中小学教育资源及组卷应用平台
25.2
用列举法求概率（2）
一．选择题
1．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（ ）
2．某校组织九年级学生参加中考体育测试，共租3辆客车，分别编号为1、2、3，李军和赵娟两人可任选一辆车乘坐，则两人同坐2号车的概率为（ ）21教育网
3．袋内装有标号分别为1、2、3、4的4个小球，从袋内随机取出一个小球，让其标号为一个两位数的十位数字，放回搅匀后，再随机取出一个小球，让其标号为这个两位数的个位数字，则组成的两位数是3的倍数的概率为（ ）21cnjy.com
4.
如图，五一旅游黄金周期间，某景区规定A和B为入口，C，D，E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入、从C，D出口离开的概率是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
5.
小红、小明在玩“剪子、包袱、锤子”游戏，小红给自己一个规定：一直不出“锤子”．小红、小明获胜的概率分别是P1，P2，则下列结论正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．P1=P2
B．P1＞P2
C．P1＜P2
D．P1≤P2
6．如果用A表示事件“若a＞b，则a+c＞b+c”，用P（A）表示“事件A发生的概率”，那么下列结论中正确的是（ ）www.21-cn-jy.com
A．P（A）=1
B．P（A）=0
C．0＜P（A）＜1
D．P（A）＞1
7．一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是（ ）
二．填空题
8．在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，任意摸两个球，摸到1黑1白的概率是_____．21·cn·jy·com
9．从大小形状完全相同标有1、2、3数字的三张卡片中随机抽取两张，和为偶数的概率为_______．
10.从-1，0，1，2这4个数中，随机抽取一个数记为a，放回并混在一起，再随机抽取一个数记为b，则使得关于x的一次函数y=ax+b不经过第一象限的概率为_______．
三．解答题
11．为弘扬中华传统文化，黔南州近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率是多少？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．21·世纪
教育网
12．甲、乙、丙三个同学站成一排进行毕业合影留念，请用列表法或树状图列出所有可能的情形，并求出甲、乙两人相邻的概率是多少？www-2-1-cnjy-com
参考答案
一．选择题
1．C；2．A；3．B；4．B；5．A；6．A；7．D；
二．填空题
8．；9．；10．
三．解答题
11．解：（1）她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率=；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的结果数为1，
所以恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率=2·1·c·n·j·y
12．解：用树状图分析如下：
∴一共有6种情况，甲、乙两人恰好相邻有4种情况，
∴甲、乙两人相邻的概率是
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共30张PPT)
第2课时
画树状图法求概率
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
一、温故知新：
1.列举一次试验的所有可能结果时,学过哪些方法?
2.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是多少？
3.随机掷一枚均匀的硬币两次，一次硬币正面向上，一次硬币反面向上的概率是多少？
列举法、列表法
?
?
教学目标
导入新课
小颖为一节活动课设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成相等的几个扇形．游戏规则是：游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色．问：游戏者获胜的概率是多少？
?
还可以用树状图法！
树状图的画法
一个试验
第一个因素
第二个因素
如一个试验中涉及2个因数,第一个因数中有2种可能情况;第二个因数中有3种可能的情况.
A
B
1
2
3
1
2
3
则其树形图如图.
n=2×3=6
画树状图法：按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果.
教学目标
新知讲解
二、新知探究：画树状图求概率
例1
甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状、质地相同的小球若干，甲盒中装有2个小球，分别写有字母A和B；乙盒中装有3个小球，分别写有字母C、D和E；丙盒中装有2个小球，分别写有字母H和I；现要从3个盒中各随机取出1个小球．
I
H
D
E
C
A
B
教学目标
新知讲解
（1）取出的3个小球中恰好有1个，2个，3个写有元音字母的概率各是多少？
甲
乙
丙
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
解：由树状图得，所有可能出现的结果有12个，它们出现的可能性相等.
（1）满足只有一个元音字母的结果有5个，则
P（一个元音）=
满足三个全部为元音字母的结果有1个，则
P（三个元音）=
满足只有两个元音字母的结果有4个，则
P（两个元音）=
=
教学目标
新知讲解
（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
甲
乙
丙
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
用树状图列举的结果看起来一目了然，当事件要经过多个(三个或三个以上)步骤完成时，用树状图法求事件的概率很有效.
解：满足全是辅音字母的结果有2个，则
P（三个辅音）=
=
.
教学目标
新知讲解
教学目标
新知讲解
想一想：我们按甲、乙、丙的顺序画出树状图，如果改为其它的顺序，求出的概率还是一样的吗？
一样！
（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；
（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；
（3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n；
（4）用概率公式进行计算.
教学目标
新知讲解
总结：画树状图求概率的基本步骤：
当试验包含两步时，列表法比较方便；当然，此时也可以用树形图法；
当事件要经过多个(三个或三个以上)步骤完成时，应选用树状图法求事件的概率.
教学目标
新知讲解
方法归纳：
教学目标
新知讲解
想一想：什么时候用“列表法”方便什么时候用“树形图”方便？
当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时，列表法就不方便了，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树形图。
当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为了不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法。
经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两车向右，一车向左；
（3）至少两车向左.
教学目标
新知讲解
练习：
（2）P（两车向右，一车向左）=
；
（3）
P（至少两车向左）=
第一辆
左
右
左
右
左直右
第二辆
第三辆
直
直
左
右
直
左
右
直
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
共有27种行驶方向
教学目标
新知讲解
（1）P（全部继续直行）=
三、学以致用
教学目标
新知讲解
1.为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）m=______%，这次共抽取了______名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
教学目标
新知讲解
（1）首先由条形图与扇形图可求得m=100%-14%-8%-24%-34%=20%；由跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，可得总人数4÷8%=50；
教学目标
新知讲解
（3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
分析：
（2）由1500×24%=360，即可求得该校约有360名学生喜爱打篮球；
解：（1）m=100%-14%-8%-24%-34%=20%；
∵跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，
∴4÷8%=50；
故答案为：20，50；
如图所示；50×20%=10（人）．
教学目标
新知讲解
教学目标
新知讲解
（2）1500×24%=360；
故答案为：360；
（3）画树状图如下：
?
男1
男2
男3
女
男2
男3
女
男1
男3
女
男1
男2
女
男1
男2
男3
教学目标
课堂练习
?
1.九（1）班第5学习小组共有2位女生和3位男生．一次数学课上，老师随机让该学习小组的2位同学上台演示解题过程（每个同学上台演示的可能性相同），则上台演示解题过程的2位同学都是女生的概率等于（ ）
教学目标
课堂练习
2.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m-n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会“，则两人“心领神会”的概率是（ ）
?
3.在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从3篇不同的文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在3个相同的标签上分别标注字母A、B、C，各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再随机抽取．用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求甲、乙抽中同一篇文章的概率．
教学目标
课堂练习
解：如图，
所有可能的结果有9种，甲、乙抽中同一篇文章的情况有3种
A
A
B
C
B
A
B
C
C
A
B
C
教学目标
课堂练习
概率为：
4.在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字.请你用画树状图的方法求下列事件的概率.
（1）两次取出的小球上的数字相同；
（2）两次取出的小球上的数字之和大于10.
教学目标
课堂练习
(1)两次取出的小球上的数字相同的可能性只有3种，所以P(数字相同)=
(2)两次取出的小球上的数字之和大于10的可能性只有4种，所以P(数字之和大于10)=
解：根据题意，画出树状图如下
第一个数字
第二个数字
6
6
-2
7
-2
6
-2
7
7
6
-2
7
教学目标
课堂练习
?
?
?
5.车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道
A、B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择
A通道通过的概率是?
（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
教学目标
课堂练习
?
（2）设两辆车为甲，乙，
如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，
教学目标
课堂练习
A
A
B
D
C
开始
甲
乙
B
A
B
D
C
C
A
B
D
C
D
A
B
D
C
?
教学目标
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
（1）当某个随机事件_______________时，用
__________________都可以.
（2）当某个随机事件___________________才能完成时，__________
是不错的选择
.
（3）使用列举法求概率时，必须做到_____________.
需要两步完成
列表法和树状图
需要3步或3步以上
树状图
不重不漏
（4）会灵活地用列表法或树状图法求随机事件的概率；
（5）当某个随机事件需要3步或3步以上才能完成时，用树状图.
（6）当某个随机事件只需要两步完成，宜用列表法；但若出现的等可能情况太多，不宜用列表法.
教学目标
课堂小结
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
人教版数学九年级上25.2用列举法求概率（2）教学设计
课题
25.2.2用列举法求概率（树状图法）
单元
第二十五章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
通过画树状图求概率的过程提高学习兴趣,感受数学的简捷美,以及数学应用的广泛性。
能力目标
通过自主探究,合作交流的过程,感悟数形结合的思想,提高思维的条理性，提高分析问题和解决问题的能力。
知识目标
能通过树状图法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果。
重点
理解树状图的应用方法及条件,用画树状图的方法求概率。
难点
用树状图列举各种可能的结果,求实际问题中的概率。
教法学法
以学生为主体、活动为主线的学习方法。通过学生自主探究,合作交流，学生在教师引导下轻松愉快的氛围中学习新知。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、温故知新1.列举一次试验的所有可能结果时,学过哪些方法?2.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是多少？3.随机掷一枚均匀的硬币两次，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率是多少？思考
小颖为一节活动课设计了一个“配紫色”游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成相等的几个扇形．游戏规则是：游戏者同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，那么他就赢了，因为红色和蓝色在一起配成了紫色．问：游戏者获胜的概率是多少？若再用列表法表示所有结果已经不方便！
回顾旧知引导学生回顾复习列表法求概率，进而引出更复杂的问题，用列表法表示不方便怎么办？
通过回顾旧知引出新知，不仅能帮助学生体验新知与旧知之间的联系，还能助于学生对新知的理解。
讲授新课
二、探究新知1.画树状图求概率如一个试验中涉及两个因数,第一个因数中有两种可能情况;第二个因数中有三种可能的情况.画树状图法：按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果.例1：甲、乙、丙三个盒中分别装有大小、形状、质地相同的小球若干，甲盒中装有2个小球，分别写有字母A和B；乙盒中装有3个小球，分别写有字母C、D和E；丙盒中装有2个小球，分别写有字母H和I；现要从3个盒中各随机取出1个小球．（1）取出的3个小球中恰好有1个，2个，3个写有元音字母的概率各是多少？（2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？想一想：如果改为其它的顺序，求出的概率还是一样的吗？总结：画树状图求概率的基本步骤：（1）明确一次试验的几个步骤及顺序；（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；（3）数出随机事件A包含的结果数m，试验的所有可能结果数n；（4）用概率公式进行计算.方法归纳：当试验包含两步时，列表法比较方便；当然，此时也可以用树形图法；
当事件要经过多个(三个或三个以上)步骤完成时，应选用树状图法求事件的概率.想一想：什么时候用“列表法”方便什么时候用“树形图”方便？练习：经过某十字路口的汽车,可能直行,也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：（1）三辆车全部继续直行；（2）两车向右，一车向左；（3）至少两车向左.
结合上述问题给出思路参考，从而成功引出树状图的用法。老师画出树状图，学生观察总结树状图的画法。结合例题引导学生理解树状图的用法与画法，并结合练习提出问题，引导学生思考，扩展思路。通过解答例题教师引导学生总结出树状图求概率的基本步骤，巩固树状图的画法、应用场景，全面识记树状图。通过及时练习巩固树状图求概率的应用。教师适当地加点拨和引导。
讲解了树状图的用法和画法之后，结合例题运用知识，全程引导学生不断深入思考，这种引导学生进行能充分发挥学生的主观能动性。通过探究与归纳总结，帮助学生把知识内化，形成清晰的树状图求概率的解题步骤，不仅有助于学生巩固新知，还利于学生对知识的规范应用。
三、学以致用1.为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）m=______%，这次共抽取了______名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？分析：（1）首先由条形图与扇形图可求得m=100%-14%-8%-24%-34%=20%；由跳绳的人数有4人，占的百分比为8%，可得总人数4÷8%=50；（2）由1500×24%=360，即可求得该校约有360名学生喜爱打篮球；（3）首先根据题意画出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与抽到一男一女学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．
在前面探究的基础上学生思考问题，学会知识联系实际，达到学以致用的目的。学生先独立思考，结合随机时间的概念、特点答题。
通过解决实际问题，引导学习把数学知识联系生活，做到学以致用，达到综合运用所学知识的目的。
课堂练习
1.九（1）班第5学习小组共有2位女生和3位男生．一次数学课上，老师随机让该学习小组的2位同学上台演示解题过程（每个同学上台演示的可能性相同），则上台演示解题过程的2位同学都是女生的概率等于（ ）A.
C.
D.
2.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由乙猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足|m-n|≤1，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是（ ）A.
C.
D.
3．在学校组织的朗诵比赛中，甲、乙两名学生以抽签的方式从3篇不同的文章中抽取一篇参加比赛，抽签规则是：在3个相同的标签上分别标注字母A、B、C，各代表1篇文章，一名学生随机抽取一个标签后放回，另一名学生再随机抽取．用画树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求甲、乙抽中同一篇文章的概率．4.在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字6，-2，7的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字.请你用画树状图的方法求下列事件的概率.（1）两次取出的小球上的数字相同；（2）两次取出的小球上的数字之和大于10.5.车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道
A、B、C、D中，可随机选择其中的一个通过．
（1）一辆车经过此收费站时，选择
A通道通过的概率是?（2）求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．
讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知。
通过练习巩固本课所学，创设学生活动的机会，及时反馈知识的掌握情况。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳。
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
HYPERLINK
"http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
"
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
