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人教版数学九年级上第四课时教学设计
课题
21.2.4解一元二次方程
单元
第二十一章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
培养学生观察，分析和综合，判断的能力，激发学生发现规律的积极性，激励学生勇于探索的精神。
能力目标
学生经历探索、尝试发现一元二次方程根与系数的关系，感受不完全归纳验证以及演绎证明。
知识目标
1.了解一元二次方程根与系数的关系，能进行简单应用；2.在一元二次方程根与系数关系的探究过程中，感受由特殊到一般地认识事物的规律。
重点
一元二次方程根与系数关系的探索及简单应用。
难点
发现一元二次方程根与系数的关系。
学法
探究学习、合作交流法
教法
启发引导、归纳推理
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、复习引入1.
一元二次方程的求根公式是什么？2.
方程的两根x1，x2与系数a，b，c还有其他关系吗？一元二次方程的求根公式：求根公式不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反应了根与系数之间的关系。
出示问题，引出课题学生初步了解本课所要研究的问题。
通过温故知新，创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲。
讲授新课
二、探究新知1.填表、观察、猜想启发：猜想二次项系数为1时，根与系数的关系.问题：（1）用语言叙述你发现的规律；（2）x2+px+q=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。跟踪练习：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
x2-6x-15=02.启发：如果方程二次项系数不为1呢？表2:填表、观察、猜想问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律：（1）用语言叙述你发现的规律；（2）ax2+bx+c=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。跟踪练习：根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1)3x2+7x-9=0
(2)5x-1=4x23.总结归纳：一元二次方程的根与系数的关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。
求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系。注：能用根与系数的关系的前提条件为：1.一元二次方程为一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0）2.b2=4ac≥0
学生通过去括号、合并得到一般形式的一
元二次方程，教师适时点拨，分析总结得到结论。出示探究问题，学生通过特殊例子入手，再通过一般形式推导证明，教师引导学生根据求根公式进行探究、交流，尝试发现结论。
通过思考问题，让学生知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系，为后面继续研究做铺垫。对比探究，让学生通过探究问题，体会从特殊到一般的认知过程，体会数学结论的确定性。
三、典例精讲1.不解方程，求下列方程两个根的和与积：x2-3x=15；
3x2+2=1-4x；
5x2-1=4x2+x；分析：任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的
相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。总结：在使用根与系数的关系时，应注意：（1）不是一般式的要先化成一般式；（2）在使用x1+x2=－
时，
注意“－
”不要漏写。2.已知2x2-3x-5=0的两根是x1，x2。求（1）
+
，（2）
x12+x22，（3）|x1-x2
|归纳：用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值：
学生独立完成，再合作交流，教师最后巡视指导，并总结解题注意事项。
学生使用一元二次方程根与系数的关系解题，进一步加强对所学知识的理解和掌握。
四、学以致用1.方程mx2-2mx+m-1=0(m≠0)有一个正根，一个负根，求m的取值范围。2.已知关于x的方程x2-（m+1）x+2m-1=0。（1）当m_____时，此方程的两根互为相反数。（2）当m_____时，此方程的两根互为倒数。
通过实际应用练习使用一元二次方程根与系数的关系解题。
通过解决实际问题，进一步巩固一元二次方程根与系数的关系。
五、拓展提升已知关于m2+2m-2009=0，n2+2n-2009=0（m≠n），求（m-1）（n-1）。
思考并讨论解题。
通过拓展提升巩固本课新知，帮助学生学会迁移运用。
课堂练习
1.若方程x2﹣4x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（ ）A．6
B．﹣6
C．18
D．﹣182.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根，则
=
_______.
3.关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=______．4.已知方程x2+kx+k+2=0的两个实数根是x1、x2，且x12+x22=4，求k的值．5.已知关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正。
通过练习巩固本课所学，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系。
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？本节学习了一元二次方程根与系数的关系，
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系是什么?x1+x2=－，
x1x2=
学会学生归纳，总结阐述，体会，反思，梳理主要知识。
通过学生亲自解方程的感受与经验，总结成文，为熟练运用作准备。
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21.2.4解一元二次方程
一．选择题
1．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为1，则另一个根为（ ）
A．﹣4
B．2
C．4
D．﹣3
2．设x1，x2是方程x2﹣4x+m=0的两个根，且x1+x2﹣x1x2=1，那么m的值为（ ）
A．2
B．﹣3
C．3
D．﹣2
3．设ɑ，β是一元二次方程x2+2x﹣3=0的两个根，则ɑβ的值是（ ）
A．3
B．﹣3
C．2
D．﹣2
二．填空题
4．写出方程x2-x-1=0的一个正根__________。
5.若x1，x2是方程x2+2x﹣3=0的两根，则x1+x2= 。
6.已知x=（b2-4c＞0），则x2+bx+c的值为_____。
7.
已知b＜a＜0，且__________。
8.
方程x2-|x|-1=0的根是________。
三．解答题
9．设a，b是方程x2+x﹣2016=0的两个不相等的实数根．
（1）a+b= ；ab= ；
（2）求代数式a2+2a+b的值．
10.
已知x1，x2是一元二次方程x2-5x-3=0的两个根，求：
（1）x12+x22
（2）
11.已知方程x2+kx+k+2=0的两个实数根
是x1、x2且x12+x22=4，求k的值。
12.
已知关于x的一元二次方程(2m?1)x2?2x+1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）
参考答案
一．选择题
1．A；2．C；3．B；
二．填空题
4．
5.﹣2；
6.0;
7.
8.
三．解答题
9.
解：（1）∵a，b是方程x2+x-2016=0的两个不相等的实数根
∴a+b=-1；ab=-2016；
故答案为：-1．-2016；
∴a2+2a+b=-1+2016=2015．
10.解：∵x1，x2是一元二次方程x2-5x-3=0的两个实数根，
∴x1+x2=5，x1?x2=-3；
（1）x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2
=52-2×（-3）
=25+6
=31；
（2）∵（x2-x1）2=x12+x22-2x1x2
=31-2×（-3）
=37，
∴x2-x1=±，
11.解：由根与系数的关系得
x1+x2=-k，
x1x2=k+2
又
x12+
x2
2
=
4
即(x1+
x2)2
-2x1x2=4
k2-
2(k+2）=4
k2-2k-8=0
解得：k=4
或k=－2
∵
△=
k2-4k-8
当k=4时，
△＜0
当k=-2时，△＞0
∴
k=-2
12.
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解一元二次方程（第四课时）
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
一、复习引入
1.
一元二次方程的求根公式是什么？
2.
方程的两根x1，x2与系数a，b，c还有其他关系吗？
?
1.填表、观察、猜想
启发：猜想二次项系数为1时，根与系数的关系.
二、探究新知
教学目标
新课讲解
方程
X1，X2
X1+X2
X1X2
X2-7x+12=0
3,4
x2+5x+4=0
-1,-4
x2-6x+8=0
2,4
7
-5
6
12
4
8
教学目标
新课讲解
问题：
（1）用语言叙述你发现的规律；
（2）x2+px+q=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。
（1）两根之和等于方程一次项系数的相反数；两根之积等于常数项。
（2）x1+x2=-p，
x1x2=q
跟踪练习：
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
x2-6x-15=0
解:x1+x2=-(-6)=6,
x1x2=-15
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
表2:填表、观察、猜想
2.启发：如果方程二次项系数不为1呢？
方程
X1，X2
X1+X2
X1X2
2x2-3x-2=0
3x2-4x+1=0
5x2+6x+1=0
?
?
?
-1
?
?
问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律：
（1）用语言叙述你发现的规律；
教学目标
新课讲解
（2）ax2+bx+c=0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律。
（1）两根之和等于方程一次项系数与二次项系数的比的相反数；两根之积等于常数项与二次项系数的比。
?
我们用求根公式来证明一下结论（2）。
根据求根公式可知：
教学目标
新课讲解
?
由此可得：
?
?
?
?
?
?
跟踪练习：
根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1)3x2+7x-9=0
?
教学目标
新课讲解
解:方程化为4x2-5x+1=0
(2)5x-1=4x2
?
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
3.总结归纳：
一元二次方程的根与系数的关系：
?
注：能用根与系数的关系的前提条件为：
1.一元二次方程为一般形式：
ax2+bx+c=0（a≠0）
2.b2=4ac≥0
教学目标
新课讲解
三、典例精讲
1.不解方程，求下列方程两个根的和与积：
x2-3x=15；
3x2+2=1-4x；
5x2-1=4x2+x；
分析：任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的
相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比。
教学目标
新课讲解
x2-3x=15
解：方程化为
x2-3x-15=0
∴x1+x2=3，
x1x2=-15
3x2+2=1-4x
解：方程化为
3x2+4x+1
5x2-1=4x2+x
解：方程化为
x2-x-1=0
?
∴x1+x2
=1，
x1x2
=-1
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用x1+x2=－
时，
注意“－
”不要漏写。
总结：
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
?
?
?
（2）
x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2
教学目标
新课讲解
?
?
?
?
?
教学目标
新课讲解
归纳：
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值：
?
?
?
?
教学目标
新课讲解
四、学以致用
1.方程mx2-2mx+m-1=0(m≠0)有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由题干已知:
△=
{
即
{
m>0
m-1<0
∴0教学目标
新课讲解
2.已知关于x的方程x2-（m+1）x+2m-1=0。
（1）当m_____时，此方程的两根互为相反数。
（2）当m_____时，此方程的两根互为倒数。
-1
1
分析：a=1，b=-（m+1），c=2m-1
?
（1）
x1+x2=
m+1=0，m=-1
（2）
x1x2=2m-1=1，m=1
教学目标
新课讲解
五、拓展提升
已知关于m2+2m-2009=0，n2+2n-2009=0（m≠n），求（m-1）（n-1）。
解：由已知条件，得
m，n是方程x2+2x-2009=0的两个不相等的实数根
由韦达定理：m+n=-2，mn=-2009
（m-1）（n-1）
=mn-（m+n）+1
=-2009-（-2）+1
=-2006
教学目标
课堂练习
1.若方程x2﹣4x﹣1=0的两根分别是x1，x2，则x12+x22的值为（ ）
A．6
B．﹣6
C．18
D．﹣18
C
2.已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2x-4=0的两个实数根，则
=
_______.
3.关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣1=0的两实数根为x1，x2，且x12+x22=3，则m=______．
0
?
教学目标
课堂练习
4．已知方程x2+kx+k+2=0的两个实数根是x1、x2，且x12+x22=4，求k的值．
解：由根与系数的关系得
x1+x2=-k，
x1x2=k+2
又
x12+
x2
2
=
4
即(x1+
x2)2
-2x1x2=4
k2-
2(k+2）=4
整理，得
k2-2k-8=0
∵
△=
k2-4k-8
当k=4时，
△＜0
当k=-2时，△＞0
∴
k=-2
解得：k=4
或k=－2
教学目标
课堂练习
5.已知关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个不相等的实数根x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）当x1=1时，求另一个根x2的值．
解：（1）由题意得：
△=（-3）2-4×1×m=9-4m＞0，
?
∴x2=2．
?
今天我们学习了哪些知识？
?
教学目标
课堂小结
.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系是:
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