(共25张PPT)
实际问题与一元二次方程（第一课时）
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
一、温故知新
1.
一元二次方程的解法有哪些？
2.列方程解题的一般步骤？
a.配方法
b.公式法
c.因式分解法
d.直接开平方法
2.
a.审
b.设
c.找
d.列
e.解
f.验
g.答
同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学。
下面我们继续讨论如何利用一元二次方程解决实际问题。
启发思考：你知道传染病的传播速度是多快吗？
二、探究新知
新课讲解
探究1
:
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流
感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
思考：1.本题中有哪些数量关系？
教学目标
新课讲解
探究1
:
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流
感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
1人传染最后121人患了流感
2.
如何理解“两轮传染”？
1人是传染源，经一轮传染后，这些人都是传染源；这些传染源再经一轮传染导致更多人患病。
3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？
设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了_____人；第一轮传染后，共有______人患了流感；
在第二轮传染中，传染源是______人，这些人中每一个人又传染了_____人，第二轮传染后，共有________人患流感.
教学目标
新课讲解
x
1+x
1+x
x
x(1+x)
4.根据等量关系列方程并求解
教学目标
新课讲解
解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意：
解方程得
x1=10，
x2=-12(不合题意舍去)
因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．
于是可列方程：
1+x+x(1+x)=121
5.为什么要舍去一解？
传播人数不可能负值，-12不合题意，故舍去。
6.如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？
教学目标
新课讲解
121+121×10=1331（人）
答：三轮传染后，有1331人患流感.
三轮传染后的总人数：（1+x）+x（1+x）+x·x（1+x）
注意:1.此类问题是传播问题.
2.计算结果要符合问题的实际意义.
教学目标
新课讲解
三、重难点精讲
例题：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电
脑被感染，经过两轮感染后就会有100
台电脑被感
染．请你用学过的知识分析，
每轮感染中平均一台电脑会感染
几台电脑？若病毒得不到有效控
制，4
轮感染后，被感染的电脑
会不会超过
7000
台？
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染
x
台电脑，则
1＋x＋x(1＋x)＝100
教学目标
新课讲解
4
轮感染后，被感染的电脑数为(1＋x)4＝104>7000
即(1＋x)2＝100.
解得
x1＝9，x2＝－11(舍去)
．
∴
x＝9.
答：每轮感染中平均每一台电脑会感染
9
台电脑，4
轮感染后，被感染的电脑会超过7000台．
传播问题：
第一轮传播后的量=传播前的量×
（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一
轮传播后的量×（1+传播速度
）
=传播前的量×
（1+传播速度）2
教学目标
新课讲解
归纳：解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．
教学目标
新课讲解
四、学以致用
1.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？
解：设每天平均一个人传染了x人
教学目标
新课讲解
即
（1+x）2
=9
解得
x
1=-4
(舍去），
x2=2.
答：每天平均一个人传染了2人。
则
1+x+x(1+x)=9
如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？
9(1+x)
5=
9(1+2)5=2187，
(1+x)7=
(1+2)7=2187
这个地区一共将会有2187人患甲型流感.
教学目标
新课讲解
2.在老师所教的班级中，每两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么谁能计算出老师所教的班级共有多少名学生呢？
教学目标
新课讲解
解：设李老师所教班共有x名学生，依题意有
即（x-40）（x+39）=0，
解得：x=40或x=-39（舍去）．
故老师所教的班共有40名学生．
教学目标
新课讲解
总结：列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审题，分析，找出已知量和未知量，找出数量关系；
（2）设未知数，一般采取直接设法，有的要间接设；
（3）根据数量关系，列方程，要注意方程两边的数量相等，方程两边的代数式的单位相同；
（4）选择合适的方法解方程；
（5）检验。因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的
根后，一定要进行检验
．
教学目标
新课讲解
五、拓展提升
象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分。如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别使1979,1980,1984,1985.经核实，有一位同学统计无误。试计算这次比赛共有多少个选手参加。
解：设共有n个选手参加比赛。
每个选手都要与（n-1）个选手比赛一局，共计n（n-1）局，
教学目标
新课讲解
显然（n-1）与n为相邻的自然数，容易验证，相邻两自然数乘积的末位数字只能是0，2，6，
∴总分不可能是1979，1984，1985，总分只能是1980.
教学目标
新课讲解
∴参加比赛的选手共有45人．
∴由n（n-1）=1980，
得n2-n-1980=0，
解得n1=45，n2=-44（舍去）．
1.有一根月季，它的主干长出若干数目的
枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（
）
A.1+x+x(1+x)=73
B.1+x+x2=73
C.1+x2
=73
D.(1+x)2=73
教学目标
课堂练习
B
教学目标
课堂练习
2.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级
一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（
）
A.x2=1980
B.
x(x+1)=1980
C.
x(x-1)=1980
D.x(x-1)=1980
D
教学目标
课堂练习
3.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?
化简为
x2-x=30，
解得x1=-5
(舍去），x2=6.
答：应邀请6支球队参赛.
4.某种电脑病毒传播的非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑有多少台？
教学目标
课堂练习
解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．
81×8=648台
根据题意，得：1+x+x（1+x）=81，
整理得：（1+x）2=81，
解得：x1=8，x2=﹣10（不合题意，应舍去）．
答：三轮感染后，被感染的电脑有648台.
今天我们学习了哪些知识？
教学目标
课堂小结
.
用一元二次方程解决传播问题的关键步骤是:
明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数：
第一轮传播后的量=传播前的量×
（1+传播速度）
第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）
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21.3.1实际问题与一元二次方程
传播问题
一．选择题
1．（2017?迁安市一模）小明在解决一个关于计算机病毒传播的问题时，设计算机有x台，列方程3+x+x（x+3）=48，则方程的解中一定不合题意的是（ ）21世纪教育网版权所有
A．5
B．9
C．﹣5
D．﹣9
2．毕业典礼后，九年级（1）班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，则全班送贺卡共1190张，九年级（1）班人数为（ ）21·cn·jy·com
A．34
B．35
C．36
D．37
3．参加一次聚会的每两个都握了一次手，所有人共握手6次，则参加聚会的人数是（ ）
A．3人
B．4人
C．5人
D．6人
4．某学校组织篮球比赛，实行单循环制，共有36场比赛，则参加的队数为（ ）
A．8支
B．9支
C．10支
D．11支
5．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．则每轮传染中平均一个人传染了几个人？（ ）
A．5人
B．6人
C．7人
D．8人
6．某种电脑病毒传播的非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑有（ ）台．
A．81
B．648
C．700
D．729
二．填空题
7．某校准备组织一次排球比赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，共有多少个队参加？设有x个队参赛，则所列方程为__________。
8.（2017?河西区模拟）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．www.21-cn-jy.com
要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀多少个队参赛？www-2-1-cnjy-com
解题方案：
设比赛组织者应邀请x个队参赛，
（1）用含x的代数式表示：
那么每个队要与其他 个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有 场；21·世纪
教育网
（2）根据题意，列出相应方程；
（3）解这个方程，得；
（4）检验： ；
（5）答： ．
9．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮被感染后就会有144台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染______台电脑．21cnjy.com
10.
将一些半径相同的小圆按如图的规律摆放，请仔细观察，第_____个图形有94个小圆．
三．解答题
11．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？
12．（2017?历下区二模）游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行、列数相同，求增加的行数．21教育网
参考答案
一．选择题
1．D．
2．B．
3．B．
4．B．
5．C．
6．B．
二．填空题
（2）经过三轮传染后患上流感的人数为：121+10×121=1331（人）．
答：每轮传染中平均一个人传染了10个人，经过三轮传染后共有1331人患流感．
8.【解答】解：设比赛组织者应邀请x个队参赛，
（1）用含x的代数式表示：
那么每个队要与其他（x﹣1）个队各赛一场，又由于甲队对乙队的比赛和乙队对甲对的比赛是同一场比赛，所以全部的比赛一共有28场；2·1·c·n·j·y
（2）根据题意，列出相应方程：x（x﹣1）=28，
（3）解这个方程，得：x1=8，x2=﹣7，
（4）检验：x2=﹣7（舍去）；
（5）答：比赛组织者应邀请8队参赛．
故答案为：（x﹣1）；28；x（x﹣1）=28；x1=8，x2=﹣7；x2=﹣7（舍去）；比赛组织者应邀请8队参赛．【来源：21·世纪·教育·网】
9．11
10.9
三．解答题
11．【解答】解：设每一轮感染中平均每台电脑会感染x台电脑．
根据题意得：（1+x）2=81，
解得：x=8或x=﹣10（舍去）．
答：每轮感染中平均一台电脑会感染8台电脑．
12．【解答】解：设队伍增加的行数为x，则增加的列数也为x，根据题意得
（8+x）（12+x）=8×12+69．
解得x1=﹣23（舍去），x2=3．
答：增加了3行．
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精品试卷·第
2
页
（共
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人教版数学九年级上21.3第一课时教学设计
课题
21.3.1解一元二次方程
单元
第二十一章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
探究感受用一元二次方程解决实际问题的过程，提高数学应用意识。
能力目标
通过列方程解应用题体会一元二次方程在实际生活中的应用，经历将实际问题转化为数学问题的过程。
知识目标
1．能根据实际问题中的数量关系，正确列出一元二次方程；2.掌握实际问题的类型（传播问题、百分率问题）及解题的具体步骤。
重点
用一元二次方程解决传播问题、百分率问题。
难点
如何理解传播问题的传播过程。
学法
探究学习、合作交流法
教法
启发引导、讲练结合法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、温故知新1.一元二次方程的解法有哪些？2.列方程解题的一般步骤？1.a.配方法
b.公式法
c.因式分解法
d.直接开平方法2.a.审
b.设
c.找
d.列
e.解
f.验
g.答同一元一次方程、二元一次方程（组）等一样，
一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学。下面我们继续讨论如何利用一元二次方程解决实际问题。
学生回顾一元二次方程的解法，通过复习上节课内容引入本节课新知。
通过温故知新，创设问题情境，激发学生好奇心，求知欲。
讲授新课
二、探究新知启发思考：你知道传染病的传播速度是多快吗？探究1
有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流
感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?思考：1.本题中有哪些数量关系？2.如何理解“两轮传染”？3.如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？设每轮传染中平均一个人传染x个人，那么患流感的这个人在第一轮传染中传染了______人；第一轮传染后，共有______
人患了流感；在第二轮传染中，传染源是____人，这些人中每一个人又传染了______人，那么第二轮传染了______人，第二轮传染后，共有______人患流感.4.根据等量关系列方程并求解解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则依题意第一轮传染后有x+1人患了流感，第二轮传染后有x(1+x)人患了流感.于是可列方程：1+x+x(1+x)=121解方程得x1=10，
x2=-12(不合题意舍去)因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．5.为什么要舍去一解？
6.如果按照这样的传播速度，三轮传染后，有多少人患流感？注意:1.此类问题是传播问题.
2.计算结果要符合问题的实际意义.
学生通过思考，循序渐进找到解答问题的突破口，从而学会运用列一元二次方程解决实际问题。根据实际举一反三，引导学生自主解决问题，老师总结解决传播问题的注意事项。
通过思考问题，启发学生运用数学知识解决传染病问题，为运用一元二次方程解决实际问题做铺垫。让学生通过探究问题，体会运用一元二次方程解决实际问题过程，体会数学思想。
三、重难点精讲例题：某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100
台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有
效控制，4
轮感染后，被感染的电脑会不会超过
7000
台？解：设每轮感染中平均一台电脑会感染
x
台电脑，则1＋x＋x(1＋x)＝100，即(1＋x)2＝100.解得
x1＝9，x2＝－11(舍去)
．∴
x＝9.归纳：解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数．传播问题：
学生独立完成，再合作交流，教师最后巡视指导，并总结解题注意事项。
学生思考使用一元二次方程解决实际问题，进一步加强对所学知识的理解和掌握。
四、学以致用1.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流
感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？2.在老师所教的班级中，每两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么谁能计算出老师所教的班级共有多少名学生呢？总结：列一元二次方程解应用题的一般步骤：（1）审题，分析题意，找出已知量和未知量，弄清它们之间的数量关系；（2）设适当的未知数，一般采取直接设法，有的要间接设；（3）寻找数量关系，列出方程，要注意方程两边的数量相等，方程两边
的代数式的单位相同；（4）选择合适的方法解方程；
（5）检验。因为一元二次方程的解有可能不符合题意，如：线段的长度不能为负数，降低率不能大于100％．因此，解出方程的
根后，一定要进行检验
．
通过实际应用练习使用一元二次方程解决实际问题的过程。师生交流看法，总结出列一元二次方程解应用题的一般步骤。
通过解决实际问题，进一步巩固一元二次方程再实际问题中的运用。
五、拓展提升象棋比赛中，每个选手都与其他选手恰好比赛一局，每局赢者记2分，输者记0分。如果平局，两个选手各记1分，有四个同学统计了中全部选手的得分总数，分别使1979,1980,1984,1985.经核实，有一位同学统计无误。试计算这次比赛共有多少个选手参加。
思考并讨论解题。
通过拓展提升巩固本课新知，帮助学生学会迁移运用。
课堂练习
1.有一根月季，它的主干长出若干数目的
枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干、小分支的总数是73，设每个枝干长出x个小分支，根据题意可列方程为（
）A.1+x+x(1+x)=73
B.1+x+x2=73
C.1+x2
=73
D.(1+x)2=732.元旦将至，九年级一班全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张，问九年级
一班共有多少名学生？设九年级一班共有x名学生，那么所列方程为（
）A.x2=1980
B.
x(x+1)=1980
C.
x(x-1)=1980
D.x(x-1)=19803.要组织一场篮球联赛,赛制为单循环形式,即每两队之间都赛一场,计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?4.某种电脑病毒传播的非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑有多少台？
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正。
通过练习巩固本课所学，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系。
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？本节学习了用一元二次方程解决传播问题，解决此类问题的关键步骤是：明确每轮传播中的传染源个数，以及这一轮被传染的总数：第一轮传播后的量=传播前的量×
（1+传播速度）第二轮传播后的量=第一轮传播后的量×（1+传播速度）=传播前的量×
（1+传播速度）2
学会学生体会，反思，归纳总结本节的主要收获。
通过学生亲自解决实际问题的感受与经验，总结解题关键。
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精品试卷·第
2
页
（共
2
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