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北师大版数学九年级下《3.2圆的对称性》学案
学习目标：1、通过探索理解并掌握：(1)圆的轴对称性、圆的中心对称性和圆的旋转不变性；(2)圆心角、弧、弦之间关系定理．
2、通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养发现新问题、探究和解决问题的能力．
学习重点：圆心角、弧、弦之间关系定理
学习难点：“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“同圆或等圆”条件的理解及定理的应用．
学习过程：
一、新知导入
问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？
问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？
二、新知探究
【探究1】
圆的轴对称性
圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
结论:圆是________________，经过____________是圆的对称轴，圆的对称轴有____条.
【探究2】圆的中心对称性
一个圆绕它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？
圆是_______图形，对称中心是______．
圆绕圆心旋转任意角度α，都能够与原来的图形_______.
圆具有____________________.
【探究3】
圆心角、弧、弦之间的关系
1.我们把顶点在圆心的角叫做______.写出下图中的两个圆心角：______、__________
2.判别下列各图中的角是不是圆心角
3.如图，在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使OA和O′A′重合．
你能发现哪些等量关系？说一说你的理由．
结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的___相等，所对的____相等．
4.想一想：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？
变式：在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？
结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们__________________________________．
5.质疑：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
四、拓展提高
1.如图，AB，DE是⊙O
的直径，C是⊙O
上的一点，且弧AD=弧CE.BE和CE的大小有什么关系？为什么？
2.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．
（1）求证：OC∥BD；
（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．
3.利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：
（1）是轴对称图形但不是中心对称图形；
（2）是中心对称图形但不是轴对称图形；
（3）既是轴对称图形又是中心对称图形.
五、学习小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
六、作业布置:
1.教材72页练习第3题
2.
习题3.2
七、自我检测:
1.下列语句中，不正确的是(
)
A.
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴
B.
圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
C.
当圆绕它的圆心旋转89°57′时，不会与原来的圆重合
D.
圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
2.下列四个图形：其中是轴对称图形，且对称轴的条数为2的图形的个数是（
）
A
.1
B
.2
C
.3
D
.4
3.如图，MN为⊙O的弦，∠M＝50°，则∠MON等于（ ）
A.
50°
B.
55°
C.
65°
D.
80°
4.如图，已知：AB是⊙O的直径，C、D是上的三等分点，∠AOE=60°，∠COE是（ ）
A.
40°
B.
60°
C.
80°
D.
120°
5.
如图，AB是⊙O的直径，
，∠COD=34°，则∠AEO的度数是（
）
A.
51°
B.
56°
C.
68°
D.
78°
6.
如图所示，在⊙O中，
，∠A=30°，则∠B=（
）
A.
150°
B.
75°
C.
60°
D.
15°
7.如图所示，在⊙O中，AC、BC是弦，根据条件填空：
(1)若AC＝BC，则________________；
(2)若，则______________；
(3)若∠AOC＝∠BOC，则______________．
8．如图，在⊙O中，，若∠AOB＝40°，则∠COD＝____．
9.
我们学习了“圆心角、弧、弦的关系”，实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距(弦心距指从圆心到弦的距离，如图1中的OC、OC′，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度)中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解答下列问题：
如图2，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边分别交于点A、B、C、D.
(1)求证：AB＝CD；
(2)若角的顶点P在圆上，上述结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．
自我检测参考答案：
1.【答案】C
【解析】A中，圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴，正确；B中，圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，正确；C中，因为圆绕它的圆心旋转任意一个角度都能够与自身重合，故当圆绕它的圆心旋转89°57′时，会与原来的圆重合，故C错误；D中，圆的对称轴有无数条，任意一条直径都是对称轴.对称中心只有一个，为圆的圆心.
故选C.
点睛：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线；圆是中心对称图形，对称中心是圆心.
2.【答案】C．
【解析】
试题解析：第一个是轴对称图形，有2条对称轴；
第二个是轴对称图形，有2条对称轴；
第三个是轴对称图形，有2条对称轴；
第四个是轴对称图形，有3条对称轴；
∴对称轴的条数为2的图形的个数是3；
故选C．
考点：轴对称图形．
3.【答案】D
【解析】因为∠M=50°，∠N=50°，所以∠MON=80°.故选D.
4.【答案】C
【解析】因为∠AOE=60°，所以∠EOB=120°，所以C、D是上的三等分点，所以∠EOD=∠DOC=40°，所以∠COE=80°.故选C.
5.
【答案】A
【解析】在⊙
O中，∵，
∴∠BOC=∠COE=∠DOE=34°，
∵AB是⊙
O的直径，
∴∠BOC+∠COE+∠DOE+∠AOE=180°，
∴∠AOE=180°-34°-34°-34°=78°，
∵OA=OE，
∴∠AEO=∠A=.
故选A.
6.【答案】B
【解析】试题分析：∵在⊙O中，∴AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠B=∠C；又∠A=30°，∴∠B=75°（三角形内角和定理）．故选B．
考点：圆心角、弧、弦的关系．
7.【答案】
(1)
，∠AOC＝∠BOC；
(2)
AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；
(3)
，AC＝BC．
【解析】试题分析：本题利用“在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.”来解决.
解：本题中所对的弦是AC，所对的圆心角是∠AOC；所对的弦是BC，所对的圆心角是∠BOC.
（1）若AC＝BC，则，∠AOC＝∠BOC；
（2）若，则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；
（3）若∠AOC＝∠BOC，则，AC＝BC.
又∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON.
∵OM、ON分别是弦AB、CD的弦心距，
∴AB＝CD.
(2)上述结论成立．
当点P在⊙O上时，由(1)知OM＝ON，
∵OM、ON分别是弦PB、PD的弦心距，
∴PB＝PD，即AB＝CD.
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北师大版数学九年级下3.2《圆的对称性》教学设计
课题
3.2圆的对称性
单元
三单元
学科
数学
年级
九年级
教材分析
圆这一章有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性。同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节内容在整章中具有举足轻重的意义。所以学好本节内容尤为重要。圆的对称性第它反映了圆的重要性质，是圆轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据。所以本节知识与方法的学习直接影响着以后学习圆的兴趣。
学情分析
学生的知识技能基础：本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，也是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用.
学习目标
1.知识技能：通过探索理解并掌握：(1)圆的轴对称性、圆的中心对称性和圆的旋转不变性；(2)圆心角、弧、弦之间关系定理．2.过程方法：通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生发现新问题、探究和解决问题的能力3.情感态度价值观：通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣．并在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐．在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心
重点
圆心角、弧、弦之间关系定理
难点
“圆心角、弧、弦之间关系定理”中的“同圆或等圆”条件的理解及定理的应用．
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
师：上一节课我们认识了与圆有关的一些基本概念，这节课我们一起探究圆的有关性质，现在我提出两个问题：问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？这节课我们一起学习：2 圆的对称性(板书课题)
情境：熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
独立思考问题回顾圆的定义和轴对称图形、中心对称图形的性质
由知识点和已经解决了的问题进行新课的引入，在复习旧知识的同时，为新课的引入和学习做好铺垫.
讲授新课
【探究1】
圆的轴对称性(多媒体出示)一条过圆心的直线．【探究2】一个圆绕它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？圆是中心对称图形吗？对称中心是什么？教师强调：圆是中心对称图形，对称中心是圆心．圆具有旋转不变性【探究3】
圆心角、弧、弦之间的关系我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.判别下列各图中的角是不是圆心角思考：如图，在等圆⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角∠AOB和∠A′O′B′，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，使OA和O′A′重合．你能发现哪些等量关系？说一说你的理由．教师多媒体展示旋转的说理过程：解：＝，AB＝A′B′.理由：∵半径OA与O′A′重合，∠AOB＝∠A′O′B′，∴半径OB与O′B′重合．∵点A和点A′重合，点B和点B′重合，∴和重合，弦AB与弦A′B′重合.∴＝，AB＝A′B′.教师强调：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．想一想：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？在同圆或等圆中，如果两条弦相等，你能得出什么结论？教师强调：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？教师强调前提：在同圆或等圆中例题.如图，AB，DE是⊙O
的直径，C是⊙O
上的一点，且弧AD=弧CE.BE和CE的大小有什么关系？为什么？
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，利用手中的圆形纸片进行折叠，并小组内进行交流让学生在自己手中的两张圆形纸片上分别画出两个相等的圆心角，然后按照要求将两圆重合，并旋转，观察并总结结论．同位间交流并达成共识．对于理由的阐述学生还可以利用三角形全等说明弦相等．思考：去掉同圆或等圆，结论是否会发生变化？梳理：同圆或等圆中的“等对等关系”定理
让学生自己根据轴对称图形的定义动手操作，培养学生独立探究问题和解决问题的能力.让学生动手操作，发现结论，并在小组中交流．在发现结论和说理的过程中，训练学生的总结归纳能力和推理论证能力．教师多媒体展示并规范学生说理过程.
课堂练习
1.如图，在⊙O中，
,∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
学生先独立完成，再同伴交流思路和方法
九年级的学生已经具有独立思考的能力，因此，只要相信学生，给学生足够的时间去分析、思考，一定能够顺利解决问题．
拓展提高
1.如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点
A，B和C，D，求证：AB=CD.2.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．（1）求证：OC∥BD；（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．3.利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：（1）是轴对称图形但不是中心对称图形；（2）是中心对称图形但不是轴对称图形；（3）既是轴对称图形又是中心对称图形.
先自己思考，理清思路，再完成过程的书写小组内互相评价自己所设置的图形
此部分试题相对应用举例而言，难度有所上升，教师可以解决问题后揭示“等对等”定理的第四组量——弦心距，从而拓展学生的知识面.
课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．教师强调：1.圆的对称性①轴对称图形；②中心对称图形．
小组内交流本节课的知识和方法
课堂小结是培养好学生反思总结习惯的最好环节，只有学生养成良好的反思总结习惯，才能不断地取得进步，让学生在每堂课中体会小结的意义.
板书
1.圆的对称性（1）圆是轴对称图形（2）圆是中心对称图形（3）圆具有旋转不变性2.弧、弦、圆心角之间的关系（1）定理（2）等对等关系例题学生展示区
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3.2
圆的对称性
数学北师大版
九年级下
问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？
圆心和半径
问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？
新知导入
知识回顾
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
新知导入
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新知讲解
探究一：圆的轴对称性
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
你能找到多少条对称轴？
（2）同伴交流：你是用什么方法解决上述问题？
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新知讲解
动手操作：
请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？
结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴
，圆的对称轴有无数条.
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新知讲解
圆是中心对称图形吗?它的对称中心在哪里?
·
圆是中心对称图形，
它的对称中心是圆心.
探究二：圆的中心对称性
圆绕圆心旋转任意角度，都能够与原来的图形重合.
一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？
圆具有旋转不变性
新知讲解
·
圆是中心对称图形，
它的对称中心是圆心.
新知讲解
∠AOB
∠COD
∠AOC
∠BOD
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
探究三：圆心角、弧、弦之间的关系
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判别下列各图中的角是不是圆心角
①
②
③
④
只有④是，其余都不是圆心角
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新知讲解
·
O
A
B
·
O
A
B
A′
B′
A′
B′
如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’
的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
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新知讲解
根据旋转的性质，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A′OB′的位置时，
∠AOB＝∠A′OB′，
射线
OA与OA′重合，OB与OB′重合．
而同圆的半径相等，OA=OA′，OB=OB′，
∴点A与A′重合，B与B′重合．
·
O
A
B
A′
B′
∴弧AB与弧A′B′重合，AB与A′B′重合．
新知讲解
O
α
A
B
A1
B1
α
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等.
∵
∠AOB=∠A1OB1
∴AB=A1B1
，AB=A1B1
.
⌒
⌒
圆心角定理
在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？
想一想：
新知讲解
在同圆或等圆中，如果两个弧相等，那么它们所对的弦相等吗？所对的两个圆心角相等吗？你是怎么想的？
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新知讲解
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
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新知讲解
O
α
A
B
A1
B1
α
同圆或等圆中，两个圆心角、两条圆心角所对的弧、两条圆心角所对的弦中如果有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
等对等定理
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新知讲解
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
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新知讲解
如图，AB，DE是⊙O
的直径，C是⊙O
上的一点，且AD=CE.BE和CE的大小有什么关系？为什么？
·
E
B
C
O
A
D
解:BE=CE.理由是：
∵∠AOD=∠BOE，
∴AD=BE.
又∵AD=CE，
∴BE=CE.
∴BE=CE.
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
课堂练习
证明：
∴
AB=AC，
又∠ACB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
AB=BC=CA.
∴
∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
·
A
B
C
O
∵
1.如图，在⊙O中，
,
∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.
△ABC是等腰三角形.
温馨提示：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.
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拓展提高
如图，点O是∠EPF的平分线上的一点，以O为圆心的圆和角的两边分别交于点
A，B和C，D，求证：AB=CD.
M
证明：作OM⊥AB，ON⊥CD，M，N为垂足.
O
N
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拓展提高
2.如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且AC＝CD．
（1）求证：OC∥BD；
（2）若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC的形状．
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拓展提高
分析：
（1）利用同弧所对圆周角相等，两个半径可构成等腰三角形.
(2)先证明OBDC是平行四边形，OC=OB可得是菱形.
3.利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：
（1）是轴对称图形但不是中心对称图形；
（2）是中心对称图形但不是轴对称图形；
（3）既是轴对称图形又是中心对称图形.
第（1）问图
第（2）问图
第（3）问图
拓展提高
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课堂总结
圆的对称性
圆的轴对称性（圆是轴对称图形）
对称轴是过圆心的直线
圆的中心对称性（圆是中心对称图形）
圆心角、弧、弦之间的关系
证明圆弧相等：圆心角、弧、弦之间的关系
证明线段相等：（1）利用原来的证角相等，三角形全等等方法
（2）圆心角、弧、弦之间的关系
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板书设计
1.圆的对称性
（1）圆是轴对称图形
（2）圆是中心对称图形
（3）圆具有旋转不变性
2.弧、弦、圆心角之间的关系
（1）定理：
（2）等对等关系
例题
学生展示
作业布置
1.教材72页练习第3题
2.
习题3.2
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