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22.3.1实际问题与二次函数
最值问题
一．选择题
1．烟花厂某种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是h=﹣2t2+20t+1，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（ ）
A．3s
B．4s
C．5s
D．10s
2．（2017?临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表：
下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线；
③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y公尺，且时间与高度关系为y=ax2+bx．若此炮弹在第8秒与第14秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？（ ）
A．第11秒
B．第10秒
C．第9秒
D．第8秒
4．（2017?江北区模拟）如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（ ）
A．比开始高0.8m
B．比开始高0.4m
C．比开始低0.8m
D．比开始低0.4m
5．（2017春?太和县校级月考）如图，一边靠墙（墙有足够长），其他三边用20米长的篱笆围成一个矩形（ABCD）花园，这个花园的最大面积是（ ）平方米．
A．40
B．50
C．60
D．以上都不对
二．填空题
6．（2017?青羊区模拟）如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上，设矩形的一边AB=xm，矩形的面积为ym2，则y的最大值为
．
7．如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm．动点P从A点开始沿AB向B点以1cm/s的速度运动（不与B点重合），动点Q从B点开始沿BC以2cm/s的速度向C点运动（不与C重合）．如果P、Q同时出发，四边形APQC的面积最小时，要经过
秒．
8．某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为
m2．
9．某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是
m．
三．解答题
10．
如图，在某场足球比赛中，球员甲从球门底部中心点O的正前方10m处起脚射门，足球沿抛物线飞向球门中心线；当足球飞离地面高度为3m时达到最高点，此时足球飞行的水平距离为6m．已知球门的横梁高OA为2.44m．
（1）在如图所示的平面直角坐标系中，问此飞行足球能否进球门？（不计其它情况）
（2）守门员乙站在距离球门2m处，他跳起时手的最大摸高为2.52m，他能阻止球员甲的此次射门吗？如果不能，他至少后退多远才能阻止球员甲的射门？
11．（2017?德州）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度的多少？
12．（2017?成都）随着地铁和共享单车的发展，“地铁+单车”已成为很多市民出行的选择，李华从文化宫站出发，先乘坐地铁，准备在离家较近的A，B，C，D，E中的某一站出地铁，再骑共享单车回家，设他出地铁的站点与文化宫距离为x（单位：千米），乘坐地铁的时间y1（单位：分钟）是关于x的一次函数，其关系如下表：
地铁站
A
B
C
D
E
x（千米）
8
9
10
11.5
13
y1（分钟）
18
20
22
25
28
（1）求y1关于x的函数表达式；
（2）李华骑单车的时间（单位：分钟）也受x的影响，其关系可以用y2=x2﹣11x+78来描述，请问：李华应选择在那一站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短？并求出最短时间．
参考答案
一．选择题
二．填空题
6．300m2．
7．3．
8．
144．
9．3．
三．解答题
10．【解答】解：（1）抛物线的顶点坐标是（4，3），
设抛物线的解析式是：y=a（x﹣4）2+3，
把（10，0）代入得36a+3=0，
解得a=﹣，
则抛物线是y=﹣（x﹣4）2+3，
当x=0时，y=﹣×16+3=3﹣=＜2.44米，
故能射中球门；
（2）当x=2时，y=﹣（2﹣4）2+3=＞2.52，
∴守门员乙不能阻止球员甲的此次射门，
当y=2.52时，y=﹣（x﹣4）2+3=2.52，
解得：x1=1.6，x2=6.4（舍去），
∴2﹣1.6=0.4（m），
答：他至少后退0.4m，才能阻止球员甲的射门．
11．【解答】解：（1）如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为
：y=a（x﹣1）2+h，
代入（0，2）和（3，0）得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+；
即y=﹣x2+x+2（0≤x≤3）；
（2）y=﹣x2+x+2（0≤x≤3），
当x=1时，y=，
即水柱的最大高度为m．
12．【解答】解：（1）设y1=kx+b，将（8，18），（9，20），代入得：
，
解得：，
故y1关于x的函数表达式为：y1=2x+2；
（2）设李华从文化宫回到家所需的时间为y，则
y=y1+y2=2x+2+x2﹣11x+78=x2﹣9x+80，
∴当x=9时，y有最小值，ymin==39.5，
答：李华应选择在B站出地铁，才能使他从文化宫回到家所需的时间最短，最短时间为39.5分钟．
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实际问题与二次函数（第一课时）
人教版
九年级上
教学目标
导入新课
一、温故知新
二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴是
，顶点坐标是
.当x=
时，y的最值是
.
二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是
，顶点坐标是
___
.当x=
____时，函数有最___
值，是
_____
.
x=h
（h，k）
k
h
?
?
?
教学目标
导入新课
3.
二次函数y=2(x-3)2-5的对称轴是
，顶点坐标是
.当x=
时，y的最
值是
.
4.
二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是
，顶点坐标是
.当x=
时，函数有最___
值，是
.
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是
，顶点坐标是
.当x=
时，函数有最______值，是
.
x=3
（3，5）
3
小
-5
x=-4
（-4，-1）
-4
大
-1
x=2
（2,1）
2
1
小
问题1：体育课上，同学们都在准备体育测试。小明从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：m）与铅球的运动时间t（单位：s）之间的关系是h=30t-5t2（0≤t
≤
6）.小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
二、探究新知
新课讲解
新课讲解
h=30t-5t?（0≤t≤6）
t
0
1
2
3
4
5
6
h=30t-5t?
0
25
40
45
40
25
0
新课讲解
h=30t-5t?（0≤t≤6）
（1）图中抛物线的顶点在哪里？
（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？
（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？
（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？
3
45
从函数的图象可以看出，抛物线的顶点是这个函数的图象的_______点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最______值.
最高
大
新课讲解
?
3
45
3s
45m
教学目标
新课讲解
归纳：
一般地，当a＞0（a____）时，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是最低(_____)点，也就是说，当x=______时，y有最小（____）值是________。
<0
高
大
?
教学目标
新课讲解
巩固练习：
A．10m
B．3m
C．4m
D．2m或10m
A
教学目标
新课讲解
三、类比探究
问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？
分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l的值.
?
教学目标
新课讲解
你能画出此函数的图象吗？
如图，该函数图象是一条抛物线的一部分，该抛物线的顶点是函数图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，s有最大值.
教学目标
新课讲解
5
10
15
20
25
30
100
200
l
s
O
．
即l是15m时，场地的面积S最大.（S=225㎡)
解决此类问题的基本思路：
【1】理解问题；
【2】分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；
【3】
列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，
确定自变量的取值范围；
【4】
在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方
求出二次函数的最大值或最小值；
【5】
检验结果的合理性。
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长为10m）围成长方形养鸡场.设养鸡场的长BC为x米，面积为y平方米.
巩固练习：
教学目标
新课讲解
请问：(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围?
(2)x取何值时所围成的面积最大，最大值是多少？
?
?
教学目标
新课讲解
?
?
∵墙长为10m，
∴0＜x≤10，
答：当长方形的长为10m时，养鸡场的面积最大，最大面积是70m2．
1.用一根长为40
cm的绳子围成一个面积为a
cm2的长方形，那么a的值不可能为(
)
A.20
B.40
C.100
D.120
教学目标
课堂练习
D
2.用一根长为20
cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是______cm2.
12.5
教学目标
课堂练习
3.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60
cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；
(2)当
x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？
∴当x=30时，S有最大值，最大值为450.
即当x为30cm时，菱形风筝的面积最大，最大面积是450cm2
。
教学目标
课堂练习
?
教学目标
课堂练习
4.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．设△PQD的面积为S，点移动的时间为x（x＞0）
（1）求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；
（2）经过多少时间，△PQD的面积最小？
解：（1）根据题意得：AP=x，BQ=2x，
则BP=6-x，CQ=12-2x，
∴△PQD的面积S=矩形ABCD的面积-△APD的面积-△PBQ的面积-△CDQ的面积
教学目标
课堂练习
=x2-6x+36，
∴S=x2-6x+36（0＜x≤6）；
（2）∵S=x2-6x+36=（x-3）2+27，1＞0，
∴当x=3时，S最小；即经过3s时，△PQD的面积最小．
?
今天我们学习了哪些知识？
教学目标
课堂小结
.
1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.
2.利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键.
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人教版数学九年级上22.3.1第一课时教学设计
课题
22.3.1实际问题与二次函数
单元
第二十二章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
通过将“二次函数的最大值”的知识灵活用于实际,让学生亲自体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣.
能力目标
1.通过研究生活中实际问题,让学生体会建立数学建模的思想.
2.掌握图形面积问题中的相等关系的寻找方法，并会应用函数关系式求图形面积的最值；
知识目标
通过探究实际问题与二次函数关系,让学生掌握利用顶点坐标解决最大值(或最小值)问题的方法.
重点
会应用函数关系式求图形面积的最值。
难点
应用二次函数的性质解决实际问题。
学法
探究学习、合作交流法
教法
讲练结合法、应用分析
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、温故知新二次函数y=a(x-h)2+k的对称轴是
，顶点坐标是
.当x=
时，y的最值是
.
二次函数y=ax2+bx+c的对称轴是
，顶点坐标是
___
.当x=
____时，函数有最___
值，是
_____
.
3.
二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是
，顶点坐标是
.当x=
时，y的最
值是
__
.4.
二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是
，顶点坐标是
.当x=
时，函数有最___
值，是
.5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是
，顶点坐标是
.当x=
时，函数有最_______
值，是
.
学生回顾二次函数的图像特点，通过复习已知内容引入本节课新知。
通过温故知新，创设问题情境，激发学生前后知识联系的求知欲。
讲授新课
二、探究新知问题1:
体育课上，同学们都在准备体育测试。小明从地面竖直向上抛出一个小球，铅球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系是（）。小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
活动1：教师提出问题，学生尝试回答。（1）图中抛物线的顶点在哪里？（2）这个抛物线的顶点是否是小球运动的最高点？（3）小球运动至最高点的时间是什么时间？（4）通过前面的学习，你认为小球运行轨迹的顶点坐标是什么？教师追问：如何求出球的最大高度呢？小组内探究分析：画出（）的图象，借助函数图象解决实际问题：从函数的图象看是一条抛物线的一部分可以看出，抛物线的顶点是这个函数的图象的
点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最
值。解：当
=
=
时，h有最大值
=
.∴小球运动的时间是
时，小球运动到最大高度是
.活动2：探究归纳如何求出二次函数
y
=
ax
2
+
bx
+
c
的最小（大）值？一般地，当a＞0（a____）时，抛物线_____(a≠0)的顶点是最低____(
)点，也就是说，当x=（
）时，y有最____（
）值是_____。巩固练习：教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为y=﹣x2+x，由此可知铅球推出的距离是
（ ）A．10m
B．3m
C．4m
D．2m或10m
学生通过思考，循序渐进找到解答问题的突破口，从而学会运用二次函数解决实际问题。学生分组分析讨论，并回答问题。让学生自主探究归纳，得出求二次函数的最小（大）值的结论。
结合学生生活创设情境，引导学生思考实际问题。通过追问为学生提供解决此类问题的思路，让学生在问题解决的过程中体会二次函数与实际问题的联系。通过自主归纳，帮助学生体会由特殊到一般的思想方法。
三、类比探究问题2：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，
矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.
（1）你能求出S与L之间的函数关系吗？（2）当
l
是多少米时，场地的面积
S
最大？最大值是多少？归纳：一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）点，所以当时，二次函数y=ax2+bx+c有最小（大）值.总结归纳：
最值问题：解决此类问题的基本思路：【1】理解问题；【2】分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系；【3】
列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，
确定自变量的取值范围；【4】
在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方
求出二次函数的最大值或最小值；【5】
检验结果的合理性。巩固练习：如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙长为10m）围成长方形养鸡场.设养鸡场的长BC为x米，面积为y平方米.试问：(1)求y与x的函数关系式及自变量x的取值范围？(2)x取何值时所围成的面积最大，最大值是多少？
学生独立完成，再合作交流，教师最后巡视指导，并总结解题注意事项。教师引导学生整理上面解决问题的一般步骤，分析出利用二次函数解决实际问题的一般方法，学生思考后回答，然后师生共同总结。通过实际应用练习，进行巩固训练，引导学生借助上面解决问题的经验解决问题。
让学生自主学习，循序渐进探索规律。通过总结二次函数解决实际问题的一般方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力。巩固本节课所学内容，再次体会实际问题与二次函数的联系，进一步掌握利用二次函数解决最值问题的知识。
课堂练习
1.用一根长为40
cm的绳子围成一个面积为a
cm2的长方形，那么a的值不可能为(
)A.20
B.40
C.100
D.1202.将一根长为20
cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是______cm2.3.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60
cm，菱形的面积S(单位：cm2)随其中一条对角线的长x(单位：cm)的变化而变化.(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；(2)当
x是多少时，菱形风筝面积S最大？最大面积是多少？4.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，如果P，Q两点同时出发，分别到达B，C两点后就停止移动．设△PQD的面积为S，点移动的时间为x（x＞0）（1）求S关于x的函数表达式及自变量x的取值范围；（2）经过多少时间，△PQD的面积最小？
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正。
考查学生对本节课所学的内容的理解和掌握情况，巩固本课所学，加深认识，深化提高。
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？本节学习了用一元二次方程解决传播问题，1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.2.利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键.
学会学生体会，反思，归纳总结本节的主要收获。
学生根据对本节课所学的内容的理解和掌握梳理主要知识。
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