分解因式复习

第一章《分解因式》复习
课型：复习 主编：张玮 审核：周明艳 学生姓名：_______________
一、知识网络图
二、思想方法
复习本章知识应注意领会以下几种思想方法的运用：
1．观察、试验的思想方法　观察、试验是一种基本的研究方法，它可以用来引导数学发现、启迪问题解决的思路．用十字相乘法进行分解因式不像整式乘法那样可按法则计算，而是需要根据所给多项式的特点进行观察，试验才能解决。
2．整体思想 有些多项式，表面上看较复杂，若能注意到题目中的整体所在，利用整体思想去把握，则能化繁为简，化难为易。
3．逆向思维的方法 整式的乘法与分解因式的学习过程中，同学们可以仔细体会。
4．类比思想 数学问题的相似性在数学中普遍存在．根据多项式与多项式之间的异同点，抓住其本质特征，运用类比思想去处理，则能将生疏的问题转化为熟悉的问题。
三、知识梳理
1．了解分解因式：把一个多项式化成几个______________的积，这种变形叫做分解因式，它与整式的乘法______________。
如： 判断下列从左边到右边的变形是否为分解因式：
① （ ） ② （ ）
③ （ ） ④ （ ）
2．提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的乘积，这种分解因式的方法叫做___________________。
如：分解因式：=________________； =________________；
3．公式法分解因式：如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做_____________________。
如：分解因式 ① ②
4．十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：（x+a）（x+b） =，用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做_____________________。
如:分解因式： ① ②

5．分解因式的一般步骤：首先提取公因式；然后运用_____________；
如：① ② ③
四、常见错误：
1．概念不辨，错误出现： 错解：．
2．公式不清，错误入侵： 错解：（1）；（2）．
3．提公因式后，“1”被遗弃： 错解：．
4．混淆变形，无中生有： 错解：．
5．画蛇添足，背道而驰： 错解：
五、典型题析
例1 把下列各式因式分解
（1）
（2）
分析：（1）若多项式的第一项系数是负数，一般要提出“－”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“－”号后，多项式的各项都要变号。
（2）有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，如：当n为自然数时，，是在因式分解过程中常用的因式变换。
例2 简化计算过程：计算
分析：算式中每一项都含有，可以把它看成公因式提取出来，再算出结果
例3 把分解因式
分析：多项式有公因式时需先提取公因式，再利用平方差公式分解，且要分解到不能再分解为止
例4　 运用整体思想解决问题：新课标第一网
不解方程组，求代数式的值
分析：不要求解方程组，我们可以把和看成整体，它们的值分别是3和，观察代数式，发现每一项都含有，利用提公因式法把代数式恒等变形，化为含有和的式子，即可求出结果
例5 证明：对于任意自然数n，一定是10的倍数。
分析：首先利用因式分解把代数式恒等变形，接着只需证明每一项都是10的倍数即可。
已知多项式有一个因式是，求的值。新课标第一网
分析：由整式的乘法与因式分解互为逆运算，可假设另一个因式，再用待定系数法即可求出的值。
例7 已知是的三条边，且满足，试判断的形状。
分析：因为题中有，考虑到要用完全平方公式，首先要把转成。所以两边同乘以2，然后拆开搭配得完全平方公式之和为0，从而得解。
五、巩固练习Xkb1.com
1、把下列各式分解因式：
① ② ③ ④
⑤ ⑥
⑦ ⑧
⑨ ⑩
2、把下列各式分解因式：
① ② ③
④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧
3、先分解因式，然后计算求值：
①，其中， ②，其中，。
4、把下列各式分解因式：
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦
⑧ ⑨ ⑩
5、利用分解因式解决问题：
（1）①利用分解因式说明：能被120整除；
②可以被60至70之间的某两个数整除，求这两个数；
（2）利用分解因式计算：
① ②
（3）①如图在半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆，利用分解因式计算当R=7.8cm，r=1.1cm时剩余部分的面积（取3.14，结果保留两位有效数字）
②如图，某农场修建一座小型水库，需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d=45cm，外径D=75cm，长l=300cm，利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土（取3.14，结果保留两位有效数字）
③已知正方形面积是（），利用分解因式写出表示该正方形的边长的代数式。
④正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960，求这两个正方形的边长。
（4）①已知，求的值。
②当取何值时，多项式取最小值。
③当取何值时，多项式时一个完全平方式。
④计算下列各式：
你能根据所学知识找到计算上面式子的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：
⑤已知，求a,b,c的值。
⑥已知x、y都是正整数，且，求x、y
⑦已知：，求的值。
提公因式法法
整式乘法的证明
分解因式
平方差公式
公式法
完全平方公式
互逆
十字相乘法
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