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22.1.2
二次函数y=ax2的图像和性质
一．选择题
1．函数y=﹣2x2图象是（ ）
A．直线
B．双曲线
C．抛物线
D．不能确定
2．比较二次函数y=x2与y=﹣x2的图象，下列结论错误的是（ ）
A．对称轴相同
B．顶点相同
C．图象都有最高点
D．开口方向相反
3．当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．一条开口向下的抛物线的顶点坐标是（2，3），则这条抛物线有（ ）
A．最大值3
B．最小值3
C．最大值2
D．最小值-2
5．如图，在同一直角坐标系中，作出函数①y=3x2；②y=；③y=x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（ ）
A．①②③
B．①③②
C．②③①
D．③②①
6.
当-4≤x≤2时，函数y=-（x+3）2+2的取值范围为（ ）
A．-23≤y≤1
B．-23≤y≤2
C．-7≤y≤1
D．-34≤y≤2
二．填空题
7．二次函数y=（k+1）x2的图象如图所示，则k的取值范围为 ．
8．二次函数的图象与y=3x2的图象的相同点是_______________，不同点是
_______________．
9．已知二次函数y=x2的图象如图所示，线段AB∥x轴，交抛物线于A、B两点，且点A的横坐标为2，则AB的长度为 ．
三．解答题
10．画出下列函数的图象：
（1）y=2x2；
（2）y=﹣2x2；
（3）y=﹣x2；
（4）y=x2．
11.
函数y=（m+2）xm2+m?4是关于x的二次函数，求：
（1）满足条件的m值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点．这时，当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时，当x为何值时，y随x的增大而减小．
参考答案
一．选择题
二．填空题
7．k＞﹣1．
8．开口方向相同，顶点坐标相同，对称轴相同
前者开口大，后者开口小
9．
4．
三．解答题
10．解：如图所示．
11．解：（1）根据题意得m+2≠0且m2+m-4=2，
解得m1=2，m2=-3，
所以满足条件的m值为2或-3；
（2）当m+2＞0时，抛物线有最低点，
所以m=2，
抛物线解析式为y=4x2，
所以抛物线的最低点为（0，0），当x≥0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=-3时，抛物线开口向下，函数有最大值；
抛物线解析式为y=-x2，
所以二次函数的最大值是0，这时，当x≥0时，y随x的增大而减小．
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人教版数学九年级上22.1《二次函数y=ax2的图像和性质》教学设计
课题
22.1.2二次函数的图像和性质
单元
第二十一章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
在探究二次函数y＝ax2的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想。
能力目标
经历画图象、观察图象等过程，说出二次函数y＝ax2的图象和性质。
知识目标
1、会用描点法画出二次函数y=ax2的图象；2、根据图象观察、分析出二次函数y=ax2
的性质；
3、理解二次函数和抛物线的有关知识。
重点
能在直角坐标系中，画出二次函数y=ax2的图象，并能说出二次函数y=ax2的图象的性质。
难点
在作二次函数y=ax2的图象时，要注意，选取适当的点；在动手作图的时候，要根据少量的点连出光滑的抛物线，作图不会很理想。
学法
自主思考、协作讨论、类比学习法
教法
自主探究、合作交流、讲练结合。
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、温故知新1、如何用描点法画一个函数的图象？①_____②____③用平滑的____连接起来.2、结合图象讨论性质是________地研究函数的重要方法.3、回忆一次函数的图象、反比例函数的图象特征,那么二次函数的图象又有何特征呢?活动：请大家用乒乓球模拟篮球作投篮动作,观察乒乓球的运动路线,思考其运动路线有何特征.
怎样用数学规律来描述呢?
观察抛物线的实例图,议一议这与二次函数有何联系。
通过回忆旧知、联系生活引发学生兴趣，导入本课主题。
通过图片联系生活，从生活中发现问题，启发思考。
讲授新课
二、探究新知1.类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函数
y
=
x
2
的图象，并分析它的图象特征和性质。①用描点法画最简单的二次函数
y
=
x2的图象②用数形结合法分析二次函数的图像特征和性质。议一议：请同学们观察y=x2的图象的性质，然后分组探讨。①形状：二次函数是一条曲线，我们把这条曲线叫做___________.只是这条曲线开口向上，②对称性：_____是抛物线y=x2的对称轴，它们的交点（0，0）叫做抛物线的_____.③开口：它开口向_______，所以其顶点为最______点.④在对称轴的左侧，抛物线从左到右______，即当x＜0时，y随x的增大而____；反之，在对称轴的右侧，抛物线从左到右_______
，即当x＞0时,y随x的增大而________.归纳与总结：一般地,抛物线y=ax2的对称轴是_____,顶点是(0,0).当a>0时,抛物线的开口_____,顶点是抛物线的最____点,a越大,抛物线的开口_____,在对称轴的左侧,y随x的增大而____,在对称轴的右侧,y随x的增大而____.当a<0时,抛物线的开口向____,顶点是抛物线的最____点,a越大,抛物线的开口越____,在对称轴的左侧,y随x的增大而_____,在对称轴的右侧,y随x的增大而 _____.2.
在同一直角坐标系中，请你画出函数，的图象，这两个函数的图象与函数
y
=
x
2
的图象相比，
有什么共同点？有什么不同点？总结：当
a＞0
时，二次函数y
=
ax
2
的图象有什么特点？3.类比
a＞0
时的研究过程，画图研究当a＜0
时，二次函数y
=
ax2的图象有什么特点？4.你能说出二次函数y
=
ax2的图象特征和性质吗？归纳总结：一般地，
抛物线
y
=
ax2
的对称轴是
y
轴，
顶点是原点．当
a＞0
时，
抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当
a＜0
时，
抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．对于抛物线
y
=
ax
2
，｜a｜越大，抛物线的开口越小．如果
a＞0，当
x＜0
时，y
随
x
的增大而减小，当x＞0
时，y
随
x
的增大而增大； 如果
a＜0，当
x＜0
时，y
随
x
的增大而增大，当x＞0
时，y
随
x
的增大而减小．
学生们过去已熟知了画函数图象的方法：①列表、②描点、③连线。引导学生画出函数 y=x2的图像。
让学生概括图像的特点，提示学生从开口方向、对称性等方面考虑。教师引导学生总结归纳，进一步巩固二次函数的图像特征和性质。运用类比法引导学生从特殊形式到一般形式探究二次函数的特征和性质，由学生自主画图、讨论总结，老师做最后归纳。
帮助学生回忆已学知识，在
基础上引导学习新知。
通过自主观察分析及讨论让学生探究总结出二次函数图像的特征和性质印象更加深刻。引导学生形成从特殊到一般数学思想，从而掌握一般形式的二次函数的图像特征和性质。
三、学以致用1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：2.
抛物线，其对称轴左侧，y
随
x
的增大而
；在对称轴的右侧，y
随
x
的增大而
．3.如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为______________。
运用讲练结合法，通过实际运用熟练二次函数的图像特征和性质。先让学生自主完成，将学习的主动权交给学生，培养学生的学习能力。
通过实际应用，巩固新知二次函数的图像特征和性质，并能熟练解题。
课堂练习
1.抛物线y=
x2，y=-3x2，y=-4x2，y=2x2的图象开口最大的是（ ）A．y=
x2
B．y=﹣3x2
C．y=﹣4x2
D．y=2x22.二次函数y=（k+2）x2的图象如图所示，则k的取值范围为______________．3．如图，函数y=﹣ax2和y=ax+b在同一直角坐标系中的图象可能为（ ）A．
B．
C．
D．
讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知。
通过练习巩固本课所学，学会运用新知解答问题。了解对新知的掌握情况。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？二次函数y=ax2的图像的特征和性质：如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小。
学会总结学习收获，巩固知识点，理清知识间的联系。
让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。
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二次函数y=ax?的图像和性质
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
一、温故知新
1.如何用描点法画一个函数的图象？
①_______②______③用平滑的______连接起来.
列表
描点
曲线
2.
结合图象讨论性质是__________地研究函数的重要方法.
数形结合
3.回忆一次函数的图象、正比例函数的图象特征,那么二次函数的图象又有何特征呢?
教学目标
导入新课
1.一次函数y=kx+b（k，b为常数，且k≠0）
3.k＞0时，y随着x的增大而增大；k＜0时，y随着x的增大而较小。
一次函数的图象特征：
2.一条直线，即直线y=kx+b．
教学目标
导入新课
1.正比例函数y=kx（k常数，且k≠0）
3.过
(0,0)，(1,k)两点的一条直线．
正比例函数的图象特征：
2.正比例函数是一次函数b=0时的特殊情况。
直线经过一、三象限
直线经过二、四象限
活动：请大家用乒乓球模拟篮球做投篮动作,观察乒乓球的运动路线,思考其运动路线有何特征.
怎样用数学规律来描述呢?
观察抛物线的实例图,议一议这与二次函数有何联系。
教学目标
导入新课
教学目标
新课讲解
二、探究新知
1.类比一次函数的研究内容和研究方法，画出二次函数
y
=
x2
的图象，并分析二次函数图像的特征和性质。
①用描点法画最简单的二次函数
y
=
x2
的图象.
②用数形结合法分析二次函数的图像特征和性质.
x
y
O
－3
3
3
6
9
教学目标
新课讲解
画二次函数y=x2的图象
x
…
0
…
y
…
…
-1
-3
-2
1
2
3
①列表：
1
9
4
1
4
9
0
②描点：
1
2
3
4
5
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
o
-1
-2
-3
-4
-5
y=x2
③连线：
对称轴是y轴
这是抛物线的顶点
轴对称图形
这是一条抛物线
教学目标
新课讲解
议一议：
请同学们观察y=x2的图象的性质，然后分组探讨。
①形状：二次函数是一条曲线，我们把这条曲线叫做__________。
②对称性：_________是抛物线y=x2的对称轴，它们的交点（0，0）叫做抛物线的__________。
抛物线
y轴
顶点
③开口：它开口向_____，所以其顶点为最______点.
教学目标
新课讲解
上
低
④在对称轴的左侧，抛物线从左到右______，即当x＜0时，y随x的增大而______；反之，在对称轴的右侧，抛物线从左到右_______
，即当x＞0时,y随x的增大而________.
下降
减小
增大
上升
1
2
3
4
5
x
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
y
0
-1
-2
-3
-4
-5
教学目标
新课讲解
分析y=-x2的图像特征
当x=-2时，y=-4
当x=-1时，y=-1
当x=1时，y=-1
当x=2时，y=-4
当x＜0（在对称轴的左侧），y随着x的增大而增大
当x＞0（在对称轴的右侧），y随着x的增大而减小
抛物线y=-x2在x轴的下方（除顶点外），顶点是它的最高点，开口向下，并且向下无限延伸；当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
一般地,抛物线y=ax2的对称轴是______,顶点是______.当a>0时,抛物线的开口_______,顶点是抛物线的最______点,
在对称轴的左侧,y随x的增大而______,在对称轴的右侧,y随x的增大而______.当a<0时,抛物线的开口向_____,顶点是抛物线的最_____点,在对称轴的左侧,y随x的增大而_______,在对称轴的右侧,y随x的增大而_______.
观察图像，归纳与总结：
教学目标
新课讲解
y轴
(0,0)
向上
低
减小
增大
下
高
增大
减小
教学目标
新课讲解
?
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是
y
轴
不同点：a
要越大，抛物线的开口越小．
新课讲解
总结：当a＞0时，二次函数y=ax2的图象有什么特点？
一般地，当a＞0时，抛物线y=ax2的开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，a越大，抛物线的开口越小。
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
新课讲解
3.类比
a＞0时的研究过程，画图研究当a＜0
时，二次函数y=ax2的图象有什么特点.
?
x
y
O
－2
2
-2
-4
-6
4
－4
-8
y=-x2
?
y=-2x2
新课讲解
总结：当a＜0时，二次函数
y=ax2的图象有什么特点？
一般地，当a＜0时，抛物线y=ax2的开口向下，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a越大，抛物线的开口越大。
x
y
O
－2
2
-2
-4
-6
4
－4
-8
y=-x2
?
y=-2x2
新课讲解
一般地，
抛物线
y
=
ax2
的对称轴是
y
轴，
顶点是原点．
当
a＞0
时，
抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；
当
a＜0
时，
抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点．
对于抛物线
y
=
ax2，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
4.你能说出二次函数y
=
ax?的图象特征和性质吗？
如果
a＞0，当
x＜0
时，y
随
x
的增大而减小，当x＞0
时，y
随
x
的增大而增大；
如果
a＜0，当
x＜0
时，y
随
x
的增大而增大，当x＞0
时，y
随
x
的增大而减小．
新课讲解
y=ax2
a＞0
a＜0
图像
开口
对称性
顶点
增减性
新课讲解
总结：
开口向上
开口向下
|a|越大，开口越小
关于y轴对称
顶点坐标是原点（0，0）
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴右侧递减
在对称轴左侧递增
三、学以致用
新课讲解
1. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
开口向上、y
轴、原点．
开口向下、y
轴、原点．
开口向上、y
轴、原点．
开口向下、y
轴、原点．
新课讲解
2.
抛物线 ，其对称轴左侧，y
随
x
的增大而
；在对称轴的右侧，y
随
x
的增大而
．
增大
减小
3.如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为______________。
a＞b＞d＞c
2.二次函数y=（k+2）x2的图象如图所示，则k的取值范围为______________．
教学目标
课堂练习
1.抛物线y=
x2，y=-3x2，y=-4x2，y=2x2的图象开口最大的是（ ）
A．y=
x2
B．y=-3x2
C．y=-4x2
D．y=2x2
A
k＞﹣2
教学目标
课堂练习
3.如图，函数y=﹣ax2和y=ax+b在同一直角坐标系中的图象可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
D
今天我们学习了哪些知识？
二次函数y=ax2的图像的特征和性质：
如果a＞0，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
教学目标
课堂小结
如果a＜0，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小。
｜a｜越大，抛物线的开口越小
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