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人教版数学九年级上22.2二次函数与一元二次方程教学设计
课题
22.2二次函数与一元二次方程
单元
第二十二章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
培养合作的良好意识和大胆探索数学知识间联系的好习惯，体会到二次函数广泛意义。?
能力目标
经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系.
知识目标
掌握二次函数与一元二次方程的联系。
重点
能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解.
难点
函数→方程→x轴交点，三者之间的关系的理解与运用。
学法
自主思考、协作讨论
教法
讲练结合、合作交流互助
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：我们已经知道，一元二次方程根的情况与“△=b2-4ac”有关：1.当△＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等实数根,
x1,2=2.当△=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根,x1=x2=-3.当△＜0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.一、观察思考：
ax?
+
bx
+
c
=
0和y=
ax?
+
bx
+
c
之间的关系和区别是怎么样？关系：区别：
回顾旧知，联系新知。通过知识联系提问问题引发学生思考，导入本课主题。
通过知识回顾，引导学生学习新知。通过思考问题，帮助学生建立知识之间的联系。
讲授新课
二、探究新知活动1：小组合作问题
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度
能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？（4）球从飞出到落地要用多少时间？活动2.讨论分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.上面问题(1)可以转化为已知二次函数h=20t－5t2的值为15，求自变量t的值.可以解一元二次方程20t－5t2＝3(即5t2-20t-3＝0);反过来，解方程5t2-20t-3＝0又可以看作已知二次函数y=5t2-20t-3的值为0，求自变量x的值.二次函数与一元二次方程的关系：一般地，可以利用二次函数深入探究一元二次方程.
学生以小组为单位进行思考，交流，讨论，尝试解决。教师巡视，及时了解学生的探究成果。师生共同分析，教师适当点拨，由学生板书问题，师生讲评。教师引导学生总结：二次函数与一元二次方程的解的关系。
激起学生的好奇心，探索欲望，让学生充分参与数学活动.
培养学生自主分析能力和表达能力，养成理性思考的习惯.
三、重难点精讲1.
二次函数（1）y＝x2＋x－2；（2）
y＝x2－6x＋9；（3）
y＝x2－x＋1.的图象如图所示。观察并回答：（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？总结：一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系巩固练习：下列二次函数的图象与
x
轴有交点吗?
若有，求出交点坐标.（1）
y
=
x2＋x－2（2）
y
=
4x2
－4x
+1（3）
y
=2
x2
–
2x+
1归纳：一般地，如果二次函数y=
的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程
=0的根。（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.总结：由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.
近似值的求法：1.可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根;2.可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围。
学生分组解答，由二次函数图像问题自然过渡到一元二次方程解答问题。教师引导学生尝试总结二次函数和一元二次方程的关系，并加以完善.
通过解答问题，帮助学生体会二次函数与一元二次方程的关系，从而轻松攻破重难点。增强学生归纳概括能力和表达能力，经历由感性认识到理性认识的过程.
四、巩固应用例
利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.
提示：解答本题可以有两种方法。
学生尝试解答，提示学生：可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根。
通过解答习题，帮助学生巩固应用所学新知，并培养学生的解题能力。
课堂练习
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是(
)A.abc＜0
B.2a+b=0C.b2-4ac＞0
D.a-b+c＞02.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=-4.5，则方程的另一个近似根为x2=________????（精确到0.1）．3.
.已知抛物线y=x2-4x+3
（1）求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当x取何值时，y＞0？4.（1）请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象；（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2-2x=1的根在图上近似的表示出来（描点）；（3）观察图象，直接写出方程x2-2x=1的根．（精确到0.1）
讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知。
通过练习巩固本课所学，创设学生活动的机会，及时反馈知识的掌握情况。
课堂小结
通过本节课的内容，你有哪些收获？1.
二次函数与一元二次方程的关系：如果抛物线与x轴有公共点（x0，0），那么x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根。
抛物线与x轴的三种位置关系：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。2.
会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳
帮助学生归纳总结，巩固所学知识。
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22.2二次函数与一元二次方程
一．选择题
1．已知二次函数y=kx2﹣7x﹣7的图象与x轴没有交点，则k的取值范围为（ ）
A．k＞﹣
B．k≥﹣且k≠0
C．k＜﹣
D．k＞﹣且k≠0
2．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象于x轴的交点坐标分别为（x1，0），（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0）在x轴下方，对于以下说法：www.21-cn-jy.com
①b2﹣4ac＞0；
②x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解；
③x1＜x0＜x2
④a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0；
⑤x0＜x1或x0＞x2，
其中正确的有（ ）
A．①②
B．①②④
C．①②⑤
D．①②④⑤
3．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A．x1=0
x2=4
B．x1=1
x2=5
C．x1=1
x2=﹣5
D．x1=﹣1
x2=5
4．小颖用计算器探索方程ax2+bx+c=0的根，作出如图所示的图象，并求得一个近似根x=﹣3.4，则方程的另一个近似根（精确到0.1）为（ ）21·世纪
教育网
A．4.4
B．3.4
C．2.4
D．1.4
5．观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1.1=0的最精确的一个近似解是（ ）
x
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
x2﹣x﹣1.1
﹣0.99
﹣0.86
﹣0.71
﹣0.54
﹣0.35
﹣0.14
0.09
0.34
0.61
A．0.09
B．1.1
C．1.6
D．1.7
6．小明利用二次函数的图象估计方程x2﹣2x﹣2=0的近似解，如表是小明探究过程中的一些计算数据．根据表中数据可知，方程x2﹣2x﹣2=0必有一个实数根在（ ）
x
1.5
2
2.5
3
3.5
x2﹣2x﹣2
﹣2.75
﹣2
﹣0.75
1
3.25
A．1.5和2之间
B．2和2.5之间
C．2.5和3之间
D．3和3.5之间
二．填空题
7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则抛物线与x轴的另一个交点坐标为
．
8．已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为﹣1，则a+c=
．
9．二次函数y=x2﹣x﹣2的图象如图所示，那么关于x的方程x2﹣x﹣2=0的近似解为
（精确到0.1）．21教育网
10．二次函数的图象如图，对称轴为x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是
．2·1·c·n·j·y
三．解答题
11．已知函数y=x2-（m-2）x+m的图象过点（-1，15），设其图象与x轴交于点A、B（A在B的左侧），点C在图象上，且S△ABC=1，求：
（1）求m；
（2）求点A、点B的坐标；
（3）求点C的坐标．21世纪教育网版权所有
12．二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣
…
根据表格中的信息，完成下列各题
（1）当x=3时，y=
；
（2）当x=
时，y有最
值为
；
（3）若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是该二次函数图象上的两点，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，试比较两函数值的大小：y1
y221cnjy.com
（4）若自变量x的取值范围是0≤x≤5，则函数值y的取值范围是
．
参考答案
一．选择题
1．C；2．B；3．D；4．D；5．D；6．C；
二．填空题
7．（4，0）；
8．1；
9．x1=﹣1.3，x2=4.3；
10．﹣1≤t＜8；
三．解答题
11.
解：（1）∵函数y=x2-（m-2）x+m的图象过点（-1，15），
∴15=1+m-2+m，
解得：m=8．
（2）将m=8代入y=x2-（m-2）x+m中得：y=x2-6x+8，
令y=0，则x2-6x+8=0，
解得：x1=2，x2=4，
∵A在B的左侧，
∴点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（4，0）．
（3）设点C的坐标为（n，n2-6n+8），
∵A（2，0），B（4，0），
∴AB=2，21·cn·jy·com
解得：n1=1，n2=6，n3=3，
∴点C的坐标为（1，1）、（6，1）或（3，-1）．
12.
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二次函数与一元二次方程
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
复习回顾：
我们已经知道，一元二次方程根的情况与“△=b2-4ac”有关：
1.当△＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等实数根,
?
2.当△=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根,
?
3.当△＜0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
教学目标
导入新课
一、观察思考
ax?+bx+c=0和y=ax?+bx+c之间的关系和区别是怎么样？
关系：
当函数y=ax?+bx+c的值为0时，就得到方程ax?+bx+c=0。
区别：一个是方程，一个是二次函数。
教学目标
新课讲解
二、探究新知
活动1：小组合作
如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2，考虑以下问题：
教学目标
新课讲解
（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？
（2）球的飞行高度
能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？
（4）球从飞出到落地要用多少时间？
教学目标
新课讲解
活动2.讨论分析：
由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t－5t2，所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值.
上面问题(1)可以转化为已知二次函数h=20t－5t2的值为15，求自变量t的值.可以解一元二次方程20t－5t2＝15(即5t2-20t+15＝0);
反过来，解方程5t2-20t+15＝0又可以看作已知二次函数y=5t2-20t+15的值为0，求自变量t的值.
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
解：（1）
当h=15m时，
解方程
15=20t-5t2,
t2-4t+3=0,
解得：
t1=1,t2=3.
∴当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.
教学目标
新课讲解
解：（2）当h=20m时，
解方程：
20=20t-5t2,
t2-4t+4=0,解得：t1=t2=2.
当球飞行2秒时，它的高度为20米
.
教学目标
新课讲解
解：（3）
当h=20.5m时，
解方程：20.5=20t-5t2,
即t2-4t+4.1=0,
因为(-4)2-4
×4.1<0,所以方程无解.
即球的飞行高度达不到20.5米.
教学目标
新课讲解
解：（4）当小球落地，则h=0m时，
解方程：0=20t-5t2,
转化为：t2-4t=0,
解得：t1=0,t2=4.
当球飞行0秒和4秒时，它的高度为0米.即0秒时球地面飞出，4秒时球落回地面.
二次函数与一元二次方程的关系：
一般地，可以利用二次函数y=ax?+bx+c深入探究一元二次方程ax?+bx+c=0
教学目标
新课讲解
已知二次函数，求自变量的值
解一元二次方程的根
教学目标
新课讲解
三、重难点精讲
1.二次函数(1)y＝x2＋x－2；
(2)y＝x2－6x＋9；
(3)y＝x2－x＋1.
的图象如图所示。观察并回答：
（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？
（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？
y＝x2＋x－2
（1）抛物线y＝x2＋x－2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是－2，1。
（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2＋x－2=0的根是－2,1.
教学目标
新课讲解
y＝x2－6x＋9
（1）抛物线y＝x2－6x＋9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.
（2）当x＝3时，函数的值是0.由此得出方程x2－6x＋9=0有两个相等的实数根3.
教学目标
新课讲解
y＝x2－x＋1.
（1）抛物线y＝x2－x＋1与x轴没有公共点.
（2）方程x2－x＋1=0没有实数根.
教学目标
新课讲解
总结：一元二次方程的根与二次函数与x轴交点的关系
教学目标
新课讲解
1.当△＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不等实数根:
?
2.当△=0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根,
?
3.当△＜0时，方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根.
此时函数y=ax2+bx+c与x轴没有交点
巩固练习：下列二次函数的图象与
x
轴有交点吗?
若有，求出交点横坐标.
（1）
y
=
x2＋x－2
（2）
y
=4x2
－4x
+1
（3）
y
=
2x2
–
2x+
1
教学目标
新课讲解
x
y
o
令
y=
0，解一元二次方程的根
（1）解：当y=0时，x2+x-2=0
（x＋2）（x－1）=0
x1=-2，x2=
1
所以与
x
轴有交点，有两个交点。
教学目标
新课讲解
（2）解：当y=0时，4x2-4x+1=0
（2x－1）2=0
x1=x2=0.5
所以与
x
轴有一个交点。
教学目标
新课讲解
（3）解：当y=0时，2x2–2x+1=0
因为（-2）2－4×2×1=-4<0
所以与
x
轴没有交点。
教学目标
新课讲解
归纳：
一般地，如果二次函数y=
ax?+bx+c=0的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax?+bx+c
=0的根。
（1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根。
（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。
这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.
新课讲解
总结：
由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的.
教学目标
新课讲解
近似值的求法：
1.可以通过不断缩小根所在的范围估计一元二次方程的根;
2.可以通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围。
教学目标
新课讲解
四、巩固应用
利用函数图象求方程x2－2x－2＝0的实数根（精确到0.1）.
解：作y=x2-2x-2的图象(如右图所示)
它与x轴的公共点的横坐标大约是-0.7,2.7.
所以方程x2-2x-2=0的实数根为
x1≈0.7，x2≈2.7.
教学目标
课堂练习
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x=1，下列结论中错误的是（ )
A．abc＜0
B．2a+b=0
C．b2-4ac＞0
D．a-b+c＞0
D
教学目标
课堂练习
2.小颖用几何画板软件探索方程ax2+bx+c=0的实数根，作出了如图所示的图象，观察得一个近似根为x1=-4.5，则方程的另一个近似根为x2=________(精确到0.1）．
2.5
教学目标
课堂练习
3.已知抛物线y=x2-4x+3
（1）求该抛物线与x轴的交点坐标；
（2）当x取何值时，y＞0？
解：（1）∵y=x?-4x+3=（x-1）（x-3）
∴该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和
（3，0）；
（2）由（1）知，该抛物线与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0）．
∵y=x2-4x+3=（x-2）?-1，
∴该抛物线的顶点坐标是（2，-1），且抛物线的开口方向向上，大致图象如图所示：
教学目标
课堂练习
∴当x＜1或x＞3时，y＞0．
4.
（1）请在坐标系中画出二次函数y=x2-2x的大致图象；
（2）根据方程的根与函数图象的关系，将方程x2-2x=1的根在图上近似的表示出来（描点）；
（3）观察图象，直接写出方程x2-2x=1的根．（精确到0.1）
教学目标
课堂练习
解：（1）如下图，
y=x2-2x=（x-1）2-1，
作出顶点，作出与x轴的交点，连线平滑．
教学目标
课堂练习
（2）正确作出点M，N；
（3）写出方程的根为-0.4，2.4．
二次函数
y=ax2+bx+c
的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
一元二次方程ax2+bx+c=
0的根
一元二次方程ax2+bx+c=
0根的判别式Δ=b2-4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
只有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2
–
4ac
>
0
b2
–
4ac
=
0
b2
–
4ac
<
0
今天我们学习了哪些知识？
教学目标
课堂小结
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