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22.3.3实际问题与二次函数
第三课时
一．选择题
1．美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（ ）
A．y=﹣x2+x+1
B．y=﹣x2+x﹣1
C．y=﹣x2﹣x+1
D．y=﹣x2﹣x﹣1
2.
如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（
）
A．比开始高0.8m
B．比开始高0.4m
C．比开始低0.8m
D．比开始低0.4m
3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ）
A．y=﹣2x2
B．y=2x2
C．y=﹣x2
D．y=x2
4．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（ ）
A．2.76米
B．6.76米
C．6米
D．7米
二．填空题
5．如图为一座拱桥的示意图，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x+6）2+4，则选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是
．
6．
如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C点在斜边上，设矩形的一边AB=xm，矩形的面积为ym2，则y的最大值为___________。
7．设计师以y=2x2﹣4x+8的图形为灵感设计杯子如图所示，若AB=4，DE=3，则杯子的高CE=
．
8．世界羽联在4日公布了最新一期世界排名，国羽依旧在男单、女双和混双三项排在头名位置．谌龙男单排名第一．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线（如图2）．若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系y=﹣x2+x+，则羽毛球飞出的水平距离为
米．
三．解答题
9．（2017?金华）甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）之间满足函数表达式y=a（x﹣4）2+h，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为1.55m．
（1）当a=﹣时，①求h的值；②通过计算判断此球能否过网．
（2）若甲发球过网后，羽毛球飞行到点O的水平距离为7m，离地面的高度为m的Q处时，乙扣球成功，求a的值．
10．（2017?德州）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度的多少？
11．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y=a（x﹣6）2+h．已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m．
（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）
（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；
（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围．
12．如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A点10米处的立柱FE的高度为3.6米．
（1）求正中间的立柱OC的高度；
（2）是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．A．
2．A．
3．C．
4.
B．
二．填空题
5．y=﹣（x﹣6）2+4．
6．300m2
7．11．
8．5．
三．解答题
9.【解答】解：（1）①当a=﹣时，y=﹣（x﹣4）2+h，
将点P（0，1）代入，得：﹣×16+h=1，
解得：h=；
②把x=5代入y=﹣（x﹣4）2+，得：y=﹣×（5﹣4）2+=1.625，
∵1.625＞1.55，
∴此球能过网；
（2）把（0，1）、（7，）代入y=a（x﹣4）2+h，得：
，
解得：，
∴a=﹣．
10．【解答】解：（1）如图所示：以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为
：y=a（x﹣1）2+h，
代入（0，2）和（3，0）得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y=﹣（x﹣1）2+；
即y=﹣x2+x+2（0≤x≤3）；
（2）y=﹣x2+x+2（0≤x≤3），
当x=1时，y=，
即水柱的最大高度为m．
11．【解答】解：（1）∵h=2.6，球从O点正上方2m的A处发出，
∴抛物线y=a（x﹣6）2+h过点（0，2），
∴2=a（0﹣6）2+2.6，
解得：a=﹣，
故y与x的关系式为：y=﹣（x﹣6）2+2.6，
（2）当x=9时，y=﹣（x﹣6）2+2.6=2.45＞2.43，
所以球能过球网；
当y=0时，，
解得：x1=6+2＞18，x2=6﹣2（舍去）
故会出界；
（3）当球正好过点（18，0）时，抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此时二次函数解析式为：y=﹣（x﹣6）2+，
此时球若不出边界h≥，
当球刚能过网，此时函数解析式过（9，2.43），抛物线y=a（x﹣6）2+h还过点（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此时球要过网h≥，
故若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围是：h≥．
12．（2012?乌鲁木齐）如图是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100米，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱的水平距离为10米（不考虑立柱的粗细），其中距A点10米处的立柱FE的高度为3.6米．
（1）求正中间的立柱OC的高度；
（2）是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？请说明理由．
【解答】解：（1）根据题意可得中间立柱OC经过AB的中点O．
如图，以点O为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系．
问题转化为求点C的纵坐标．
|OF|=40（米），故B（50，0），E（﹣40，3.6）
设抛物线的解析式为y=ax2+c
∴解得：
∴y=﹣x2+10，当x=0时，y=10
即正中间的立柱OC的高度是10（米）；
（2）设存在一根立柱的高度是OC的一半，即这根立柱的高度是5米．
则有﹣x2+10=5．解得：x=±25
∵相邻立柱之间的间距为10米．最中间的立柱OC在y轴上，
根据题意每根立柱上的点的横坐标为10的整数倍，
∴x=±25与题意不符，
∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半．
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人教版数学九年级上22.3《实际问题与二次函数》第三课时实物中的抛物线形问题教学设计
课题
22.3.3实际问题与二次函数
单元
第二十一章
学科
数学
年级
九年级上
学习目标
情感态度和价值观目标
1.积极参与交流，并积极发表意见；2.体验二次函数是有效描述世界的重要手段，让学生亲自体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣。
能力目标
1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立二次函数模型进而解决问题，让学生体会数学建模的思想.2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用数学方法解决实际问题的能力，渗透转化思想。
知识目标
1.能够正确灵活地建立直角坐标系解决实际问题；2.能综合利用方程、二次函数的知识解决实际问题。
重点
会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.
难点
充分运用所学知识分析实际问题，建立函数模型，渗透数形结合的数学思想。
学法
探究学习、合作交流法
教法
启发引导、讲练结合法
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
回想一下，上节课我们学了什么？
商品利润问题的解题要点：1.建立函数关系式：总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本。2.确定自变量取值范围：涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0。3.利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出最值。
一、情境导入思考：欣赏下列图片，你能想到什么？
分析：都有抛物线形物体。
教师教师提出问题，学生尝试回答。指导学生得出抛物线在我们生活中经常遇到。
创设问题情境，联系生活，引导学生积极发现生活中的“数学”。
讲授新课
二、探究新知探究1：如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面
2
m时,水面宽
4
m。水面下降
1
m,
水面宽度为多少？水面宽度增加多少
？教师提出问题：（1）怎样把这个实际问题转化数学问题来解？（2）求函数解析式的方法是什么？如何设这个函数解析式？（3）你打算利用哪个点的坐标？这个点的坐标是什么？教师引导学生思考，学生思考后回答，然后师生共同解题，写出解题过程。探究2：学生小组探讨：还可以怎样建立直角坐标系?
你能构建二次函数模型并列出解析式吗？你能想出多少种方法？探究3：通过刚才的学习，你们能总结出用二次函数知识解决实物中抛物线形问题的一般步骤吗？归纳总结：解决抛物线型实际问题的一般步骤(1)根据题意建立适当的直角坐标系；(2)把已知条件转化为点的坐标；(3)合理设出函数解析式；(4)利用待定系数法求出函数解析式；(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算.
学生通过思考探究，循序渐进找到解答实际问题的突破口，从而体会实际问题与数学模型的联系。学生小组讨论，教师指导，学生回答，教师总结，及时鼓励表扬学生的奇思妙想。学生思考回答，教师指导学生归纳。
通过为学生提供解决此类问题的思路，让学生在问题解决的过程中体会运用二次函数图像建模的数学思想。举一反三，引导学生多角度思考问题，运用多种方法解决问题。引导学生总结学习规律，体会探究乐趣。
三、学以致用在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮
球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？
学生独立完成，再合作交流，教师最后巡视指导。
巩固学生应用函数思想构建解析式，并解决实物中抛物线形问题的知识，进一步加强对所学知识的理解和掌握。
课堂练习
1.
如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）A．y=x2
B．y=-x2C．y=-x2
D．y=-x22.某市中心广场有各种音乐喷泉，其中一个喷水管喷水的最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为
?/2
米，在如图所示的坐标系中，这个喷泉的函数关系式是
（ ）A.y=-（x-）2+3B.y=-3（x+）2+3C.y=-12（x-）2+3D.y=-12（x+）2+33.如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，在图中直角坐标系中该抛物线的解析式．4.
如图，公园要在一个圆形的喷水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA的距离为1m处达到距水面的距离最大，高度为2.25m．若不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外？
学生独立完成，教师巡回检查，师生集体订正。
通过练习巩固本课所学，加深认识，深化提高，形成学生自己的解题技巧。
课堂小结
今天我们学习了哪些知识？本节学习了用二次函数解决实物中抛物线形问题：用二次函数解决抛物线形建筑问题都可以构建二次函数解析式，解此类问题的思想方法是利用
数形结合
和
函数
思想，合理建立直角坐标系，根据已知数据，运用
待定系数
求出运动轨迹（即抛物线）的解析式，再用二次的性质去分析解决问题。
学会学生体会，反思，归纳总结本节的主要收获。
通过学生亲自解决实际问题的感受与经验，总结解题各类题目的关键。
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实际问题与二次函数（第三课时）
人教版
九年级上
教学目标
复习回顾
回想一下，上节课我们学了什么？
商品利润问题的解题要点：
1.建立函数关系式：总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本。
2.确定自变量取值范围：涨价:要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0。
3.利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出最值。
教学目标
导入新课
一、情境导入
思考：欣赏下列图片，你能想到什么？
教学目标
导入新课
抛物线
二、探究新知
新课讲解
探究1：如图是一座抛物线形拱桥,当拱桥顶离水面
2
m时,水面宽
4
m。水面下降
1
m,
水面宽度为多少？水面宽度增加多少
？
（1）怎样把这个实际问题转化成数学问题来解？
思考：
教学目标
新课讲解
二次函数的图像就是抛物线，在图像上建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数，即可把实际问题转化成数学问题。
教学目标
新课讲解
以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。设这条抛物线的解析式为
y=ax2.
4
2
y
x
0
（2）求函数解析式的方法是什么？如何设这个函数解析式？
（3）你打算利用哪个点的坐标？这个点的坐标是什么？
教学目标
新课讲解
4
2
y
x
0
(-2,-2)
●
(2,-2)
●
∵当拱桥顶离水面
2m时,水面宽
4m，
∴抛物线经点（2，-2）、（-2，-2）
教学目标
新课讲解
解：把点（2，-2）代入二次函数y=ax2，
?
?
当水面下降1m时，水面的纵坐标为y=-3
?
?
?
探究2：
还可以怎样建立直角坐标系？你能构建二次函数模型并列出解析式吗？
4
2
y
0
X
教学目标
新课讲解
以水面为横轴，水面中心为原点建立坐标系，则拱形桥是一开口向下，对称轴为y轴，经过点（0，2）的抛物线。
∴抛物线解析式设为：
y=-ax2+2
教学目标
新课讲解
4
2
X
y
0
你能想出多少种方法？
以水面为横轴，水面4m宽左侧起点处为原点建立坐标系，则拱形桥是一开口向下，对称轴是x=2，经过（4，0）点的抛物线。
∴抛物线解析式设为：
y=-a（x-2）2+2
教学目标
新课讲解
总结：坐标系的建立可有不同的方法，会得到不同的函数关系式，但不同的方法得到的结果是一直的。
教学目标
新课讲解
探究3：
通过刚才的学习，你们能总结出用二次函数知识解决实物中抛物线形问题的一般步骤吗？
(1)根据题意建立适当的直角坐标系；
(2)把已知条件转化为点的坐标；
(3)合理设出函数解析式；
(4)利用待定系数法求出函数解析式；
(5)根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算。
审
建
设
求
解答
教学目标
新课讲解
三、学以致用
?
3米
4米
4米
x
y
O
教学目标
新课讲解
?
因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4
①.
?
3米
4米
4米
x
y
A
B
C
O
教学目标
新课讲解
?
当x=8时，则
所以此球不能投中.
?
判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；
若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中?
（1）跳得高一点儿；
（2）向前平移一点儿.
3米
8米
4米
4米
x
y
O
教学目标
新课讲解
（1）跳得高一点儿；
教学目标
新课讲解
y
x
（8，3）
（4，4）
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
4
2
（2）向前平移一点儿.
教学目标
新课讲解
y
（8，3）
（4，4）
O
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
4
2
（７，３）
●
x
1.如图所示是一个抛物线形桥拱的示意图，在所给出的平面直角坐标系中，当水位在AB位置时，水面宽度为10m，此时水面到桥拱的距离是4m，则抛物线的函数关系式为（ ）
教学目标
课堂练习
C
?
?
?
?
?
教学目标
课堂练习
C
?
?
?
?
教学目标
课堂练习
3．如图是一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20m，拱顶距离水面4m，求在图中直角坐标系中该抛物线的解析式.
教学目标
课堂练习
解：设该抛物线的解析式是y=ax2，
由图象知，点（10，-4）在函数图象上，代入得：
100a=-4，
?
?
教学目标
课堂练习
4.如图，公园要在一个圆形的喷水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA的距离为1m处达到距水面的距离最大，高度为2.25m．若不计其它因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外？
教学目标
课堂练习
解：以O为原点，顶点为（1，2.25），
设解析式为y=a（x-1）2+2.25过点（0，1.25），
解得a=-1，
所以解析式为：y=-（x-1）2+2.25，
令y=0，
则-（x-1）2+2.25=0，
解得x=2.5
或x=-0.5（舍去），
所以水池的半径至少要2.5米才能使喷出的水流不致落到池外．
今天我们学习了哪些知识？
教学目标
课堂小结
.
用二次函数解决抛物线形建筑问题都可以构建二次函数解析式，解此类问题的思想方法是：
1.利用数形结合和函数思想，合理建立直角坐标系，
2.根据已知数据，运用待定系数求出运动轨迹（即抛物线）的解析式
3.再用二次的性质去分析解决问题。
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