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22.1.3
二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质
一．选择题
1．对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下；
②对称轴为直线x=1；
③顶点坐标为（﹣1，3）；
④x＞1时，y随x的增大而减小，
其中正确结论的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．y=x2+2的对称轴是直线（ ）
A．x=2
B．x=0
C．y=0
D．y=2
3．抛物线y=3（x﹣4）2+5的顶点坐标为（ ）
A．（﹣4，﹣5）
B．（﹣4，5）
C．（4，﹣5）
D．（4，5）
4．关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（ ）
A．它的开口方向是向下
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
C．它的顶点坐标是（2，3）
D．当x=0时，y有最大值是3
5．在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2-4x-2的图象保持不动，把x轴向右移动3个单位，把y轴向上移动4个单位，则此时所得图象对应的函数解析式为（ ）
A．y=（x-1）2-10
B．y=（x+1）2+10
C．y=（x-1）2+10
D．y=（x+1）2-10
二．填空题
6．二次函数y=x2﹣1的图象是一条 ．
7．二次函数y=（k+2）x2的图象如图所示，则k的取值范围是 ．
8．二次函数y=x2+1的最小值是 ．
三．解答题
9．画出函数y=﹣x2+1的图象．
10．在给定坐标系内，画出函数y=（x﹣1）2的图象，并指出y随x增大而减小的x的取值范围．
11．已知二次函数y=﹣（x+1）2+4的图象如图所示，请在同一坐标系中画出二次函数y=﹣（x﹣2）2+7的图象．
12．
已知二次函数
（1）用配方法把该二次函数的解析式化为y=a（x+h）2+k的形式；
（2）指出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
参考答案
一．选择题
1．C．
2．B．
3．D．
4．B．
5．D．
二．填空题
6．抛物线．
7．k＞﹣2．
8．
1．
三．解答题
9．【解答】解：列表如下：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣8
﹣3
0
1
0
﹣3
﹣8
…
描点、连线如图．
10．【解答】解：如图，当x≤1，y随x的增大而减小．
11．【解答】解：答案如右图
．
12．【解答】
（2）
∴开口向下；
顶点坐标（-1，4）；
对称轴为直线x=-1．
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二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
一、复习回顾
回顾y=ax2的图象和性质：
1.二次函数y=ax2的图象是什么？
2.它具有怎样的图象特征和性质？
3.你是怎么研究的？
x
y
0
y=x2
教学目标
导入新课
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线。
2.二次函数y=ax2的图象特征和性质：
对称轴是y轴，顶点是原点；
如果a＞0，抛物线开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，当x＞0时，y随x的增大而增大；
如果a＜0，抛物线开口向下，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＞0时，y随x的增大而减小。
3.画图、数形结合法研究的。
教学目标
新课讲解
二、探究新知
1.
类比探究二次函数y=ax2+k的图象和性质
类比y=
ax2的研究内容和研究方法，画出二次函数
y
=
2x2
+
1，
y
=
2x2
-
1
的图象，并探究它们的图象特征和性质。
(1)自主学习：参照教材P32例2的填表、描点、画图。
教学目标
新课讲解
画二次函数y=2x2+1的图象
x
…
0
…
y
…
…
-0.5
-1.5
-1
0.5
1
1.5
①列表：
1.5
5.5
3
1.5
3
5.5
1
②描点：
③连线：
1
2
x
1
2
3
4
5
y
0
-1
-2
y=2x2+1
教学目标
新课讲解
画二次函数y=2x2-1的图象
x
…
0
…
y
…
…
-0.5
-1.5
-1
0.5
1
1.5
①列表：
-0.5
3.5
1
-0.5
1
3.5
-1
②描点：
③连线：
1
2
x
-1
1
2
3
4
y
0
-1
-2
y=2x2-1
教学目标
新课讲解
(2)讨论：
①抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?
抛物线y=2x2+1：开口向上，对称轴是y轴，顶点(0,1)。
抛物线y=2x2-1：开口向上，对称轴是y轴，顶点(0,-1)。
归纳：
a>0时,开口向上,对称轴是y轴,顶点(0,k),最小值为k.
a<0时,开口向下,对称轴是y轴,顶点(0,k),最大值为k.
教学目标
新课讲解
②抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么位置关系?
y
-1.5
-1
1
2
x
-1
1
2
3
4
0
-1
-2
5
6
y=2x2-1
y=2x2+1
y=2x2
归纳：
教学目标
新课讲解
把抛物线y=2x2向_____平移_____个单位,就得到抛物线y=2x2+1,把抛物线y=x2向_____平移____个单位,就得到抛物线y=2x2-1.
上
1
下
1
当
k＞0
时，把抛物线
y=ax2
向上平移
k
个单位，就得到抛物线
y
=
ax2
+
k；
当
k＜0
时，把抛物线
y=ax2
向下平移｜k｜个单位，就得到抛物线
y=ax2+k．
图象上下平移的口诀：k值正上移，负下移.（上加下减）
教学目标
新课讲解
(3)归纳与总结：
通过对二次函数
y=2x2+1，y=2x2-1的探究，你能说出二次函数
y=ax2+k（a＞0）的图象特征和性质吗？
一般地，当
a＞0
时，抛物线y=ax2+k的对称轴是
y
轴，顶点是（0，k），开口向上，顶点是抛物线的最低点，a
越大，抛物线的开口越小．
当x＜0时，y随x的增大而减小，
当x＞0时，y随x的增大而增大
。
当
a＜0
时，抛物线
y=ax2+k
的对称轴是
y
轴，顶点是（0，k），开口向下，顶点是抛物线的最高点，a
越小，抛物线的开口越小．
当
x＜0
时，
y
随
x
的增大而增大，
当
x＞0
时，
y
随
x
的增大而减小．
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
练习：
D
抛物线y=-2x?向上移动1个单位后的对称轴是
（
）
A.直线x=
B.直线x=-
C.直线x=2
D.y轴
教学目标
新课讲解
2.
类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
?
(1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、画图。
x
y
O
－2
2
-2
-4
-6
4
－4
-8
教学目标
新课讲解
?
?
?
新课讲解
?
图象左右平移的口诀：h值正右移，负左移.（左加右减）
新课讲解
抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2形状相同，位置不同．
当h＞0时，把抛物线y＝ax2向右平移h个单位，可以得到抛物线y＝a(x－h)2；
归纳：抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2有什么关系？
当h＜0时，把抛物线y＝ax2向左平移∣h∣个单位，可以得到抛物线y＝a(x－h)2．
教学目标
新课讲解
(3)归纳与总结：
y=a(x-h)2的图像性质：
a>0,开口向____,当x=____时,函数y有最____值=____,在对称轴的左侧,y随x的增大而______,在对称轴的右侧,y随x的增大而_______.
a<0,开口向____,当x=____时,函数y有最____值=___,在对称轴的左侧,y随x的增大而______,在对称轴的右侧,y随x的增大而_______.
下
上
h
h
小
0
大
0
增大
增大
减小
减小
抛物线y=x2向左平移2个单位后的顶点坐标是（ ）
A．（-2，-2）
B．（2，0）
C．（0，0）
D．（-2，0）
练习：
教学目标
新课讲解
D
教学目标
新课讲解
3.
类比探究二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
?
x
y
O
－2
2
-2
-4
-6
4
－4
-8
教学目标
新课讲解
?
?
?
新课讲解
(2)讨论：
?
?
请你思考：还有其他的平移方法吗？
先向左平移一个单位，再向下平移一个单位。
教学目标
新课讲解
(3)归纳与总结：
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质：
一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．
把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．
平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．
抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：
教学目标
新课讲解
（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．
（2）对称轴是x＝h．
（3）顶点是（h，k）．
从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：
如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；
如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小
。
1.若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x-2）2+k，则顶点坐标为（ ）
A．（-2,-1）
B．（-2,1）
C．（2,-1）
D．（2，1）
练习：
教学目标
新课讲解
D
2.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
教学目标
新课讲解
解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立直角坐标系
点（1，3）是图中这段抛物线的顶点，因此可设这段抛物线对应的函数解析式是
y=a（x-1）2+3（0≤
x≤3）
教学目标
新课讲解
由这段抛物线经过点（3,0），可得
0=a（3-1）2+3
?
?
当x=0时，y=2.25，也就是说，水管应2.25m长。
2
.关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（ ）
A．它的开口方向是向下
B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小
C．它的顶点坐标是（2，3）
D．当x=0时，y有最大值是3
教学目标
课堂练习
1.
y=x2+2的对称轴是直线（ )
A．x=2
B．x=0
C．y=0
D．y=2
B
B
教学目标
课堂练习
3.已知函数图象如图所示，根据图象可得：
（1）抛物线顶点坐标___________；
（2）对称轴为________；
（3）当x=____时，y有最大值是_____；
（4）当________时，y随着x得增大而增大．
（5）当____________时，y＞0．
（-3，2）
x=-3
-3
2
x＜-3
-5＜x＜-1
4.将函数y=3x+1的图象向______平行移动_____个单位，可使它经过点（1，-1）．
教学目标
课堂练习
下
5
5.若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到________________。
y=2（x-1）2+5
今天我们学习了哪些知识？
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质：
（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．
教学目标
课堂小结
（4）平移规律：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移.
（左加右减，上加下减）
（2）对称轴是x＝h．
（3）顶点是（h，k）．
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人教版数学九年级上22.1.3二次函数y=a（x-h）2+k的图像和性质教学设计
课题
22.1.3二次函数的图像和性质
单元
第二十一章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
引导学生养成全面看问题、分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性。
能力目标
1、通过对二次函数一般形式的分类与图像关系的研究，培养学生的动手操作、观察、分析、分类讨论、归纳概括的能力；
2、体会运用“特殊到一般”、“数形结合”的数学思想方法。
知识目标
1．会用描点法画出二次函数y
=
a(x
–h)2+k
的图象；2．通过图象了解二次函数的图象特征和性质．3．会确定函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
重点
观察图象，得出二次函数y
=
a(x–h)2的图象特征和性质．
难点
1.
观察图象，得出图象特征和性质．2.
理解二次函数y＝a(x－h)2、y＝ax2之间的关系．
学法
自主思考、协作讨论、类比学习法
教法
启发引导、探究交流
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、复习回顾：
回顾y
=
ax2的图象和性质： 1.二次函数
y
=
ax2的图象是什么？2.它具有怎样的图象特征和性质？3.你是怎么研究的？
通过回忆旧知、提问问题引发学生思考，导入本课主题。
帮助学生回忆已学知识，在
基础上引导学习新知。
讲授新课
二、探究新知1.类比探究二次函数
y
=
ax2
+
k的图象和性质 类比y=
ax2的研究内容和研究方法，画出二次函数y
=
2x2
+
1，
y
=
2x2
-
1
的图象，并探究它们的图象特征和性质。(1)自主学习：参照教材P32例2的填表、描点、画图。
(2)讨论：①抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴、顶点各是什么?归纳：a>0时,开口向上,对称轴是y轴,顶点(0,k),最小值为k.a<0时,开口向下,对称轴是y轴,顶点(0,k),最大值为k.②抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么位置关系?
归纳：当
k＞0
时，把抛物线
y
=
ax2
向上平移
k
个单位，就得到抛物线
y
=
ax2
+
k； 当
k＜0
时，把抛物线
y
=
ax2
向下平移｜k｜个单位，就得到抛物线
y
=
ax2
+
k．图象上下平移的口诀：k值正上移，负下移.(3)归纳与总结：
通过对二次函数
y
=
2x2
+
1，
y
=
2x2
-
1
的探究，你能说出二次函数
y
=
ax
2
+
k（a＞0）的图象特征和性质吗？ 一般地，当
a＞0
时，抛物线
y
=
ax2
+
k
的对称轴是
y
轴，顶点是（0，k），开口向上，顶点是抛物线的最低点，a
越大，抛物线的开口越小．当
x＜0
时，
y
随
x
的增大而减小，当
x＞0
时，
y
随
x
的增大而增大．
当
a＜0
时，抛物线
y
=
ax2
+
k
的对称轴是
y
轴，顶点是（0，k），开口向下，顶点是抛物线的最高点，a
越小，抛物线的开口越小．当
x＜0
时，
y
随
x
的增大而增大，当
x＞0
时，
y
随
x
的增大而减小．完成相应练习2.
类比探究二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 画出二次函数y=-2，y=-2，y=-2的图象，并探究它们的图象特征和性质。(1)自主学习：参照教材P33-34“探究”的填表、描点、画图。
(2)讨论：①观察y＝－(x＋1)2，y＝－(x－1)2的图象，分别指出他们的开口方向、对称轴、顶点。
抛物线y＝－
(x＋1)2的开口向下，对称轴是经过点(－1，0)且与x轴垂直的直线，把它记作x＝－1，顶点是(－1，0)；抛物线y＝－
(x－1)2的开口向下，对称轴是x＝1，顶点是(1，0)．②y=-2，y=-2与抛物线y=-2有什么关系？归纳：抛物线y＝a(x－h)2与抛物线y＝ax2有什么关系？抛物线y＝a(x－h)2与y＝ax2形状相同，位置不同．当h＞0时，把抛物线y＝ax2向右平移h个单位，可以得到抛物线y＝a(x－h)2；当h＜0时，把抛物线y＝ax2向左平移∣h∣个单位，可以得到抛物线y＝a(x－h)2．图象左右平移的口诀：h值正右移，负左移.
(3)归纳与总结：y=a(x-h)2的图像性质：a>0,开口向____,当x=___时,函数y有最___值=____,在对称轴的左侧,y随x的增大而____,在对称轴的右侧,y随x的增大而____.
a<0,开口向____,当x=____时,函数y有最___值=____,在对称轴的左侧,y随x的增大而____,在对称轴的右侧,y随x的增大而_____.
完成相应练习3.
类比探究二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质(1)自主学习：在同一直角坐标系中，画出二次函数y＝－x2,y＝－x2－1，y＝－(x+1)2－1的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点．(2)讨论：怎样移动抛物线y＝－x2就可以得到抛物线y＝－(x+1)2－1
？
请你思考：还有其他的平移方法吗？(3)归纳与总结：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状相同，位置不同．把抛物线y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k．平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：（1）当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．（2）对称轴是x＝h．（3）顶点是（h，k）．从二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象可以看出：如果a＞0，当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大；如果a＜0，当x＜h时，y随x的增大而增大，当x＞h时，y随x的增大而减小．练习1.若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=（x-2）2+k，则函数坐标为（ ）A．（-2，-1）
B．（-2，1）C．（2，-1）
D．（2，1）
2.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
先让学生回顾二次函数画图的三个步骤:①列表、②描点、③连线。，按照画图步骤画出函数y＝2x2＋1,
y＝2x2-1的图象。再画出函数y＝2x2的图象，根据所画图象进行比较。提示学生从图像开口方向、对称轴、顶点等方面对比分析。再结合分析抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2的位置关系,总结出二次函数y
=
ax2
+
k的图象性质。教师引导学生根据画函数图象的步骤画出函数的图象，交流合作，各组选派代表发表意见学生观察所画的函数图象，互相交流、探讨，再让学生发表各自的见解，教师补充完善。学生交流讨论并归纳出y=a(x-h)2的图像特点和性质，教师补充不足。教师引导学生列表并画图，观察、认识这三个函数之间的关系，然后组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言．讨论总结，归纳出二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质。
掌握画二次函数图象的方法，学会观察图象，探究二次函数的性质。
通过讨论“特殊”情况归纳
“一般”，不仅引导学生运用从特殊到一般的学习方法，还培养了学生的交流沟通能力、总结归纳能力。性质归纳是学生经历从特殊到一般，具体到抽象以及数学表达能力的由实践上升到理论训练。再次运用类比法研究更复杂的二次函数图像，巩固了研究方法。再次体会“从特殊到一般”数学数学方法。
课堂练习
1.
y=x2+2的对称轴是直线（ )A．x=2
B．x=0
C．y=0
D．y=22
.关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（ ）A．它的开口方向是向下B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小C．它的顶点坐标是（2，3）D．当x=0时，y有最大值是33.已知函数图象如图所示，根据图象可得：（1）抛物线顶点坐标___________；（2）对称轴为________；（3）当x=____时，y有最大值是_____；（4）当________时，y随着x得增大而增大．（5）当____________时，y＞0．4.将函数y=3x+1的图象向______平行移动_____个单位，可使它经过点（1，-1）．5.若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到________________。
讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知。
通过练习巩固本课所学，创设学生活动的机会，及时反馈知识的掌握情况。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？（2）对称轴是x＝h．（3）顶点是（h，k）．（4）平移规律：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移.
学会总结学习收获，巩固知识点，理清知识间的联系。
让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。
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