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解一元二次方程（第一课时）
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
一、温故知新、感受新知
1.如果x2=a（a≥0），则x=______
2.如果x2=64，则x=______
3.
x2+12x+____=（x+6）2
4.
x2-4x+____=（x-____）2
?
±8
36
4
2
一桶油漆可刷的面积1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
教学目标
导入新课
思考：
教学目标
导入新课
解：设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：
可以验证5和-5是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm。
10×6x2=1500
由此可得：x2=25
根据平方根的意义，得x=±5
即x1=5，x2=-5
这种解法叫做什么？
直接开平方法
?
教学目标
导入新课
上述解方程的实质是：把一元二次方程“降次”，转化为一元一次方程.
教学目标
导入新课
学以致用：
1.2x?=8
3.(y-5)?=36
2.9x?=25
解：x?=4
x=±2
?
?
解：y-5=±6
y-5=6或y-5=-6
∴y1=11，y2=-1
教学目标
新课讲解
探究：对照思考题解方程的过程，你认为应该怎样解方程(x+3)2=5.
二、举一反三、探究新知
解：由方程x2=25得x=±5，由此想到：方程
1
(x+3)2=5.
?
?
?
教学目标
新课讲解
怎样解方程x2+6x+4=0这样的方程呢？
前面我们已经会解方程（x+5）2=5。因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.
那么，能否将x2+6x+4=0转化为可以直接降次的形式在求解呢？
教学目标
新课讲解
解方程x2+6x+4=0的过程可以用下面的框图表示：
两边加上32,使左边配成x2+2bx+b2的形式
x2+6x+4=0
x2+6x=-4
x2+6x+9=-4+9
(x+3)2=5
?
?
?
移项
左边写成完全平方形式
降次
思考讨论：为什么在方程两边加9？
教学目标
新课讲解
因为方程左边二次项系数为1，一次项系数是6，加上该系数一半的平方可配成完全平方式。
总结：
一般地，当二次项系数为1时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式。
教学目标
新课讲解
?
像上面那样，通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。
可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解。
教学目标
新课讲解
三、举一反三、深入探究
解下列方程：
①x2-8x+1=0
②2x2+1=3x
③3x2-6x+4=0
①x2-8x+1=0
?
教学目标
新课讲解
?
②2x2+1=3x
解：移项，得：3x2-6x=-4
教学目标
新课讲解
③3x2-6x+4=0
配方，得：x2-2x+12=-
+12
因为实数的平方根不会是负数，所以x取任何实数时，（x-1）2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根.
二次项系数化为1，得：x2-2x=-
(x-1)2=-
教学目标
新课讲解
一般地，如果一个一元二次方程通过配方法转化成（x+n）2=p的形式，那么就有：
总结：
?
（2）当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=
-n；
（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有（x+n）2≥0，所以方程无实数根。
教学目标
新课讲解
总结归纳：
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：
1.把常数项移到方程右边；
2.方程两边同除以二次项系数，化二次
项系数为1；
3.方程两边都加上一次项系数一半的平方；
4.原方程变形为（x+m）2=n的形式；
5.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解。
教学目标
课堂练习
?
D
2．用配方法解一元二次方程x2+4x-3=0时，原方程可变形为(
)
A．（x+2）2=1
B．（x+2）2=7
C．（x+2）2=13
D．（x+2）2=19
B
教学目标
课堂练习
3．用配方法解一元二次方程：x2-6x+6=0．
?
教学目标
课堂练习
4．解方程：4x2-8x+1=0．
?
5.
要使一块矩形场地的长比宽多6m，并且面积为16m2，场地的长和宽分别是多少？
解：设场地的宽为x
m，则长为（x＋6）m，
教学目标
课堂练习
根据矩形面积为16
m2，得到方程
x（x＋6）＝16，
整理得到
x2+6x－16＝0。
配方，得：x2+6x+9
＝
16
+9
(x+3)2
=25
解，得：x+3
＝
±5
X1=2，x2=-8
教学目标
新课讲解
四、拓展提升
1.当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2-4y+1取得最小值，并求出最小值。
基本思路是：把代数式配方成完全平方式与常数项和，根据完全平方式的非负性求代数式的最值
解：
x2+4x+4y2-4y+1
=
x2+4x+4+
4y2-4y+1-4
=
（x+2）2+（2y-1）2-4
又∵（x+2）2+（2y-1）2-4的最小值是0，
∴x2+4x+4y2-4y+1的最小值是-4，
∴当x=-2，y=12时有最小值为-4。
教学目标
新课讲解
2.用配方法证明-10x2+7x-4的值恒小于0。
?
?
?
即：-10x2+7x-4＜0，
∴
代数式-
10x2+7x-4的值恒小于0。
今天我们学习了哪些知识？
用配方法解一元二次方程的步骤：
1.把常数项移到方程右边；
2.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；
3.方程两边都加上一次项系数一半的平方；
4.原方程变形为（x+m）2=n的形式；
5.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
教学目标
课堂小结
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21.2.1解一元二次方程
一．选择题
1．方程：x2﹣25=0的解是（ ）
A．x=5
B．x=﹣5
C．x1=﹣5，x2=5
D．x=±25
2．方程x2﹣6x+1=0经过配方后，其结果正确的是（ ）
A．（x﹣3）2=8
B．（x+3）2=35
C．（x﹣3）2=35
D．（x+3）2=8
3．把一元二次方程x2﹣4x+1=0，配成（x+p）2=q的形式，则p、q的值是（ ）
A．p=﹣2，q=5
B．p=﹣2，q=3
C．p=2，q=5
D．p=2，q=3
4．对于代数式-x2+4x-5，通过配方能说明它的值一定是（ ）
A．非正数
B．非负数
C．正数
D．负数
5．把方程
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)x2﹣x﹣4=0左边配成一个完全平方式，得到的方程是（ ）
A．（x﹣
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）2=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
B．（x﹣
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）2=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
C．（x+
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）2=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．（x﹣
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)）2=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
6.
方程x2+2x=3的根是（ ）
A．x1=1，x2=-3
B．x1=-1，x2=3
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二．填空题
7.将一元二次方程x2-6x+5=0化成（x-a）2=b的形式，则ab=_______。
8.若（2x+3y）2+2（2x+3y）-4=0，则2x+3y的值为_______。
9.用配方法解方程x2-8x=3时，方程的两边同时加上一个实数______，使得方程左边配成一个完全平方式．21教育网
三．解答题
10．求出下列x的值．
（1）4x2﹣9=0；
（2）（x+1）2=16．
11．解方程：x2﹣2x=4．（配方法）
12．已知x2+y2-2x+6y+10=0．求（2x+y）2的值．
13.
已知a2+b2-4a-2b+5=0，求
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)的值。
参考答案与试题解析
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
二．填空题
7.
12．
8.
-1±．
．
9.16．
三．解答题
10．（1）x2=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，x=±
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，
（2）x1=3，x2=﹣5．
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12．【解答】解：∵x2+y2-2x+6
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)y+10=0，
∴x2-2x+1+y2+6y+9=0，
∴（x-1）2+（y+3）2=0，
∴x=1，y=-3，
∴（2x+y）2=（2×1-3）2=1．21世纪教育网版权所有
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21.2.1解一元二次方程
教学设计
课题
21.2.1解一元二次方程
单元
第二十一章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
1.学生通过积极参与配方法的探究活动，了解化归的数学思想，培养学生勇于探索的良好学习习惯，感受数学的逻辑美。2.感受数学的严谨性和数学结论的确定性.
能力目标
1．通过学生对具体问题的思
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)考、讨论、交流，最终得出结论的过程，培养学生的进取精神，让学生养成科学严谨的治学态度和应用所学知识解决问题的习惯．2．学生经历从特殊到一般的认知过程，培养学生分析解决问题的能力。
知识目标
1.会用开平方法解形如x2=p或（mx+n）2=p（p≥0）的一元二次方程．
2.
理解配方法和配方的目的，掌握配方法的基本步骤，3.掌握运用配方法解一元二次方程的步骤4.在探究用配方法解一元二次方程的过程中，进一步体会划归思想。
重点
1.运用开平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程；领会降次──转化的数学思想．2.运用配方法解数字系数的一元二次方程。
难点
1.
灵活运用直接开平方法解一元二次方程。2.发现与理解配方，把一元二次方程转化为形如（x-a）2=b的过程。
学法
引导探索归纳法、合作交流法
教法
启发引导，问题驱动，讲练结合。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、温故知新、感受新知1.如果x2=a（a≥0），则x=______2.如果x2=64，则x=______3.
x2+12x+____=（x+6）24.
x2-4x+____=（x-____）2思考：一桶油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)设正方体的棱长为xdm，则一个正方体的表面积为6x2dm2，根据一桶油漆可刷的面积可列出方程：10×6x2=1500由此可得：x2=25根据平方根的意义，得x=±5即x1=5，x2=-5可以验证5和-5是方程的两根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为5dm。学以致用：1.2x?=8；2.9x?=25；3.(y-5)?=36
学生尝试描述何为降次及其方法，把握方程结构特点，初步体会直接开平方法解一元二次方程。
联系生活实际，创设问题情境，激发学
生兴趣，引出本节内容。
讲授新课
二、举一反三、探究新知【探究】对照思考题解方程的过程，你认为应该怎样解方程(x+3)2=5.解：由方程x2=25得x=±5，由此想
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)到：方程
(x+3)2=5得
x+3=±即
x+3=或x+3=
-参考上述解方程的过程，把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，
这样问题就容易解决了。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2.方程x2+6x+9=4的左边是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)完全平方式，这个方程可以化成(x+
3
)2=4，进行降次，得到
x+3=±2
，方程的根为x1=
-1，x2=
-5。怎样解方程x2+6x+4=0这样的方程呢？前面我们已经会解方程（x+5）2=5。因为它的左边是含有x的完全平方式，右边是非负数，所以可以直接降次解方程.那么，能否将x2+6x+4=0转化为可以直接降次的形式在求解呢？一般地，当二次项系数为1时，二次式加上一次项系数一半的平方，二次式就可以写成完全平方的形式。归纳：
教师组织学生讨论，尝试回答，教师及时肯定并总结。
鼓励学生独立解决问题，在解决问题的过程中体会解简单的一元二次方程的思想“降次”——把二次降为一次，进而解一元一次方程即可。
三、举一反三、深入探究解下列方程：
①x2-8x+1=0
②2x2+1=3x
③3x2-6x+4=0（1）对比的解法得到方程的解法，③因为实数的平方根不会是负数，原方程无实数根.(2)运用总结的配方法步骤解方程②，先观察将其变形，即将一次项移到方程的左边，常数项移到方程的右边。总结：一般地，如果一个一元二次方程通过配方法转化成（x+n）2=p的形式，那么就有：（1）当p＞0时，方程有两个不等实数根x1=-n-
，x2=
-n+（2）当p=0时，方程有两个相等的实数根x1=x2=
-n；（3）当p＜0时，因为对任意实数x，都有（x+n）2≥0，所以方程无实数根。总结出用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的一般步骤：.把常数项移到方程右边；
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学生先独立完成，再合作交流，适时让学生讨论解决遇到的问题（比如遇到二次项系数不是1的情况该如何处理）。师生交流看法，肯定其可行性，总结出一般步骤。
对比探究，发现二次项系数不是1的一元二次方程的解法，培养学生发现问题的能力。
四、拓展提升1.当x，y取何值时，多项式x2+4x+4y2-4y+1取得最小值，并求出最小值。2.用配方法证明-10x2+7x-4的值恒小于0。
思考并讨论解题。
通过拓展提升巩固本课新知，帮助学生学会迁移运用。
课堂练习
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讨论交流，思考解题思路。
通过练习巩固本课所学，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系。
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？用配方法解一元二次方程的步骤：1.把常数项移到方程右边；2.方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；3.方程两边都加上一次项系数一半的平方；4.原方程变形为（x+m）2=n的形式；5.如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解．
学会总结学习收获，巩固知识点，梳理主要知识。
通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，为熟练运用作准备。
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精品试卷·第
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