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人教版数学九年级上22.1.1二次函数第一课时教学设计
课题
22.1.1二次函数
单元
第二十一章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
体会数学与生活的联系，锻炼学生的理性思维，体会通过探究学习新知识的乐趣。
能力目标
经历探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
知识目标
1.结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；2.能够表示简单变量之间的二次函数关系，能应用二次函数的相关知识解决简单的问题。
重点
将简单的实际问题转化为二次函数的模型.
理解二次函数的有关概念，能应用二次函数的相关知识解决简单的问题。
难点
将简单的实际问题转化为二次函数的模型。
学法
自主思考、协作讨论、类比学习法
教法
引导发现法、合作交流、讨论以及讲练结合
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、情境引入回忆：1.什么是函数？2.我们学过哪些函数？出示章前图，学生观察。
从喷头飞出的水珠，在空中走过一条美丽曲线，你想知道在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系吗？通过本章的学习，我们就可解开这一疑团。
引发学生兴趣，导入本课主题。
通过图片联系生活，从生活中发现问题，启发思考。
讲授新课
二、探究新知【例题1】正方体的六个面是全等的正方形,如果正方体形的棱长为x,表面积为y,请你写出y与x的关系式。分析：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为y=6x2.
①【例题2】n
个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数m与球队数n有什么关系？
分析：每个队要与其他（n-1）支球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是
y=
②【例题3】某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系应怎样表示？
分析：这种产品的原产量是20件，一年后的产量是
件，再经过一年后的产量是______件，即两年后的产量为_________，
即：
③【思考1】观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么共同点?
1.左右两边都是整式2.自变量的最高次幂都是2小组交流、讨论得出结论：____________________
。
【思考2】什么是二次函数？
形如_______________
（
）的函数，叫做二次函数.其中______是自变量。【小结】二次函数的特征条件：（1）各项均为________式；（2）自变量的最高次数为________；（3）二次项系数不等于__________。指出下列函数y=ax2+bx+c中的a、b、c.【思考3】函数y=ax2+bx+c，（1）当a，b，c满足______时，它是二次函数
；(2)
当a，b，c满足______时，它是一次函数；（3）当a，b，c满足______时，它是正比例函数。
教师出示问题，并给予一定的分析。学生独立思考，列出关系式，学生回答，全班进行订正.
请3名学生板练
教师提出问题：这三个关系式有什么共同点？?学生充分地发表自己的见解，教师引导学生归纳出特点，得到二次函数的定义.?
探索具体问题中的数量关系和变化规律.
分析关系式的特征，得出二次函数定义。通过类比法让学生探究学习自行总结出二次函数的定义并归纳其特征使知识更加印象深刻。
三、新知运用??1.下列函数中，（x是自变量），哪些是二次函数？为什么？①
y=ax2+bx+c
②
s=3-2t?
③y=x2④
⑤y=x?+x?+25
⑥y=(x+3)?-x?2.
已知y与x2成正比例，且当x=3时，y=-18，写出y与x之间的函数解析式，它是二次函数吗？3.已知函数y=（m2-m）x2+mx-2（m为常数），根据下列条件求m的值：（1）y是x的一次函数；（2）y是x的二次函数．
运用讲练结合法，通过实际运用熟练二次函数的概念和特征。先让学生自学完成，将学习的主动权交给学生，培养学生的学习能力。
强调对二次函数概念的理解，有助于学生更好地理解，掌握二次函数的具体特征。
课堂练习
1.下列函数中是二次函数的是（ ）A．y=3x﹣1
B．y=x3﹣2x﹣3
C．y=（x+1）2﹣x2
D．y=3x2﹣12.y关于x的二次函数：y=2x2﹣6x﹣5的一次项系数、常数项分别为（ ）A．6、2、5
B．2、﹣6、5
C．2、﹣6、﹣5
D．﹣2、6、53．一个二次函数y=（k﹣1）
+2x﹣1．已知k2-3k+4=2.（1）求k值．（2）求当x=0.5时y的值？4．在y=（m+3）xm2+m-4+（m+2）x+2，当m为何值时，y是x的二次函数？5.某汽车的行驶路程y（m）与行驶时间x（s）之间的函数表达式为y=3x+1/2x2．y是x的二次函数吗？求汽车行驶60s的路程．
讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知。
通过练习巩固本课所学，学会运用新知解答问题。了解对新知的掌握情况。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？一个函数是否为二次函数的关键是什么？判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,y=ax2+c等.
学会总结学习收获，巩固知识点，理清知识间的联系。
让学生来谈本节课的收获，培养学生自我检查、自我小结的良好习惯，将知识进行整理并系统化。
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22.1.1二次函数
1．在下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ）
A．y=2x2
B．y=2x﹣2
C．y=ax2
D．
2．二次函数y=x2+2x+3的定义域为（ ）
A．x＞0
B．x为一切实数
C．y＞2
D．y为一切实数
3．对于y=ax2+bx+c，有以下四种说法，其中正确的是（ ）
A．当b=0时，二次函数是y=ax2+c
B．当c=0时，二次函数是y=ax2+bx
C．当a=0时，一次函数是y=bx+c
D．以上说法都不对
4．圆的面积公式S=πR2中，S与R之间的关系是（ ）
A．S是R的正比例函数
B．S是R的一次函数
C．S是R的二次函数
D．以上答案都不对
5．已知y=xm﹣5是y关于x的二次函数，那么m的值为（ ）
A．﹣2
B．2
C．±2
D．0
6．
在下列4个不同的情境中，两个变量所满足的函数关系属于二次函数关系的有（ ）
①设正方形的边长为x面积为y，则y与x有函数关系；
②x个球队参加比赛，每两个队之间比赛一场，则比赛的场次数y与x之间有函数关系；
③设正方体的棱长为x，表面积为y，则y与x有函数关系；
④若一辆汽车以120km/h的速度匀速行驶，那么汽车行驶的里程y（km）与行驶时间x（h）有函数关系．21世纪教育网版权所有
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题
7．若y=ax2﹣3x-2是二次函数，则a的取值范围是 ．
8．如果函数y=（k﹣3）+kx+1是二次函数，那么k的值一定是 ．
9．已知两个变量x，y之间的关系式为y=（a-2）x2+（b+2）x-3．
（1）当______时，x，y之间是二次函数关系；
（2）当______时，x，y之间是一次函数关系．
三．解答题
10．已知y=（m﹣2）x+3x+6是二次函数，求m的值．
11．分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）d=n2﹣n，
（2）y=1﹣x2．
12．函数y=（kx﹣1）（x﹣3），当k为何值时，y是x的一次函数？当k为何值时，y是x的二次函数？21教育网
参考答案
一．选择题
二．填空题
7．a≠0．
8．0．
9．a≠2；a=2且b≠-2．
三．解答题（共5小题）
10．【解答】解：由题意可知：
解得：m=﹣1
11．【解答】解：（1）二次项系数、一次项系数和常数项分别为、﹣、0；
（2）二次项系数、一次项系数和常数项分别为﹣1、0、1．
12．【解答】解：∵y=（kx﹣1）（x﹣3）=kx2﹣3kx﹣x+3=kx2﹣（3k+1）x+3，
∴k=0时，y是x的一次函数，
k≠0时，y是x的二次函数．
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二次函数（第一课时）
人教版
九年级上
教学目标
情景导入
回忆：1.什么是函数？
函数描述的是某个变化过程中两个变量的关系。
如果用字母x、y代表两个变量，那么对于x在某个范围内的每一个值，y都有唯一的值与它对应。我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。
2.我们学过哪些函数？
一次函数、正比例函数
教学目标
情景导入
从喷头飞出的水珠，在空中走过一条美丽曲线，你想知道在这条曲线的各个位置上，水珠的竖直高度h与它距离喷头的水平距离x之间有什么关系吗？
通过本章的学习，我们就可解开这一疑团。
教学目标
新课讲解
二、探究新知
例题1：如图，正方体的棱长为
x
，那么正方体的表面积
y
与
x
之间有什么关系？
分析：正方体的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为x，表面积为y.显然，对于x的每一个值，y都有一个对应值，即y是x的函数，它们的具体关系可以表示为？
y=6x2
①
教学目标
新课讲解
例题2：
n
个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．比赛的场次数
m
与球队数
n
有什么关系？
分析：每个队要与其他（n-1）支球队各比赛一场，甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数是：
?
?
②
例题3：某工厂某种产品现在的年产量是
20
t
，计划今后两年增加产量．如果每一年都比上一年的产量增加
x
倍，那么两年后这种产品的产量
y
将随计划所定的
x
的值而确定，y
与
x
之间的关系应该怎样表示？
教学目标
新课讲解
分析：这种产品的原产量是20
t
，一年后的产量是____________t
，再经过一年后的产量是________________
t
，即两年后的产量为_______________.
20(1+x)
20(1+x)(1+x)
y=20(1+x)2
y=20(1+x)2
=20x2+40x+20
③
教学目标
新课讲解
思考1：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么共同点?
小组交流、讨论得出结论。
y=6x2
①
?
②
y=20x2+40x+20
③
1，左右两边都是整式
2.自变量的最高次幂都是2
新课讲解
思考2：什么是二次函数？
形如_______________（___________________）的函数，叫做二次函数.其中____是自变量。
y=ax2+bx+c
a
,b,c是常数,a≠0
x
二次项系数
y=ax2+bx+c(a
,b,c是常数,a≠0)
一次项系数
常系数
新课讲解
小结：二次函数的特征条件：
（1）各项均为________式；
（2）自变量的最高次数为________；
（3）二次项系数不等于________。
2
0
整
新课讲解
指出下列函数y=ax2+bx+c中的a、b、c.
（1）a=-3、b=-1、c=-1.
（2）a=5、b=0、c=-6.
（3）化为一般式：y=x2+x
∴
a=1、b=1、c=0.
新课讲解
（1）当a，b，c满足______________________时，它是二次函数；
（2）当a，b，c满足______________________时，它是一次函数；
（3）当a，b，c满足_______________________时，它是正比例函数。
a=0，c=0，
b≠0
a≠0
a=0且b≠0
思考3：函数y=ax2+bx+c，
1.下列函数中，（x是自变量），哪些是二次函数？为什么？
新课讲解
?
√
×
①不一定是，缺少a≠0的条件
√
×
×
×
④不是，右边是分式
⑤不是，x的最高次数是3
⑥可以化成y=6x+9。
三、新知运用
新课讲解
2.已知y与x2成正比例，且当x=3时，y=-18，写出y与x之间的函数解析式，它是二次函数吗？
解：∵y与x2成正比例，
∴y=kx2（k≠0），
把x=3，y=-18代入得：-18=32?k，
∴k=-2，
∴y与x之间的函数解析式为
y=-2x2．
符合二次函数的定义，属于二次函数．
3.已知函数y=（m2-m）x2+mx-2（m为常数），根据下列条件求m的值：
（1）y是x的一次函数；
（2）y是x的二次函数．
新课讲解
（2）y是x的二次函数，只须m2-m≠0，
∴m≠1和m≠0．
解：（1）y是x的一次函数，
则可以知道，m2-m=0，
解之得：m=1，或m=0，
又因为m≠0，所以，m=1．
教学目标
课堂练习
1.下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y=3x﹣1
B．y=x3﹣2x﹣3
C．y=（x+1）2﹣x2
D．y=3x2﹣1
D
教学目标
课堂练习
2.y关于x的二次函数：y=2x2﹣6x﹣5的一次项系数、常数项分别为（ ）
A．6、2、5
B．2、﹣6、5
C．2、﹣6、﹣5
D．﹣2、6、5
C
教学目标
课堂练习
3．一个二次函数y=（k﹣1）x2
+2x﹣1．已知k2-3k+4=2.
（1）求k值．
（2）求当x=0.5时y的值？
解：（1）由题意得：k2﹣3k+4=2，且k﹣1≠0，
（2）把k=2代入y=（k﹣1）x2
+2x﹣1得：y=x2+2x﹣1，
解得：k=2；
?
教学目标
课堂练习
4．在y=（m+3）xm2+m-4+（m+2）x+2，当m为何值时，y是x的二次函数？
解：依题意得：m2+m-4=2且m+3≠0．
即（m-2）（m+3）=0且m+3≠0，
解得m=2；
教学目标
课堂练习
?
?
今天我们学习了哪些知识？
一个函数是否为二次函数的关键是什么？
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断.
教学目标
课堂小结
除此之外，二次函数除有一般形式y=ax2+bx+c(a≠0)外，还有其特殊形式如y=ax2,y=ax2+bx,y=ax2+c等.;
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