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解一元二次方程（第三课时）
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
一、复习引入
你还记得用配方法和公式法解一元二次方程的一般步骤吗？
分别用配方法和公式法解下列方程：
①
x2﹣6x+6=0．
②1﹣x=x2．
教学目标
导入新课
用配方法解方程①
x2﹣6x+6=0．
解：∵x2﹣6x=﹣6，
∴x2﹣6x+9=﹣6+9，即（x﹣3）2=3，
?
?
?
教学目标
导入新课
用公式法解方程②1﹣x=x2．
解：方程整理得：x2+x﹣1=0，
这里a=1，b=1，c=﹣1，
∵△=1+4=5，
?
?
教学目标
新课讲解
二、探究新知
1.思考：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s
的速度
竖直上抛，那么物体经过x
s离地面的高度（单位：m）为：
10x-4.9x2
根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？
教学目标
新课讲解
设物体经过x
s落回地面，这时它离地面的高度为0
m,即：
10x-4.9x2=0
想一想：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解这个方程呢？
2.让我们先来回顾一下因式分解知识：
教学目标
新课讲解
x2-5x；
25y2-16；
4x2+4x+1
=x(x-5)
=(5y)2-42
=(5y-4)(5y+4)
=(2x)2+4x+1
=(2x+1)
2
=(2x+1)(2x+1)
若ab=0,则可以得到什么结论？
a=0或b=0或,a、b同时为0.
教学目标
新课讲解
3.继续解方程：10x-4.9x2=0
方程左边可以因式分解，得:
x
(10-4.9x)
=0
右边是0
两个一次因式的乘积
若ab=0
则a=0或b=0
教学目标
新课讲解
∵
x(10-4.9x)=0
∴
x=0,或10-4.9x=0
即：x1=0,
x2≈2.04
这两个根中，x2≈2.04表示物体大约在2.04s时落回地面。x1=0表示物体在0
s时被抛出，高度是0
m。
教学目标
新课讲解
4.总结归纳：
解上述方程时，二次方程是如何降为一次的？
可以发现，上述解法中，不是开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。
教学目标
新课讲解
三、自主检测
试求下列方程的根
：
x(x-5)=0；
(x-1)(x+1)=0；
(x+1)2=0；
分析：一元二次方程左边是两个一次式的积，右边是0，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.
教学目标
新课讲解
x(x-5)=0
解：∵x(x-5)=0
∴
x
=0
，x-5=0
即
x1
=0
，x2=5
(x-1)(x+1)=0
解：∵(x-1)(x+1)=0
即
x1
=1
，x2=
-1
∴
x-1=0，
x+1=0
(x+1)2=0
解：∵(x-1)2=0
∴
x-1=0
即
x
=1
教学目标
新课讲解
四、典题精讲
?
分析：观察两个方程的结构特点，在方程右边为0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.
第二个方程方程结构较复杂，需要先整理。
教学目标
新课讲解
（1）x(x-2)+x-2=0
即：x1=2,
x2=-1
解：因式分解，得：
（x-2）(x+1)=0
于是得：
x-2=0,
或
x+1=0
教学目标
新课讲解
?
因式分解，得：
（2x-1）(2x+1)=0
解：移项、合并同类项，得：
4x2-1=0
?
教学目标
新课讲解
用十字相乘法分解因式解方程：
1.x2-3x-4=0
2.x2-7x+6=0
解：（x-4）（x+1）=0
解：（x-6）（x-1）=0
x-4=0或x+1=0
x1=4，x2=-1
x-6=0或x-1=0
x1=6，x2=1
把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。
教学目标
新课讲解
解：设小圆形场地的半径为r
?
?
?
教学目标
新课讲解
①首先使方程右边为0。
②其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程。
③最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解。
你能总结出用因式分解法法解方程的一般步骤吗？
教学目标
新课讲解
解一元二次方程的方法：
1.因式分解法
2.直接开平方法
3.公式法
4.配方法
（方程一边是0，另一边整式容易因式分解）
（(x+m)2=k
k≥0）
（化方程为一般式）
（二次项系数为1，而一次项系数为偶数）
教学目标
课堂练习
1.方程x2=3x的解为（ ）
A．x=3
B．x=0
C．x1=0，x2=﹣3
D．x1=0，x2=3
?
D
D
教学目标
课堂练习
3．解方程：3（x﹣2）2=2﹣x．
解：方程整理得：3（x﹣2）2﹣2+x=0，
?
分解因式得：（x﹣2）（3x﹣6+1）=0，
可得x﹣2=0或3x﹣5=0，
教学目标
课堂练习
?
?
?
?
?
教学目标
课堂练习
（2）x2-2mx-4n2+m2=0
解：
x2-2mx+m2-4n2=0
(x-m)2-(2n)2=0
(x-m+2n)
(x-m-2n)=0
x-m+2n=0或
x-m-2n=0
∴x1=
m-2n，
x2=
m+2n
教学目标
新课讲解
五、拓展提升
解关于x的方程：
1.5m2x2-2mx-3=0（其中m≠0）
?
解：当m=0时，方程不成立；
当m≠0时，因式分解，得（mx+3）（5mx-3）=0；
∴mx+3=0或5mx-3=0；
解得：x1=1（不合题意，舍去），x2=-2．
2.x2-|x|-2=0
教学目标
新课讲解
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2-x-2=0，
解得：x1=2，x2=-1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x-2=0，
∴原方程的根是x1=2，x2=-2．
今天我们学习了哪些知识？
1、将方程左边因式分解，右边等于0.
2、根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
3、分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
教学目标
课堂小结
.
因式分解法解一元二次方程的步骤是:
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
21.2.3解一元二次方程
一．选择题
1．一元二次方程x（x﹣3）=3﹣x的根是（ ）
A．﹣1
B．3
C．﹣1和3
D．1和2
2．一元二次方程x2﹣x﹣2=0的解是（ ）
A．x1=1，x2=2
B．x1=1，x2=﹣2
C．x1=﹣1，x2=2
D．x1=﹣1，x2=﹣2
3．关于方程x2-2=0的理解错误的是（ ）
A．这个方程是一元二次方程
B．方程的解是
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
C．这个方程可以化成一元二次方程的一般形式
D．这个方程可以用公式法求解
4．方程（x﹣2）（x﹣4）=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．8或10
5．对于实数a，b，先定义一种新运算“★”如下：
a★b=
a2b+a，当a≥b时
ab2+b，当a＜b时
．若2★m=36，则实数m等于（ ）
A．8.5
B．4
C．4或-4.5
D．4或-4.5或8.5
6．如果x2-x-1=（x+1）0，那么x的值为（ ）
A．2或-1
B．0或1
C．2
D．-1
二．填空题
7．方程（x﹣2）2=3x（x﹣2）的解为 ．
8．刘谦的魔术表演风靡全国
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到32+（﹣2）﹣1=6．现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数2，则m= ．
9.
若m，n是关于x的方程x2-（a
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)2+1）x-（b2+1）=0的两个根，且m＞n，则点P（m，n）到直线y=-n的距离等于______________。21世纪教育网版权所有
三．解答题
10．解下列方程．
（1）x（x﹣2）﹣（x﹣2）=0；
（2）x2+x=1．
（3）（4x﹣1）2﹣9=0
（4）3（x﹣2）2=2﹣x．
11．用适当的方法解下列一元二次方程．
（1）（2x+1）2=3（2x+1）
（2）（x+1）（2x﹣3）=1．
12.
解方程与求值:
（1）
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)（公式法）
（2）已知m是方程x2+x-1=0的一个根，求代数式（m+1）2+（m+1）（m-1）的值．
参考答案与试题解析
一．选择题
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
二．填空题（共3小题）
7．x=2或x=﹣1．
8．3或﹣1．
9.
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?).
三．解答题
10．【解答】解：（1）（x﹣2）（x﹣1）=0，
所以x1=2，x2=1；．
（2）x2+x﹣1=0，
△=12﹣4×1×（﹣1）=5，
x=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，
所以x1=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，x2=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)．
（3）方程变形得：（4x﹣1）2=9，
4x﹣1=3，或4x﹣1=﹣3，
解得：x1=1，x2=﹣
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)；
（4）方程整理得：3（x﹣2）2﹣2+x=0，
分解因式得：（x﹣2）（3x﹣6+1）=0，
可得x﹣2=0或3x﹣5=0，
解得：x1=2，x2=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)．
11.【解答】解：（1）（2x+1）2﹣3（2x+1）=0，
（2x+1）（2x+1﹣3）=0，
2x+1=0或2x+1﹣3=0，
所以x1=﹣
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，x2=1；
（2）方程化为2x2﹣x﹣4=0，
△=（﹣1）2﹣4×2×（﹣4）=33，
x=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，
所以x1=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)，x2=
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
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21.2.3解一元二次方程(因式分解法)教学设计
课题
21.2.3解一元二次方程
单元
第二十一章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
积极探索方程不同解法，通过交流发现最优解法，获得成功体验。
能力目标
1
.经历探索因式分解法解一元
二次方程的过程，发展学生合情合理的推理能力。2.体验解决问题方法的多样性，灵活选择解方程的方法。
知识目标
1.了解因式分解法的概念。2.会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，根据两个因式的积等于0，必有因式为0，从而降次解方程。
重点
会用提公因式法和运用乘法公式将整理成一般形式的方程左边因式分解，从而降次解方程。
难点
将整理成一般形式的方程左边因式分解。
学法
探索学习法、合作交流法
教法
启发引导，问题驱动，讲练结合。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、复习引入你还记得用配方法和公式法解一元二次方程的一般步骤吗？分别用配方法和公式法解下列方程：①
x2﹣6x+6=0．
②1﹣x=x2．前面我们学习了用配方法和公式法解一元二次方程，这节课我们来学习一种新的方法.
学生回顾配方法和公式法的解题思路，通过复习上节课内容引入本节课新知。
通过温故知新，引导学生思考学习更多的解方程方法。
讲授新课
二、探究新知1.思考：根据物理学规律，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)如果把一个物体从地面以10m/s
的速度
竖直上抛，那么物体经过x
s离地面的高度（单位：m）为：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)10x-4.9x2根据上述规律，物体经过多少秒落回地面（结果保留小数点后两位）？设物体经过x
s落回地面，这时它离地面的高度为0
m,即：10x-4.9x2=0想一想：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解这个方程呢？2.让我们先来回顾一下因式分解知识：x2-5x；
25y2-16；
4x2+4x+1分析：复习因式分解知识，为学习本节新知识作铺垫.3.继续解方程：10x-4.9x2=0方程左边可以因式分解，得:x(10-4.9x)=0
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)4、总结归纳：解上述方程时，二次方程是如何降为一次的？可以发现，上述解法中，不是开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫因式分解法。
通过应用题引出方程，然后学生观察式子特点，进行因式分解，为下面的学习作铺垫。根据实践，思考总结解方程的新方法。
学生通过回顾“因式分解知识”，为引入因式分解法解方程作铺垫。对比探究，结合已有知识，尝试解题，培养学生发现问题的能力。
三、自主检测3.试求下列方程的根
：x
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)(x-5)=0；(x-1)(x+1)=0；(x+1)2=0；分析：解左边是两个一次式的积，右边是0的一元二次方程，初步体会因式分解法解方程实现降次的方法特点，只要令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解.
学生独立完成，再合作交流，教师最后巡视指导。
学生初步使用因式分解法解方程，教师规范板书。
四、典题精讲用因式分解法解下列方程．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)分析：观察两个方程的结构特点，在方程右边为
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)0的前提下，对左边灵活选用合适的方法因式分解，并体会整体思想.
第二个方程方程结构较复杂，需要先整理.用十字相乘法分解因式解方程：1.x2-3x-4=02.x2-7x+6=0应用：把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径。
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)总结：你能总结出用因式分解法法解方程的一般步骤吗？因式分解法法解方程的一般步骤：①首先使方程右边为0。②其次将方程的左边分解成两个一次因式的积，再令两个一次因式分别为0，从而实现降次，得到两个一元一次方程。③最后解这两个一元一次方程，它们的解就都能是原方程的解。解一元二次方程的方法：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
通过实际应用练习使用因式分解法解方程。师生交流看法，总结出使用公式法的一般步骤。
引导总结因式分解法解方程的一般步骤，帮助学生以后熟练使用因式分解法解方程打基础。
五、拓展提升解关于x的方程：
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
思考并讨论解题。
通过拓展提升巩固本课新知，帮助学生学会迁移运用。
课堂练习
1.方程x2=3x的解为（ ）A．x=3
B．x=0
C．x1=0，x2=﹣3
D．x1=0，x2=32.方程2x2=3x的解为（ ）A．0
B．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
C．
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)
D．0，
(?http:?/??/?www.21cnjy.com?)3.解方程3（x﹣2）2=2﹣x．4.解方程（2x+1）2=3（2x+1）．
讨论交流，思考解题思路。
通过练习巩固本课所学，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系。
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？本节学习了用因式分解法解一元二次方程，
因式分解法解一元二次方程的步骤是:1、将方程左边因式分解，右边等于0.2、根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.3、分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
学会总结学习收获，巩固知识点，梳理主要知识。
通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，为熟练运用作准备。
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