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人教版数学九年级上24.3正多边形和圆教学设计
课题
24.3正多边形和圆
单元
第二十四章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
体验数学与生活的紧密相连，感受圆的对称美，正多边形与圆的和谐美，从而更加热爱生活，珍爱生命。
能力目标
在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现问题，解决问题，发展学生的观察、比较、分析、概括及归纳的逻辑思维能力。
知识目标
1．理解正多边形和圆的关系，知道把圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形；
2．理解正多边形的边长、半径、边心距和中心角等概念，会计算正多边形的边长、半径、边心距、
中心角、周长和面积。
重点
正多边形的有关计算问题。
难点
正多边形的有关计算问题。
学法
自主探索、合作交流、启发引导
教法
情景教学法、活动探究法；
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、创设情境，导入新知1.观察图片，你能否看到正多边形？2.什么样的图形叫做正多边形？你能举出一些生活中这样的例子吗？
多媒体出示图片，引导学生回答任务，引出课题。
通过联系实际、创设情境，提出问题，激发学生的学习兴趣。
讲授新课
二、探究新知活动1，做一做：正多边形与圆有什么关系呢？等分圆周，就可以得到圆内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．活动2：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？认真思考、交流，充分发表自己的见解，并互相补充．我们现以正五边形为例进行证明．活动3：如何三等分圆周呢？思考、交流自己的见解，进行作图，方法不限．(1)度量法：
①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°，如图：②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，如图：(2)尺规作图：用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、CA即可，如图：(3)计算与尺规作图结合法：由圆内接正三角形的边长与圆的半径的关系可得，正三角形的边长为cm，R=2cm，用圆规在⊙O上截取长度为cm的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可．知识小结：正多边形与圆有着密切的联系：（1）圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆具有旋转不变性．（2）正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，且绕中心旋转，都能和原来的图形重合．（3）正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．(4)边数是偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
利用做一做的活动引导学生发现问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？根据提出的问题，学生分组进行探究活动，最终解答问题。展示问题，引导学生思考，并要求不同的方法解答，引导学生思考回答。学生结合图形理解概念，并弄清正多边形和圆的关系.教师引导总结。
问题是数学的心脏，识学生思维和兴趣的开始。通过这些问题，学生的思维从生活中走进数学，引发学生进一步的学习好奇心与探究意识。在作图的基础上，找出等分圆周的方法，引导学生多维度思考。通过自主探究帮助学生将知识内化、及时进行知识总结帮助学生巩固得出的结论。
实际应用：参照下图，按照一定比例，画一个停车让行的交通标志的外缘．作图如下：2.方案设计：某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉.
为了美观，种植要求如下：（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃（注意：面积相等必须由数学知识作保证）；（2）花卉总面积等于广场面积；（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边.认真思考后，设计出最美的图案，并用实物投影展示自己的作品．要求：①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．三、新知应用有一个亭子，它的地基是半径为
4
m的正六边形，
求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．亭子的地基是什么图形？求地基的周长和面积也就是求什么图形的周长和面积？
正六边形的半径，分别将它分割成多少个什么样子的三角形？
观察图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？
将上图中的结论推而广之，你得出了什么结论？哪位同学说说自己的想法？2.如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长EF为?
在前面探究的基础上学生思考问题，学会知识联系实际，达到学以致用的目的。学生自主思考后，分小组设计方案，展示自己的作品。学生先自主探究，再合作交流，完成解题过程，教师适时引导，点拨.
通过深入探究，让学生理解、体会圆与正多边形的内在联系．充分发展学生的发散思维．通过方案设计达到学以致用的目的，培养学生的动手能力、合作能力。师生总结此类题的解题技巧旨在将正多边形问题转化为直角三角形问题.
课堂练习
1.已知圆的内接正六边形的周长为36，那么圆的半径为（ ）A．6
B．4
C．3
D．22.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（ ）A．3：2：1
B．4：3：2C．4：2：1
D．6：4：33.在下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）A．正三角形
B．正方形C．正五边形
D．正六边形4．如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）5.如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB=2cm，求⊙O的半径。
讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知。
通过练习巩固本课所学，创设学生活动的机会，及时反馈知识的掌握情况。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
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精品试卷·第
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24.3
正多边形和圆
一．选择题
周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6间的大小关系是（ ）
A．S3＞S4＞S6
B．S6＞S4＞S3
C．S6＞S3＞S4
D．S4＞S6＞S3
2．正多边形的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）
A．互余
B．互补
C．互余或互补
D．不能确定
3．正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（ ）
A．3：2：1
B．4：3：2
C．4：2：1
D．6：4：3
4．如图，⊙O的一条弦AB垂直平分半径OC，且AB=，则这个圆的内接正十二边形的面积为（ ）
5.下列说法正确的是（ ）
A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等
B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点
C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根
D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等
6．正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是（ ）
7．蜂巢的构造非常美丽、科学，如图是由7个形状、大小完全相同的正六边形组成的网络，正六边形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上．设定AB边如图所示，则△ABC是直角三角形的个数有（ ）21世纪教育网版权所有
A．4个
B．6个
C．8个
D．10个
二．填空题
8．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P是其对角线BE上一动点，连接PC、PD，则△PCD的周长的最小值是____。21教育网
9．如图，要拧开一个边长为a=6cm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为_______cm.
10．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则这个正六边形的边心距OM的长为_______。21cnjy.com
三．解答题
11．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．21·cn·jy·com
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t=_____s时，四边形PBQE为菱形；
②当t=_____s时，四边形PBQE为矩形．
12．如图的花环状图案中，ABCDEF和A1B1C1D1E1F1都是正六边形．
（1）求证：∠1=∠2；
（2）找出一对全等的三角形并给予证明．
参考答案
一．选择题
1．B；2．B；3．A；4．C；5．A；6．B；7．D；
二．填空题
8．6；9．；10．；
三．解答题
11．解：（1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP=DQ=t，PF=QC=4-t，
在△ABP和△DEQ中，
AB＝DE,∠A＝∠D
,AP＝DQ，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP=EQ，同理可证PE=QB，
∴四边形PEQB是平行四边形．
（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，
∴∠BPE=120°-30°=90°，
∴此时四边形PBQE是矩形．
当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．
故答案为2s，0s或4s．
12．解：（1）证明：∵多边形ABCDEF与A1B1C1D1E1F1都是正六边形，
∴∠1+∠A1AF=120°，∠2+∠A1AF=∠B1A1F1=120°，
∴∠1+∠A1AF=∠2+∠A1AF，
即∠1=∠2；
（2）解：△ABB1≌△FAA1．
证明：∵∠F1A1B1=∠A1B1C1=120°，
∴∠AB1B=∠FA1A=60°，
则
∠AB1B＝∠FA1A
∠1＝∠2
AB＝FA
，
∴△ABB1≌△FAA1．
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正多边形和圆
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
一、创设情境，导入新知：
1.观察这些图片，你能否看到正多边形？
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形。
2.什么样的图形叫做正多边形？
雪花晶体
储物柜
螺丝
硬币
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
教学目标
新知讲解
活动1，做一做：
二、探究新知
正多边形与圆有什么关系呢？
等分圆周，就可以得到圆内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．
教学目标
新知讲解
活动2:
为什么等分圆周就能得到正多边形呢？
解：如图，把圆分成了5段相等的弧，依次连接各分点，得到五边形ABCDE.
∵AB=BC=CD=DE=EA
(
((
(
(
∴AB=BC=CD=DE=EA
BAD=CAE=3AB
(
(
(
∴∠B=∠C
同理可证，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
∴
五边形ABCDE是正五边形．
∵A、B、C、D、E在⊙O上，
∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．
活动3:
如何三等分圆周呢？
教学目标
新知讲解
已知
的半径为2cm，画圆的内接正三角形。
②用量角器度量，使∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，如图：
(1)度量法：
①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO=∠CAO=30°，如图：
教学目标
新知讲解
(2)尺规作图：用圆规在⊙O上截取长度等于半径（2cm）的弦，连结AB、BC、CA即可，如图：
(3)计算与尺规作图结合法：由圆内接正三角形的边长与圆的半径的关系可得，正三角形的边长为
cm，R=2cm，用圆规在⊙O上截取长度为
cm的弦AB、AC，连结AB、BC、CA即可．
教学目标
新知讲解
归纳：作正多边形的方法有两种：
（1）用圆规等分圆周；
（2）用尺规作图法将简单正多边形变化为复杂正多边形。
教学目标
新知讲解
知识小结：
(1)圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴，圆具有旋转不变性．
(2)正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。且绕中心旋转
，都能和原来的图形重合．
正多边形与圆有着密切的联系：
(3)正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念，同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．
教学目标
新知讲解
我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。
教学目标
新知讲解
实际应用：
1.参照下图，按照一定比例，画一个停车让行的交通标志的外缘．
作图如下：
教学目标
新知讲解
2.方案设计：某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉.
为了美观，种植要求如下：
（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃（注意：面积相等必须由数学知识作保证）；
（2）花卉总面积等于广场面积；
（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边.
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教学目标
新知讲解
认真思考后，设计出最美的图案，并用实物投影展示自己的作品．
要求：①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．
符合要求的方案很多，这种设计不合要求.
教学目标
新知讲解
1.有一个亭子，它的地基是半径为
4
m的正六边形，
求地基的周长和面积（结果保留小数点后一位）．
三、新知应用
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教学目标
新知讲解
思考：
（1）亭子的地基是什么图形？
（2）求地基的周长和面积也就是求什么图形的周长和面积？
（3）正六边形的半径，分别将它分割成多少个什么样子的三角形？
（4）观察图形中所得的三角形具有什么关系？为什么？
（5）将上图中的结论推而广之，你得出了什么结论？
哪位同学说说自己的想法？
教学目标
新知讲解
?
?
?
?
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2.如图，正方形ABCD内接于⊙O，其边长为4，则⊙O的内接正三角形EFG的边长EF为?
?
教学目标
新知讲解
教学目标
新知讲解
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GEF=60°，
?
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教学目标
课堂练习
1.已知圆的内接正六边形的周长为36，那么圆的半径为（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2
2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为（ ）
A．3：2：1
B．4：3：2
C．4：2：1
D．6：4：3
B
A
教学目标
课堂练习
3.在下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是（ ）
A．正三角形
B．正方形
C．正五边形
D．正六边形
4.如图，已知⊙O，用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD．（写出结论，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑）
A
四边形ABCD即为所求.
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教学目标
课堂练习
?
解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，
∵正三角形ABC内接于⊙O，
∴点O即是三角形内心也是外心，
?
?
∴解得BO=2,即⊙O的半径为2.
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教学目标
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
（1）正多边形：各边相等、各角相等，缺一不可；
（2）正多边形与圆的关系：
；
（3）正多边形的有关概念：中心、半径、中心角和边心距；
（4）与正多边形有关的计算公式：
（5）正多边形的画法；
（6）正多边形的性质：边、角、对称性.
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