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人教版数学九年级上21.3第二课时教学设计
课题
21.3.2解一元二次方程
单元
第二十一章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
探究感受用一元二次方程解决实际问题的过程，提高数学应用意识。
能力目标
通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程。
知识目标
1.掌握建立数学模
型以解决增长率与降低率问题2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。
重点
建立数学模型以解决增长率与降低率问题。
难点
正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型。
学法
探究学习、合作交流法
教法
启发引导、讲练结合法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、情境导入思考：小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？分析：
教师引导学生积极讨论，引入新课。
创设问题情境，激发学生的解题求知欲。
讲授新课
二、探究新知探究:两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术
的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？思考：1.怎样理解下降额和下降率的关系？2.若设甲种药品平均下降率为x
，则一年后，甲种药品的成本下降了______元，此时成本为_____元；两年后，甲种药品下降了______元，此时成
本为_______元。3.对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根.解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）元．依题意，得5000（1-x）2=3000
解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）4.同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。设乙种药品成本的平均下降率为y．则：6000（1-y）2=3600整理，得：（1-y）2=0.6解得：y≈0.2255.思考经过计算，你能得出什么结论？归纳：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增
长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b（增长取＋，降低取－）．
学生通过思考探究，循序渐进找到解答增长率问题的突破口，从而学会运用列一元二次方程解决增长率问题。引导学生自主解决问题，老师归纳总结解决传播问题的注意事项。
通过思考问题，启发学生运用数学知识解决增长率问题，为运用一元二次方程解决增长率问题做铺垫。让学生通过探究问题，体会运用一元二次方程解决增长率问题过程，体会数学思想。
三、重难点精讲例题：某例题
某公司2014年的各项经营中，一月
份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．变化率问题：若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：a(1±x)n=b
（常见n=2）
学生独立完成，再合作交流，教师最后巡视指导，并总结解决变化率问题的主义事项和技巧规律。
学生思考使用一元二次方程解决变化率问题，进一步加强对所学知识的理解和掌握。
四、学以致用菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.2元的价格对外批发销售.
（1）求平均每次下调的百分率；（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.总结：列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答。最后要检验根是否符合实际意义。
通过实际应用练习使用一元二次方程解决变化率问题的过程。师生交流看法，总结列一元二次方程解变化率应用题的一般步骤。
通过解决实际问题，进一步巩固一元二次方程在实际变化率问题中的运用。
课堂练习
1.某种数码产品原价每只400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为（ ）A．20%
B．80%
C．180%
D．20%或180%2.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程(
）A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720C.500
(1+x2)=720
D.720(1+x)2=5003．某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为
__________________。4.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为__________．5．青山村种的水稻2015年平均每公顷产7200千克，2016年平均每公顷
产8712千克，求水稻每公
顷产量的年平
均增长率.
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正。
通过练习巩固本课所学，加深认识，深化提高，形成学生自己的解题技巧。
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？本节学习了用一元二次方程解决变化率问题，解决此类问题的关键是：若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：a(1±x)n=b
（常见n=2）
学会学生体会，反思，归纳总结本节的主要收获。
通过学生亲自解决实际问题的感受与经验，总结解题关键。
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精品试卷·第
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实际问题与一元二次方程（第二课时）
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
一、情境导入
思考：小明学习非常认真，学习成绩直线上升，第一次月考数学成绩是80分，第二次月考增长了10%，第三次月考又增长了10%，问他第三次数学成绩是多少？
第一次
教学目标
导入新课
第二次
第三次
80×10%
80（1+10%）×10%
80
80+80×10%=
80
（1+10%）
80
（1+10%）+80（1+10%）×10%=
80
（1+10%）2
分析：
二、探究新知
新课讲解
探究：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术
的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术
的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？[来源:学。科
思考：1.怎样理解下降额和下降率的关系？
教学目标
新课讲解
区别：下降率是比例用百分数表示，下降额是定量的数字。
联系：下降率是依据下降额计算出来的。
2.若设甲种药品平均下降率为x
，则一年后，甲种药品的成本下降了______元，此时成本为__________元；又一年后，甲种药品下降了__________元，此时成本为_________元。
5000x
5000(1-x)
5000(1-x)x
5000(1-x)2
3.
对甲种药品而言根据等量关系列方程并求解、选择根.
教学目标
新课讲解
解：设甲种药品成本的年平均下降率为x，
则一年后甲种药品成本为5000（1-x）元，两年后甲种药品成本为5000（1-x）2元．
依题意，得
5000（1-x）2=3000
解得：x1≈0.225，x2≈1.775（不合题意，舍去）
4.同样的方法请同学们尝试计算乙种药品的平均下降率,并比较哪种药品成本的平均下降率较大。
教学目标
新课讲解
解：设乙种药品成本的平均下降率为y．
则，6000（1-y）2=3600
整理，得：（1-y）2=0.6
解得：y≈0.225
答：两种药品成本的年平均下降率一样大.
5.
思考：经过计算，你能得出什么结论？
经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．
教学目标
新课讲解
归纳：类似地，这种增长率的问题有一定的模式．若平均增长（或降低）百分率为x，增
长（或降低）前的是a，增长（或降低）n次后的量是b，则它们的数量关系可表示为a(1±x)n＝b（增长取＋，降低取－）．
教学目标
新课讲解
三、重难点精讲
例题：某公司2017年的各项经营中，一月
份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，请你求这个增长率.
解：设这个增
长率为x.根据题意，得
200+200(1+x)
+200(1+x)2=950
教学目标
新课讲解
答：这个增长率为50%.
整理方程，得
4x2+12x-7=0，
解这个方程得
x1=-3.5（舍去），x2=0.5.
注意：增长率不可为负，但可以超过1.
变化率问题：
若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：
a(1±x)n=b（常见n=2）
教学目标
新课讲解
归纳：解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．
教学目标
新课讲解
四、学以致用
菜农李伟种植的某蔬菜，计划以每千克5元的价格对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植，造成
该蔬菜滞销，李伟为了加快销售，减少损失，对价格经过两次下调后，以每千克3.
2元的价格对外批发销售.
(1)求平均每次下调的百分率；
（1）解：设平均每次下调的百分率为x，
教学目标
新课讲解
解得
x1=20%，x2=1.8
（舍去）
答：平均每次下调的百分率为20%;
由题意，得
5(1－x)2=3.2，
（2）小华准备到李伟处购买5吨该蔬菜，因数量多，李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
方案一所需费用为：3.2×0.9×5000=14400（元）
教学目标
新课讲解
∵14400＜15000，
∴小华选择方案一购买更优惠.
方案二所需费用为：3.2×5000－200×5=15000（元）
教学目标
新课讲解
总结：列一元二次方程解应用题的一般步骤：
列一元二次方程解应用题的步骤：
审、设、找、列、解、答。
最后要检验根是否符合实际意义。
1.某种数码产品原价每只400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．20%
B．80%
C．180%
D．20%或180%
教学目标
课堂练习
A
2.某厂今年一月份的总产量为500吨,三月份的总产量为720吨,平均每月增长率是x,列方程(
）
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500
(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
B
教学目标
课堂练习
3．某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在实验器材投资上的平均增长率是x,则可列方程为
__________________。
2（1+x)+2(1+x)2=8
4.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为__________．
10%
教学目标
课堂练习
5．青山村种的水稻2015年平均每公顷产7200千克，2016年平均每公顷
产8712千克，求水稻每公
顷产量的年平
均增长率.
系数化为1得，（1+x)2=1.21
直接开平方得，1+x=1.1
,
1+x=-1.1
则x1=0.1,
x2=-1.1,
解：设水稻每公顷产量的平均增长率为x,
根据题意，得
7200（1+x)2=8712
答：水稻每公顷产量的年平均增长率为10%.
今天我们学习了哪些知识？
教学目标
课堂小结
.
用一元二次方程解决变化率问题的关键是:
若平均增长（降低）率为x，增长（或降低）前的基数是a，增长（或降低）n次后的量是b,则有：
a(1±x)n=b
（常见n=2）
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21.3.2实际问题与一元二次方程
增长率问题
一．选择题
1．（2017?石家庄模拟）某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元．设这种药品成本的年平均下降率为x，则x为（ ）21·cn·jy·com
A．3%
B．6%
C．8%
D．10%
2．（2017?任城区一模）某种数码产品原价每只400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为（ ）www.21-cn-jy.com
A．20%
B．80%
C．180%
D．20%或180%
3．奉节特产专卖店销售2015年良种夏季脐橙，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克．若该专卖店销售这种脐橙要想平均每天获利2240元，为减少库存，每千克脐橙应降价多少元？（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．4元
B．6元
C．4元或6元
D．5元
4．2015年某县GDP总量为1000亿元，计划到2017年全县GDP总量实现1210亿元的目标．如果每年的平均增长率相同，那么该县这两年GDP总量的平均增长率为（ ）
A．1.21%
B．8%
C．10%
D．12.1%
5．（2017?哈尔滨模拟）我省2014年的快递业务量为1.4亿件，2015年位居全国第一，2016年快递业务量达4.5亿件，设2015年与2014年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）21cnjy.com
A．1.4（1+x）=4.5
B．1.4（1+2x）=4.5
C．1.4（1+x）2=4.5
D．4（1+x）+1.4（1+x）2=4.5
6.
据（南通市2005年国民经济和社会发展统计公报）报告：南通市2005年国内生产总值达1493亿元，比2004年增长11.8%．下列说法：
①2004年国内生产总值为1493（1-11.8%）亿元；
②2004年国内生产总值为亿元；
③2004年国内生产总值为亿元；
④若按11.8%的年增长率计算，2007年的国内生产总值预计为1493（1+11.8%）2亿元．
其中正确的是（ ）21·世纪
教育网
A．③④
B．②④
C．①④
D．①②③
二．填空题
7．（2017?高新区一模）仙桃市大力推进义务教育均衡发展，加强学校标准化建设，计划用三年时间对全市学校的设施和设备进行全面改造，2014年市政府已投资5亿元人民币，若每年投资的增长率相同，预计2016年投资7.2亿元人民币，那么每年投资的增长率为 ．
8．（2017?黔东南州模拟）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由1000元降到了810元．则平均每月降价的百分率为 ．21教育网
9．（2017春?沂源县校级月考）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件可
盈利40元．为了扩大销售量，增加盈利，采取了降价措施，经调查发现如果每件计划降价1元，那么商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天要赢利1200元，则每件衬衫应降价 ．
三．解答题
10．（2017?宝应县一模）某省为推广新能源汽车，计划连续五年给予财政补贴．补贴开始时间为2017年度，截止时间为2021年度．补贴期间后一年度的补贴额均在前一年度补贴额基础上递增．计划前三年，每年度按固定额度a亿元递增；后两年均在上一年的基础上按相同增长率递增．已知2018年度计划补贴额为19.8亿元．www-2-1-cnjy-com
（1）若2019年度计划补贴额比2018年度至少增加15%，求a的取值范围；
（2）若预计2017-2021这五年补贴总额比2018年度补贴额的5.31倍还多2.31a亿元，求后两年财政补贴的增长率．
2-1-c-n-j-y
11．（2017?历城区一模）2013年初，某市开始实施“旧物循环计划”，为旧物品二次利用提供了公益平台，到2013年底，全年回收旧物3万件，随着宣传力度的加大，2015年全年回收旧物试已经达6.75万件，若每年回收旧物的增长率相同．2·1·c·n·j·y
（1）求每年回收旧物的增长率；
（2）按着这样的增长速度，请预测2016年全年回收旧物能超过10万件吗？
12．（2017?邹城市模拟）2014年，邹城市某楼盘以每平方米6500元的均价对外销售，因为楼盘滞销，房地产开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两年下调后，2016年的均价为每平方米5265元．21
cnjy
com
（1）求平均每年下调的百分率；
（2）假设2017年的均价仍然下调相同的百分率，张老师准备购买一套100平方米的住房，他持有现金20万元，可以在银行贷款30万元，李老师的愿望能否实现（房价每平方米按照均价计算）？【来源：21cnj
y.co
m】
参考答案
一．选择题
1．D．
2．A．
3．B．
4．C．
5．C
6.
A
二．填空题
7．20%．
8．10%．
9．10元或20元．
三．解答题
10．【解答】（1）根据已知得：19.8×15%≤a，
解得：2.97≤a，
答：a的取值范围为a≥2.97．
（2）设后两年财政补贴的增长率为x，
根据题意得：19.8-a+19.8+19.8+a+（19.8+a）×（1+x）+（19.8+a）×（1+x）2=19.8×5.31+2.31a，
（19.8+a）m2+3（19.8+a）m-0.31（19.8+a）=0，
m2+3m-0.31=0，
（m-0.1）（m+3.1）=0，
m1=0.1=10%，x2=-3.1（舍），
答：后两年财政补贴的增长率为10%．21世纪教育网版权所有
11．【解答】解：（1）设年平均增长率为x，
根据题意得3（1+x）2=6.75．
解得x1=0.5，x2=﹣2.5（舍去），
答：平均增长率为50%．
（2）6.75×（1+50%）=10.125万件＞10万件．
∴2016年全年回收旧物能超过10万件．
（2）假设2017年的均价仍然下调相同的百分率，则2017年的房价为：
5265×（1﹣10%）=4738.5（元/平方米）
则购买一套100平方米的住房的总房款为：100×4738.5=473850（元）=48.385（万元），
∵20+30＞47.385，
∴李老师的愿望能实现．
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