(共25张PPT)
3.3垂径定理
数学北师大版九年级下
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知识回顾
2.它的对称轴是什么?
是
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线
3.你能找到多少条对称轴？
它有无数条对称轴.
●O
1.圆是轴对称图形吗？
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新知讲解
●O
A
B
C
D
M└
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。
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新知讲解
连接OA,OB,则OA=OB.
●O
A
B
C
D
└
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
理
由：
M
⌒
⌒
AC和
BC重合，
⌒
AD
和BD重合
⌒
⌒
⌒
AC=
BC
⌒
⌒
AD=
BD
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新知讲解
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
题设
结论
（1）过圆心
（2）垂直于弦
｝
｛
（3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧
（5）平分弦所对的劣弧
(2)
(1)
(3)
(4)
(5)
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新知讲解
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
∵
CD是直径,
∴AM=BM,
⌒
⌒
AC
=BC,
⌒
⌒
AD=BD.
几何语言
垂径定理
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新知讲解
判断下列图形，能否使用垂径定理？
O
C
D
B
A
注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦
×
×
√
B
O
C
D
A
O
C
D
E
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新知讲解
③CD⊥AB,
垂径定理的逆定理
●O
C
D
由
①
CD是直径
②
AM=BM
可推得
⌒
⌒
④AC=BC,
⌒
⌒
⑤AD=BD.
●
M
A
B
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
如图，AB是⊙O
的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
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新知讲解
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
想一想
O
C
D
B
A
垂径定理的逆定理：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
不成立
“知二推三”
(1)垂直于弦
(2)过圆心
(3)平分弦
(4)平分弦所对的优弧
(5)平分弦所对的劣弧
注意:当具备了(1)(3)时,应对另一
条弦增加”不是直径”的限制.
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,几种条件要相互转化,形成整体,才能运用自如.
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新知讲解
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新知讲解
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新课讲解
E
O
D
C
F
1.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。
⌒
⌒
⌒
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新课讲解
解这个方程，得R=545.
E
O
D
C
F
解：连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。
∵OE⊥CD
根据勾股定理，得
OC?=CF?
+OF?
即
R?=300?+(R-90)?.
所以，这段弯路的半径为545m.
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课堂练习
2.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD
=
20，CM
=
4，求AB.
└
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课堂练习
解：连接OA，
在⊙O中，直径CD⊥AB，
∴
AB
=2AM，
△OMA是直角三角形.
∵
CD
=
20，
∴
AO
=
CO
=
10.
∴
OM
=
OC
–
CM
=
10
–
4
=
6.
在Rt
△OMA中，AO
=
10，OM
=
6，
根据勾股定理，得：
∴
AB
=
2AM
=
2
×
8
=
16.
└
在圆中有关弦长a,半径r,
弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
A
B
C
D
O
h
r
d
O
A
B
C
·
方法归纳：
课堂练习
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拓展提高
1.我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？
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拓展提高
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB
所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴
AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
=18.52+(R-7.23)2
∴
AD=
AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
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拓展提高
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
.
A
C
D
B
O
E
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴
AE－CE＝BE－DE
即
AC＝BD.
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
拓展提高
3．如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又 ∵AC=AB
∴
AE=AD
∴
四边形ADOE为正方形.
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课堂总结
今天我们学习了哪些知识？
直径平分弦
直径垂直于弦=>
直径平分弦所对的弧
直径垂直于弦
直径平分弦（不是直径）
直径平分弦所对的弧
直径平分弧所对的弦
直径平分弧
直径垂直于弧所对的弦
=>
=>
１、圆是轴对称性
２、垂径定理及其推论的图式
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板书设计
3.3垂径定理
1.垂径定理：
几何语言
2.垂径定理的逆定理：
关系
展示区
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作业布置
1.教材76页练习第3题
2.
习题3.3
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谢谢
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北师大版数学九年级下《3.3垂径定理》学案
学习目标：1.理解圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理，并会运用其解决有关问题．
2.通过学习垂径定理及其逆定理的证明，培养类比分析、猜想探索的能力．
3.在学习过程中让学生感受几何图形的对称美．进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
学习重点：运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理
学习难点：运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明
学习过程：
一、新知导入
1.圆是轴对称图形吗？
2.它的对称轴是什么?
3.你能找到多少条对称轴？
二、新知探究
1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．
2．垂径定理的内容：______________________________________________
几何语言:
∵
CD是直径,
∴_____________、________________、________________
3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？
注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦．
4．垂径定理逆定理的探索
如图，AB是⊙O
的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.
（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.
垂径定理的逆定理:
平分弦（不是直径）的直径________________________________
5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？
三、课堂练习
1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中,点0是所在圆的圆心），其中CD=600m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径．
2.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD
=
20，CM
=
4，求AB.
四、拓展提高
1.我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？
2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
五、学习小结
活动内容：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．
六、作业布置:
1.教材76页练习第3题
2.
习题3.3
七、自我检测:
1．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（ ）
A.
6
B.
5
C.
4
D.
3
（第1题图）
（第2题图）
（第3题图）
2．如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE＝2，DE＝8，则AB的长为( )
A.
2
B.
4
C.
6
D.
8
3．如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(
)
A.
5
B.
7
C.
9
D.
11
4．如图，在半径为5的⊙O中，弦AB=6，OP⊥AB，垂足为点P，则OP的长为（
）.
A．3
B．2.5
C．4
D．3.5
（第4题图）
（第5题图）
（第6题图）
5．如图，⊙O过点B、C，圆心O在等腰直角△ABC的内部，∠BAC＝90°，OA＝1，BC＝6，则⊙O的半径为(
)
A.
B.
2
C.
D.
3
6．如图，已知⊙O的直径AB⊥弦CD于点E，下列结论中一定正确的是（
）
A.
AE＝OE
B.
CE＝DE
C.
OE＝CE
D.
∠AOC＝60°
7．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A.
2cm
B.
4
cm
C.
2cm或4cm
D.
2cm或4cm
8．已知⊙O的半径为15，弦AB的长为18，点P在弦AB上且OP=13，则AP的长为（ ）
A.
4
B.
14
C.
4或14
D.
6或14
二、填空题
9．
如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，若CD=6，BE=1，则⊙O的直径为
．
（第9题图）
（第10题图）
（第11题图）
10．如图，在⊙O中，弦AB=6，圆心O到AB的距离OC=2，则⊙O的半径长为______．
11．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD=4，AE=1，则⊙O的半径为______．
12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AB=8，CD=6，则BE=______．
三、解答题
13．已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，
且AB⊥CD，垂足为E，联结OC，
OC=5，CD=8，求BE的长．
14．已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D(如图)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
自我检测参考答案
1．B
【解析】试题分析：过O作OC⊥AB于C，根据垂径定理求出AC=BC=AB=12，在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC==5．
故选：B．
考点：1、垂径定理；2、勾股定理
故选A.
点睛：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
4．C．
【解析】
试题分析：连接OA，根据垂径定理得到AP=AB=×6=3，利用勾股定理得OP==4.
故选：C．
考点：垂径定理；勾股定理．
5．C
【解析】试题分析：过A作AD⊥BC，由题意可知AD必过点O，连接OB，∵△BAC是等腰直角三角形，AD⊥BC，∴BD=CD=AD=3，∴OD=AD﹣OA=2，Rt△OBD中，根据勾股定理，得：OB==．故选C．
【解析】连接AC，AO，
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM=AB=×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM==3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC=cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5?3=2cm，
在Rt△AMC中,AC=cm.
故选C.
8．C
【解析】试题解析：如图：
作于点C，
OC=
=12，又
∴PC==5，
当点P在线段AC上时，
当点P在线段BC上时，
故选C．
9．10．
【解析】
试题分析：如图，，∵AB是⊙O的直径，而且CD⊥AB于E，∴DE=CE=12÷2=6，在Rt△ODE中，，解得x=5，∵5×2=10，∴⊙O的直径为10．故答案为：10．
考点：垂径定理．
10．
【解析】试题分析：根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OA即可．
∵弦AB=6，圆心O到AB的距离OC为2，
∴AC=BC=3，∠ACO=90°，
由勾股定理得：OA=
考点：垂径定理．
11．
【解析】试题分析：连接OC，则OC=r，OE=r－1，CE=CD=2，根据Rt△OCE的勾股定理可得：，解得：r=．
考点：垂径定理．
12．4-
【解析】试题分析：如图，连接OC．∵弦CD⊥AB于点E，CD=6，∴CE=ED=CD=3．∵在Rt△OEC中，∠OEC=90°，CE=3，OC=4，∴OE==，∴BE=OB﹣OE=．故答案为：．
考点：垂径定理；勾股定理．
【解析】试题分析：（1）过O作OE⊥AB，根据垂径定理得到AE=BE，CE=DE，从而得到AC=BD；
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，再根据勾股定理求出CE及AE的长，根据AC=AE﹣CE即可得出结论．
试题解析：（1）作OE⊥AB，
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD；
（2）∵由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，∴OE=6，
∴CE=，
AE=，
∴AC=AE﹣CE=8﹣2．
考点：1、垂径定理，2、勾股定理
试卷第2页，总3页
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北师大版数学九年级下3.3《垂径定理》教学设计
课题
3.3垂径定理
单元
三单元
学科
数学
年级
九年级
教材分析
该节内容为1课时．圆是一种特殊图形，它是轴对称图形，学生通过类比圆的轴对称性，能利用圆的轴对称性探索、证明得出圆的垂径定理及其逆定理．垂径定理及其逆定理是解决几何计算中的重要工具，为证明线段相等和垂直的关系提供了一种新的方法.
学情分析
学生在七、八年级已经学习过轴对称图形的有关概念和性质，等腰三角形的对称性，以及本节定理的证明要用到的三角形全等的知识，在本章前两节课中也已经初步理解了圆的轴对称性和圆弧的表示等知识，具备探索证明几何定理的基本技能．在平时的学习中，学生已掌握探究图形性质的不同手段和方法，具备几何定理的分析、探索和证明能力．
学习目标
1.知识技能：理解圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理，并会运用其解决有关问题．2.数学思考：通过折叠等操作，经历探索垂径定理及其逆定理的过程．3.问题解决：通过学习垂径定理及其逆定理的证明，培养类比分析、猜想探索的能力．4.情感态度：在学习过程中让学生感受几何图形的对称美．进一步体会和理解研究几何图形的各种方法．
重点
运用探索、推理，充分把握圆中的垂径定理及其逆定理.
难点
运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
先复习圆的轴对称性，引发学生思考：1.圆是轴对称图形吗？2.它的对称轴是什么?3.你能找到多少条对称轴？
学生凭借已有的知识，思考并回答问题.
通过复习，强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基
讲授新课
探究活动：1．如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由．2．证明完毕后，让学生自行用文字语言表述这一结论，最后提炼出垂径定理的内容——垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．3．辨析：判断下列图形，能否使用垂径定理？如图，AB是⊙O
的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.5．辨析：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧．”如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？反例：
实验：将圆沿直径CD对折观察：图形重合部分，思考图中的等量关系观察图形，进行思考学生拓展思路思考问题，引出推论
通过让学生猜想、类比、探索和证明获得新知，从而得到研究数学的多种方法的体会，获取经验让学生通过对定理表述反复的语言提炼，锻炼学生的归纳能力和严谨的表述能力，并对定理的条件和结论有更深刻的理解和认识通过反例使学生对定理的严谨性有更深的认识通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标
课堂练习
如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD
=
20，CM
=
4，求AB.
讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知
通过练习巩固本课所学，创设学生活动的机会，及时反馈知识的掌握情况。
拓展提升
1.我是赵州桥，我历史悠久，是世界上现存最早、保存最好的巨大石拱桥。我的主桥是圆弧形,我的跨度(弧所对的弦的长)为37m,
拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，但一千多年了，我还不知道我主桥拱的半径是多少，你能帮我算算吗？2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？3.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
先独立尝试完成，在进行同伴间的讨论交流，通过练习，进一步理解并掌握新知
通过让学生经历解决问题、提炼概括，总结出垂径定理，再进一步证明定理和应用定理的过程，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的概括、总结的语言表达能力.
课堂小结
活动内容：通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．处理方式：学生畅谈自己的收获！
学生回顾总结学习收获，归纳本节课所学知识，教师系统归纳
帮助学生归纳总结，巩固所学知识
板书
3.3垂径定理1.垂径定理：几何语言2.垂径定理的逆定理：关系
展示区
O
D
B
A
C
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精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
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