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人教版数学九年级上24.4弧长和扇形面积（1）教学设计
课题
24.4弧长和扇形面积（1）
单元
第二十四章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
通过探索弧长及扇形面积计算公式的
过程．体验教学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。
能力目标
从学生熟知的圆的周长和面积公式入手进行推导，培养学生的探索和归纳能力。了解公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力。
知识目标
会计算圆的弧长、扇形的面积。
重点
对公式的探索及其它们的应用。
难点
公式的应用。
学法
自主探索、合作交流、启发引导
教法
情景教学法、活动探究法；
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、导入新课在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？本节课我们将进行探索．
通过回顾已学知识，引导学生思考，引出本节课题。
通过联系实际、创设情境，提出问题，激发学生的学习兴趣。
讲授新课
二、探究新知活动1：弧长的计算公式．思考：（1）如何计算圆周长？（2）圆的周长可以看作是多少度的圆心角所对的弧长？（3）1°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角呢？教师引导学生思考、分析、讨论，从而得出弧长的计算公式．在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C＝2πR，所以1°的圆心角所对的弧长是，即．于是n°的圆心角所对的弧长为．例1
制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算下图所示的管道的展直长度L（结果取整数）．解：活动2：扇形的概念和扇形面积的计算公式．由组成圆心角的____________和圆心角所对的______所围成的图形叫做扇形.思考
圆的面积可以看作______度圆心角所对的扇形的面积.
思考：由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．想一想，如何计算圆的面积？圆面积可以看作是多少度的圆心角所对的扇形的面积？1°的圆心角所对的扇形面积是多少？n°的圆心角呢？在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR2，所以1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝．4．弧长与扇形面积的关系．我们探讨了弧长和扇形面积的公式，在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l＝πR，n°的圆心角的扇形面积公式为S扇形＝πR2，在这两个公式中，弧长和扇形面积都和圆心角n．半径R有关系，因此l和S之间也有一定的关系，你能猜得出吗？∵l＝πR，S扇形＝πR2，∴πR2＝R·πR．∴S扇形＝lR．5．扇形面积的应用．例2
如图，水平放置的圆柱形排水管道的界面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）变式：如图、水平放置的圆柱形排水面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积。思考：如何求下列两个图中阴影部分的面积？
教师提出问题，学生通过复习圆周长公式，以及圆心角和其所对弧的关系自主探究弧长公式，经历猜想
、
计算
、
推理
、
感性理性，加深对弧长公式的理解，小组之间进行交流，师生总结。初步应用弧长公式，通过运用掌握公式的运用技巧。展示问题，引导学生思考，类比推导扇形面积公积公式及其应用。
问题是数学的心脏，是学生思维和兴趣的开始。通过这些问题，学生的思维从生活中走进数学，引发学生进一步的学习好奇心与探究意识。推导弧长公式，明确公式的推导过程，知道公式的来龙去脉，体会从特殊推广到一般
的研究方法。通过自主探究帮助学生将知识内化、及时进行知识总结帮助学生巩固得出的结论。
三、新知应用1.如图，⊙O的半径为6
cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，求劣弧BC的长．2．如图，△OAB中，OA＝OB＝4，∠A＝30°，AB与⊙O相切于点C，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
在前面探究的基础上学生思考问题，学会知识联系实际，达到学以致用的目的。学生先自主探究，再合作交流，完成解题过程，教师适时引导，点拨.
通过深入探究，让学生理解、体会运用所学公式正确解题，培养学生良好的学习习惯，训练学生的解题速度和综合运用知识解题的能力．
课堂练习
1.如图，在?ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则弧EF的长为(
)A.
B.
C．π
D．2π2.如图，矩形ABCD中，AB＝5，AD＝12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是(
)A.
π
B．13π
C．25π
D．25
3.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则弧BC的长为_______．4.如图，已知菱形ABCD的边长为3
cm，B，C两点在扇形AEF的弧EF上，求弧BC的长度及扇形ABC的面积．5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM.(1)求证：BM＝CM；(2)当⊙O的半径为2时，求弧BM的长．
讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知。
通过练习巩固本课所学，创设学生活动的机会，及时反馈知识的掌握情况。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
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精品试卷·第
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（共
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弧长和扇形面积（1）
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
一、导入新课：
在小学我们已经学习过有关圆的周长和面积公式，弧是圆周的一部分，扇形是圆的一部分，那么弧长与扇形面积应怎样计算？
它们与圆的周长、圆的面积之间有怎样的关系呢？
教学目标
导入新课
1、圆的周长公式C=__________.
2、圆的面积公式S=_________.
3、圆上任意
___________的部分叫做弧.
两点间
教学目标
新知讲解
活动1，弧长的计算
：
二、探究新知
思考
圆的周长可以看作_______度的圆心角所对的弧．
1°的圆心角所对的弧长是__________.
2°的圆心角所对的弧长是
__________.
360
教学目标
新知讲解
3°的圆心角所对的弧长是__________.
n°的圆心角所对的弧长是
__________.
弧长
1°圆心角的倍数
该弧所在圆的半径
在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长的计算公式为：
例1
制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示的管道的展直长度L(结果取整数).
教学目标
新知讲解
教学目标
新知讲解
解：由图可知：R=900mm,n=100?
AB的长是
=
=
=
≈
（mm）
∴管道的展直长度
L=
=
(mm).
1570
2×700＋1570
2970
教学目标
新知讲解
3、有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°，求这段圆弧的半径R（精确到0.1m）.
解：根据题意得，
12=
解得，R=8.5（m）．
由组成圆心角的____________和圆心角所对的______所围成的图形叫做扇形.
思考
圆的面积可以看作______度圆心角所对的扇形的面积.
两条半径
弧
360
教学目标
新知讲解
活动2，扇形的概念和扇形面积的计算
公式：
教学目标
新知讲解
1°的圆心角所对的扇形面积
=_______.
2°的圆心角所对的扇形面积
=_______.
3°的圆心角所对的扇形面积
=_______.
设圆的半径为R，
扇形面积的大小到底和哪些因素有关呢？
教学目标
新知讲解
（当圆半径一定时）扇形的面积随着圆心角的增大而增大
教学目标
新知讲解
如果扇形的半径未R的圆中，n°的圆心角所对的扇形面积计算公式为：
思考：扇形的面积公式与弧长公式有联系吗？
扇形的面积与弧长公式有联系：
教学目标
新知讲解
例2
如图，水平放置的圆柱形排水管道的
界面半径是0.6m，其中水面高0.3m.求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）
解：如图连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交AB于点C，连接AC
教学目标
新知讲解
∵OC=0.6m，DC=0.3m
∴OD=OC-DC=0.3m，
∴OD=DC
又∵AD⊥DC
∴AD是线段OC的垂直平分线
∴AC=AO=OC
从而∠AOD=60°，∠AOB=120°
有水部分的面积：S=S扇形OAB-S△OAB
教学目标
新知讲解
=
=
=0.22(m2)
教学目标
新知讲解
变式：如图、水平放置的圆柱形排水面半径是0.6cm，其中水面高0.9cm，求截面上有水部分的面积。
教学目标
新知讲解
思考：如何求下列两个图中阴影部分的面积？
图（1）的阴影面积=扇形OAB的面积+△OAB的面积
图（2）的阴影面积=扇形OAB的面积-△OAB的面积
教学目标
新知讲解
教学目标
新知讲解
解：边长为a，高就是
三角形面积：
三角形内三个扇形正好拼成一个半圆，面积是：
阴影面积就是：
教学目标
新知讲解
1.如图，⊙O的半径为6
cm，直线AB是⊙O的切线，切点为点B，弦BC∥AO.若∠A＝30°，求劣弧BC的长．
三、新知应用
解：连接OB，OC.
∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.
∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.
∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.
?
教学目标
新知讲解
2．如图，△OAB中，OA＝OB＝4，∠A＝30°，AB与⊙O相切于点C，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
教学目标
新知讲解
?
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教学目标
课堂练习
?
则弧EF的长为（
）
C
?
教学目标
课堂练习
A
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3.如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC＝120°，OC＝3，则弧BC的长为_______．
教学目标
课堂练习
2π
4.如图，已知菱形ABCD的边长为3
cm，B，C两点在扇形AEF的弧EF上，求弧BC的长度及扇形ABC的面积．
教学目标
课堂练习
解：∵四边形ABCD是菱形且边长为3
cm，
∴AB＝BC＝3
cm.
又∵B，C两点在扇形AEF的弧EF上，
∴AB＝BC＝AC＝3
cm，
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?
教学目标
课堂练习
教学目标
课堂练习
5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，M为弧AD中点，连接BM，CM.
(1)求证：BM＝CM；
(2)当⊙O的半径为2时，
求弧BM的长．
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解：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，∴AB＝CD，
∵M为AD中点，∴AM＝DM，
∴AB＋AM＝CD＋DM，即BM＝CM，
∴BM＝CM
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（
（
?
教学目标
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
1、弧长计算公式：
2、扇形面积计算公式：
3、可以用弧长表示扇形的面积：
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24.4
弧长和扇形面积
一．选择题
1．如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（ ）
2．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）www.21-cn-jy.com
3．若扇形的弧长是16cm，面积是56cm2，则它的半径是（ ）
A．2.8cm
B．3.5cm
C．7cm
D．14cm
4．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD．若AC=10cm，∠BAC=36°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．5πcm2
B．10πcm2
C．15πcm2
D．20πcm2
5.
如图，在Rt△ABC中，AC=5cm，BC=12cm，∠ACB=90°，把Rt△ABC绕BC所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为（ ）21·cn·jy·com
A．60πcm2
B．65πcm2
C．120πcm2
D．130πcm2
6．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（ ）21教育网
7．如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC=2，则图中阴影部分的面积是（ ）
二．填空题
8．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于_______．（结果保留π）21世纪教育网版权所有
9．如图，四边形ABCD中，AB=CD，AD∥BC，以点B为圆心，BA为半径的圆弧与BC交于点E，四边形AECD是平行四边形，AB=6，则扇形（图中阴影部分）的面积是_____．
10．如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300πcm2，∠BAC=120°，BD=2AD，则BD的长度为_____cm．21cnjy.com
三．解答题
11．如图，C、D是半圆O上的三等分点，直径AB=4，连接AD、AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F．2·1·c·n·j·y
（1）求∠AFE的度数；
（2）求阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
12．有一个直径为1m的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形ABC．
（1）求被剪掉阴影部分的面积；
（2）用所留的扇形铁皮围成一个圆锥，该圆锥的底面圆的半径是多少？
参考答案
一．选择题
1．B；2．B；3．C；4．B；5．B；6．A；7．A；
二．填空题
8．；9．6π；10．20；
三．解答题
11．解：（1）连接OD，OC，
∵C、D是半圆O上的三等分点，
∴弧AD
=弧CD
=弧BC
，
∴∠AOD=∠DOC=∠COB=60°，
∴∠CAB=30°，
∵DE⊥AB，
∴∠AEF=90°，
∴∠AFE=90°-30°=60°；
（2）由（1）知，∠AOD=60°，
∵OA=OD，AB=4，
∴△AOD是等边三角形，OA=2，
∵DE⊥AO，
12．解：
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