心角？2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．
（学生活动）请同学们凭借已有经验，思考并回答问题。
通过复习，强化学生已学相关的知识，为学生自主探究做奠基。
讲授新课
一、圆周角的定义定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.（两个条件必须同时具备，缺一不可）自主练习：判别：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.探究2：现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”猜想：如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.验证：由于点A的位置不同，会有三种情况：归纳总结：推论1：推论2：推论3：
学生观看ppt展示，观察图形中两个角的特征与区别，理解圆周角的定义。
学生自主思考后，回答老师提出的问题。（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言。通过该问题引起学生思考，进一步探究圆周角与圆心角的关系。学生讨论，并根据度量大胆猜想：圆周角∠BAC是圆心角∠BOC的一半。教师引导学生分析点A位置不同时的不同情况。逐一验证猜想。根据猜想与验证，教生共同总结同弧所对的圆心角与圆周角的关系，从而推出圆周角定理，并趁热打铁通过练习总结出该定理的3个推论。
培养学生的观察能力，通过比较，运用旧知识探索新问题。帮助学生将圆周角的定义内化、通过独立练习消化吸收，并达到一种检验的目的.感受猜想有验证的探究思想，验证过程中全面透彻地理解和掌握关系定理和它的推论，并进行推广，得到其他几个推论，完整的把握所学知识。
三、学以致用
如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.若∠ADC的平分线交⊙O于B,
求DC
、AB、BC的长．的长；方法归纳：解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
变式练习：如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径．
学生观看ppt，自主思考解题思路后讨论，回答老师提出的问题。教师根据学生解题思路总结有关“圆周角与直径”的应用的解题方法。
通过解答例题，达到知识的学以致用。帮助学生巩固知识、将知识内化，进一步理解，培养学生的应用意识和能力。
课堂练习
1．判断：（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等.（
）（2）相等的弦所对的圆周角也相等.
（
）（3）900的角所对的弦是直径.
（
）（4）同弦所对的圆周角相等.
（
）
2..如图，AB是⊙O的直径,
C
、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=________.3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,∠ABC=47°,则∠AOB=_______．4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30
°，AB＝2，则⊙O的半径是?
讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知。
通过练习巩固本课所学，创设学生活动的机会，及时反馈知识的掌握情况。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
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精品试卷·第
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（共
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24.1.4.1圆周角（1）
一．选择题
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．20°
B．40°
C．60°
D．80°
2．（2017?娄底模拟）如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为（ ）
A．70°
B．35°
C．30°
D．20°
3．如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（ ）
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
4．（2017?沈河区二模）如图，点A、点B、点C均在⊙O上，若∠B=40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．40°
B．60°
C．80°
D．90°
5．如图，已知CD是⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（ ）
A．25°
B．30°
C．40°
D．50°
6．如图所示，点P在圆O上，将圆心角∠AOC绕点O按逆时针旋转到∠BOD，旋转角为α（0°＜α＜180°）．若∠AOC=β（0°＜β＜180°），则∠P的度数为（用α和β表示）（ ）
A．
B．
C．β﹣α
D．α+β
二．填空题
7．如图，⊙O的直径CD⊥EF，∠OEG=30°，则∠DCF=
°．
8．中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分．然后连结五等分点而得（如图）．五角星的每一个角的度数是
．
9．如图，在⊙O中，弦AC=2，点B是圆上一点，且∠ABC=45°，则⊙O的半径R=
．
10．如图，在平面直角坐标系中，⊙A经过原点O，并且分别与x轴、y轴交于B、C两点，已知B（8，0），C（0，6），则⊙A的半径为
．
三．解答题
11．如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C=60°．
求证：△ABD为等边三角形．
12．如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径．
参考答案
一．选择题
1．D；2．B；3．B；4．C；5．A；6．A；
二．填空题
7．30；8．36°；9．；10．5；
三．解答题
11．证明：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴AE=DE，
∴BD=BA，
∵∠D=∠C=60°，
∴△ABD为等边三角形．
12．解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，
∵∠BAC=120°，AB=AC=4，
∴∠C=30°，
∴∠BOA=60°．
又∵OA=OB，
∴△AOB是正三角形．
∴OB=AB=4，
∴BD=8．
∴⊙O的直径为8．
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圆周角（1）
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
温故知新：
1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
1.我们把顶点在圆心的角叫圆心角
2.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等。
教学目标
导入新课
顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，而在其它位置上呢？
如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．
·
O
C
A
B
教学目标
新知讲解
定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
一、圆周角的定义
圆周角
圆心角
判别：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
·
C
O
B
A
（2）
C
·
O
B
A
（1）
·
C
O
A
B
（3）
顶点不在圆上
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
·
C
O
A
B
（6）
·
C
O
B
A
（5）
·
C
O
B
A
（4）
自主练习
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新课讲解
探究2：现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．
1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
?
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1．一个弧上所
对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角的度数是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
新课讲解
下面，我们来用逻辑证明一下上述发现的结论。
新课讲解
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
猜想与验证：
新课讲解
②圆心O在∠BAC的内部
①圆心O在∠BAC的一边上
③圆心O在∠BAC的外部
由于点A的位置不同，会有三种情况：
新课讲解
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A=
∠C
∠BOC=
∠
A+
∠C
=>
=>
符号=>读作“推出”，“A
=>
B”表示由条件A推出结论B
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新课讲解
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
圆心O在∠BAC的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
新课讲解
圆心O在∠BAC的外部
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
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新课讲解
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理及其推论
归纳总结：
A1
A2
A3
推论1：
同弧所对的圆周角相等.
新课讲解
2.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
若AB=AD，则∠1与∠2是否相等，为什么？
⌒
⌒
推论2：
等弧所对的圆周角相等
连接OA、OB、OD，∵
AB=AD
⌒
⌒
∴∠AOB=∠AOD
∴∠1=∠2
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若AC是半圆，
∠ADC=_
，
∠ABC=_____.
⌒
新课讲解
3.如图，点A、B、C、D在同一个圆上，AC、BD为四边形ABCD的对角线.
90°
90°
若AC是直径，
推论3：
半圆（或直径）
所对的圆周角是直角.
反之，直角所对的弦是直径.
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新课讲解
二、学以致用
解：∵AC是直径，
∴
∠ADC=90°.
在Rt△ADC中，
如图，⊙O直径AC为10cm，弦AD为6cm.若∠ADC的平分线交⊙O于B,
求DC
、AB、BC的长．
B
新课讲解
B
∵
AC是直径,
∴
∠ABC=90°.
∵BD平分∠ADC,
∴∠ADB=∠CDB.
又∵∠ACB=∠ADB
,
∠BAC=∠BDC
.
∴
∠BAC=∠ACB,
∴AB=BC.
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
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解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
新课讲解
方法归纳：
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新课讲解
变式练习：
如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC=120°，AB=AC=4，求⊙O的直径．
解：连接BO并延长交圆O于点D，连接AD，
∵∠BAC=120°，AB=AC=4
∴∠C=30°，
∴∠BOA=60°．
D
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又∵OA=OB，
∴△AOB是正三角形
∴OB=AB=4，
∴BD=8．
∴⊙O的直径为8．
新课讲解
D
教学目标
课堂练习
1．判断：
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等.（
）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等.
（
）
（3）90°的角所对的弦是直径.
（
）
（4）同弦所对的圆周角相等.
（
）
√
×
×
×
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教学目标
课堂练习
2.如图，AB是⊙O的直径,
C
、D是圆上的两点,∠ABD=40°,则∠BCD=________.
50°
3.已知△ABC的三个顶点在⊙O上,∠BAC=50°,
∠ABC=47°,则∠AOB=_______．
166°
A
B
O
C
D
B
A
C
O
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教学目标
课堂练习
4.如图，△ABC的顶点A、B、C都在⊙O上，∠C＝30
°，AB＝2，则⊙O的半径是?
解：连接OA、OB
∵∠C=30
°
，∴∠AOB=60
°
又∵OA=OB
∴△AOB是等边三角形
∴OA=OB=AB=2
即半径为2。
C
A
B
O
教学目标
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆周角定理的推论
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
1.同弧（或等弧）所对的圆周角相等；2.半圆所对的圆周角是直角；反之，直角所对的弦是直径.
1.顶点在圆上，2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）
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