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22.3.2实际问题与二次函数商品利润问题
一．选择题
1．某产品进货单价为90元，按100元一件出售时，能售出500件．若每件涨价1元，则销售量就减少10件．则该产品能获得的最大利润为（ ）
A．5000元
B．8000元
C．9000元
D．10000元
2．一件工艺品进价为100元，按标价135元售出，每天可售出100件．若每降价1元出售，则每天可多售出4件．要使每天获得的利润最大，每件需降价（ ）元．
A．5
B．10
C．0
D．15
3．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出；若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了投资少而获利大，每床每晚收费应提高（ ）
A．4元或6元
B．4元
C．6元
D．8元
4．某网店销售一款李宁牌运动服，每件进价100元，若按每件128元出售，每天可卖出100件，根据市场调查结果，若每件降价1元，则每天可多卖出5件，要使每天获得的利润最大，则每件需要降价的钱数为（ ）
A．3元
B．4元
C．5元
D．8元
二．填空题
5．某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：
（1）月销量y（件）与售价x（元）的关系满足：y=﹣2x+400；
（2）工商部门限制销售价x满足：70≤x≤150（计算月利润时不考虑其他成本）．给出下列结论：
①这种文化衫的月销量最小为100件；
②这种文化衫的月销量最大为260件；
③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；
④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．
其中正确的是
（把所有正确结论的序号都选上）
6．某超市销售某种玩具，进货价为20元．根据市场调查：在一段时间内，销售单价是30元时，销售量是400件，而销售单价每上涨1元，就会少售出10件玩具，超市要完成不少于300件的销售任务，又要获得最大利润，则销售单价应定为
元．
7．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价y1（元）与销售月份x（月）满足关系式，而其每千克成本y2（元）与销售月份x（月）满足的函数关系如图所示．
（1）确定这种水产品每千克的利润y（元）与销售月份x（月）之间的函数关系式
；
（2）“五?一”之前，
月份出售这种水产品每千克的利润最大，最大利润是
元．
8．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为
．
三．解答题
9．（2017?本溪二模）经市场调查，某种商品在第x天的售价与销量的相关信息如下表；已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品每天的利润为y元．
（1）求出y与x的函数关系式
（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大？最大利润是多少？
（3）该商品销售过程中，共有多少天日销售利润不低于4800元？直接写出答案．
10．（2017?青岛）青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨．下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：
淡季
旺季
未入住房间数
10
0
日总收入（元）
24000
40000
（1）该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
（2）今年旺季来临，豪华间的间数不变．经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？
11．（2017?扬州）农经公司以30元/千克的价格收购一批农产品进行销售，为了得到日销售量p（千克）与销售价格x（元/千克）之间的关系，经过市场调查获得部分数据如下表：
销售价格x（元/千克）
30
35
40
45
50
日销售量p（千克）
600
450
300
150
0
（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定p与x之间的函数表达式；
（2）农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？
（3）若农经公司每销售1千克这种农产品需支出a元（a＞0）的相关费用，当40≤x≤45时，农经公司的日获利的最大值为2430元，求a的值．（日获利=日销售利润﹣日支出费用）
12．某旅行社的一则广告如图：
（1）当x满足什么条件时，参游人员人均旅游费用为500元．
（2）设某公司参游人数为x人，旅游总费用为y元，就不同情况，分别写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
（3）甲公司计划用28000元组织一批员工旅游，问：最多可以安排多少人参加？
（4）乙公司有55人参加旅游，老板付给领队小李30000元作为旅游费用，小李说：“费用不够，参游人数需减少”．老板说：“费用足够，人员还可增加”．请问小李、老板的话是否有道理？请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．C．
2．A．
3．C．
4．B．
二．填空题
5．①②③．
6．40．
7．四，10.5．
8．0＜a＜6．
三．解答题
9．【解答】解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x2+180x+2000，
当50≤x≤90时，
y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000；
（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45，
当x=45时，y最大=﹣2×452+180×45+2000=6050，
当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，
当x=50时，y最大=6000，
综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；
（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x2+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70，
因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天；
当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60，
因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，
所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．
10．
【解答】解：（1）设淡季每间的价格为x元，酒店豪华间有y间，
，
解得，，
∴x+x=600+=800，
答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；
（2）设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，
y=（800+x）（50﹣）=42025，
∴当x=225时，y取得最大值，此时y=42025，
答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42025元．
11．【解答】解：（1）假设p与x成一次函数关系，设函数关系式为p=kx+b，
则，
解得：k=﹣30，b=1500，
∴p=﹣30x+1500，
检验：当x=35，p=450；当x=45，p=4150；当x=50，p=0，符合一次函数解析式，
∴所求的函数关系为p=﹣30x+1500；
（2）设日销售利润w=p（x﹣30）=（﹣30x+1500）（x﹣30）
即w=﹣30x2+2400x﹣45000，
∴当x=﹣=40时，w有最大值3000元，
故这批农产品的销售价格定为40元，才能使日销售利润最大；
（3）日获利w=p（x﹣30﹣a）=（﹣30x+1500）（x﹣30﹣a），
即w=﹣30x2+（2400+30a）x﹣（1500a+45000），
对称轴为x=﹣=40+a，
①若a＞10，则当x=45时，w有最大值，
即w=2250﹣150a＜2430（不合题意）；
②若a＜10，则当x=40+a时，w有最大值，
将x=40+a代入，可得w=30（a2﹣10a+100），
当w=2430时，2430=30（a2﹣10a+100），
解得a1=2，a2=38（舍去），
综上所述，a的值为2．
12．【解答】解：（1）根据题意，800﹣10（x﹣30）=500，
解得x=60；
（2）0≤x≤30时，y=800x，
30＜x≤60时，y=x[800﹣10（x﹣30）]=﹣10x2+1100x，
x＞60时，y=500x，
所以，y=；
（3）0≤x≤30时，800x=28000，
解得x=35，不符合题意，舍去，
30＜x≤60时，﹣10x2+1100x=28000，
整理得，x2﹣110x+2800=0，
解得x1=40（舍去），x2=70，
x＞60时，500x=28000，
解得x=56（不符合题意，舍去），
综上所述，最多可以安排40人参加；
（3）∵旅游费用为30000元，
∴﹣10x2+1100x=30000，
整理得，x2﹣110x+3000=0，
解得x1=50，x2=60，
所以，50人参加旅游与60人参加旅游的费用相同，都是30000元，
故，老板的话有道理．
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实际问题与二次函数（第二课时）
人教版
九年级上
教学目标
复习回顾
回想一下，上节课我们学了什么？
1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.
2.利用二次函数解决实际问题时，根据面积公式等关系写出二次函数表达式是解决问题的关键.
观看商场的促销广告、电商广告页面，商家做广告的目的是什么？
如果你是商场经理，你该如何定价才能获得最大利润？
教学目标
导入新课
一、情境导入
二、探究新知
新课讲解
问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是________元，销售利润_________元.
（1）销售额=
售价×销售量;
（2）利润=
销售额-总成本=单件利润×销售量;
（3）单件利润=售价-进价.
18000
6000
问题2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
教学目标
新课讲解
教学目标
新课讲解
单件利润（元）
销售量
（件）
每星期利润（元）
正常销售
20
300
6000
降价销售
建立函数关系式：y=(20-x)(300+20x)，
即：y=-20x2+100x+6000.
降价销售
（1）降价：①设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元随之变化：
20-x
300+20x
y=(20-x)(300+20x)
②自变量x的取值范围如何确定？
教学目标
新课讲解
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故
20-x≥0，且x≥0,
因此自变量的取值范围是
0≤x≤20.
③降价多少元时，利润y最大，是多少？
即：y=-20x2+100x+6000，
教学目标
新课讲解
即定价57.5元时，最大利润是6125元.
∴当x=2.5时，-20×2.52+100×2.5+6000=6125
y最大值为6125元
教学目标
新课讲解
单件利润（元）
销售量
（件）
每星期利润（元）
正常销售
20
300
6000
涨价销售
建立函数关系式：m=(20+n)(300-10n)，
即：m=-10n2+100n+6000.
涨价销售
（2）涨价：①设每件涨价n元，则每星期售出商品的利润m元随之变化：
20+n
300-10n
m=(20+n)(300-10n)
②自变量n的取值范围如何确定？
教学目标
新课讲解
营销规律是价格上涨，单件利润上升，因此只要考虑销量就可以，故
300-10n≥0，且n≥0,
因此自变量的取值范围是
0≤n≤30.
③涨价多少元时，利润m最大，是多少？
即：m=-10n2+100n+6000，
教学目标
新课讲解
?
即定价65元时，最大利润是6250元.
由(1)(2)的探究及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?
教学目标
新课讲解
三、举一反三
变式：已知该T恤的进价为每件40元，售价是每件
60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：每涨价1元，每星期要少卖出10件，若厂家规定促销期间每件售价不能超过64元，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？
解：设每件涨价x元，每星期售出商品的利润为y元。
教学目标
新课讲解
则，y=-10x2+100x+6000.
画出函数图像：
由题意，得
60+x≤64，且x≥0，则0≤
x≤4
x
y
o
X=5
教学目标
新课讲解
∵-10＜0,对称轴为x=5
∴开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大
即当x=4时，y有最大值为：
-10×42+100×4+6000=6240
当售价为64元时，能获得最大利润6240元。
教学目标
新课讲解
探究归纳：
运用二次函数求商品利润问题的一般步骤
:
列出函数解析式和自变量的取值范围.
利用公式，求它的最大（小）值.
审清题意，找到变量之间的关系.
设变量.
审
设
列
解
答
回答实际问题.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
教学目标
新课讲解
四、学以致用
某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.
教学目标
新课讲解
解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，y=-102+20×10-75=25，最大值为25.
即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；
(2)由对称性知y=16时，
16=-x2+20x-75
，
即x2-20x+91=0，解得x=7或13.
故销售单价在7
≤x
≤13时，利润不低于16元.
1.山东全省2016年国庆假期旅游人数增长12.5%，其中尤其是乡村旅游最为火爆．泰山脚下的某旅游村，为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）
A．140元
B．150元
C．160元
D．180元
教学目标
课堂练习
C
教学目标
课堂练习
2．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x)件，应如何定价才能使利润最大？
解：设最大利润为y元，根据题意得
y=（x-30）×（100-x）=
-（x-65）2+1225
∴当x=65时，二次函数有最大值1225，
∴定价是65元时，利润最大．
教学目标
课堂练习
3．某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20千克．
（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；
（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？
解：（1）根据题意得：
y=（200+20x）×（6-x）=-20x2-80x+1200．
（2）令y=-20x2-80x+1200中y=960，则有960=-20x2-80x+1200，
即x2+4x-12=0，
解得：x=-6（舍去），或x=2．
答：若要平均每天盈利960元，则每千克应降价2元．
教学目标
课堂练习
今天我们学习了哪些知识？
教学目标
课堂小结
.
商品利润问题的解题要点：
1.建立函数关系式：总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本。
2.确定自变量取值范围：涨价:要保证销售量≥0；
降价：要保证单件利润≥0。
3.利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出。
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人教版数学九年级上22.3.2实际问题与二次函数第二课时教学设计
课题
22.3.2实际问题与二次函数
单元
第二十二章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
通过对生活中实际问题的探究活动，锻炼学生克服困难的意志，建立自信心，提高学习热情.
能力目标
1.通过对商品涨价与降价的分析，感受函数知识在生活中的应用；2.在探究活动中，学会与他人合作并能与他人交流思维过程和探究结果．
知识目标
1.将实际问题抽象成数学问题，经历函数建模的过程；2.会用二次函数知识求实际问题的最大值或最小值.
重点
用二次函数知识解决商品利润问题。
难点
能够正确分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并求出最大(小）值。
学法
自主探究、分组探究、合作交流
教法
引导发现法
启发探究法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
一、情境导入设疑：观看商场的促销广告、电商广告页面，商家做广告的目的是什么？如果你是商场经理，你该如何定价才能获得最大利润？揭示课题：商品利润问题
教师出示各种促销图片，设疑，激发学生探究的欲望，进而揭示课题。
从身边常见的生活实际情境入手，创设问题情境，激发学生的求知欲。
讲授新课
二、探究新知问题1：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是_____元，销售利润______元.涉及到的数量关系：（1）销售额=售价×销售量;（2）利润=销售额-总成本=单件利润×销售量;（3）单件利润=售价-进价.问题2：
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？（1）降价：①设每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元随之变化：建立函数关系式：②自变量x的取值范围如何确定？③降价多少元时，利润y最大，是多少？（2）涨价：①设每件涨价n元，则每星期售出商品的利润m元随之变化：建立函数关系式：②自变量n的取值范围如何确定？③涨价多少元时，利润m最大，是多少？由(1)(2)的探究及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?
学生分小组合作探究,教师提供题干中涉及到的“数量关系”引导学生分步探究。学生分组探究，老师设疑引导学生逐步解决问题。
由浅入深的例题设计，符合学生的实际认知过程，逐步提升学生分析和解决问题的能力，为运用二次函数解决商品利润问题做铺垫。
三、举一反三变式：已知该T恤的进价为每件40元，售价是每件
60元，每星期可卖出300件。市场调查反映：每涨价1元，每星期要少卖出10件，若厂家规定促销期间每件售价不能超过64元，则销售单价定为多少时，商场可获得最大利润？最大利润是多少？探究归纳：求解最大利润问题的一般步骤：（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.
教师引导学生共同用函数图象法来解决。师生共同探究，结合图象分析自变量的取值范围，进而计算出总利润。结合解题思路，教师引导学生总结解答本类题型的一般步骤。
通过变式解答习题，加强学生解决商品利润问题的应用能力。师生共同总结解题步骤，个学生体会总结学习规律的成就感。
四、学以致用某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？
通过实际应用练习使用二次函数解决商品利润问题的过程。巩固交流解题步骤与技巧。
通过解决实际问题，进一步巩固二次函数在实际商品利润问题中的运用。
课堂练习
1.山东全省2016年国庆假期旅游人数增长12.5%，其中尤其是乡村旅游最为火爆．泰山脚下的某旅游村，为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出，若每张床位每天收费提高20元，则相应的减少了10张床位租出，如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是（ ）A．140元
B．150元
C．160元
D．180元2．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100-x)件，应如何定价才能使利润最大？3．某商店原来平均每天可销售某种水果200千克，每千克可盈利6元，为减少库存，经市场调查，如果这种水果每千克降价1元，则每天可多售出20千克．（1）设每千克水果降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数表达式；（2）若要平均每天盈利960元，则每千克应降价多少元？
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正。
通过练习巩固本课所学，加深认识，深化提高，形成学生自己的解题技巧。
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？本节学习了商品利润问题的解题要点：1.建立函数关系式：总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本。2.确定自变量取值范围：涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0。
3.
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出。
学会学生体会，反思，归纳总结本节的主要收获。
通过学生亲自解决实际问题的感受与经验，总结解题关键。
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